Реферат: Лекции по физике

Яркостные пирометры. Как следует из названия, действие такого пирометра основано на сравнении яркости свечения тела, температура которого измеряется, и некоторого другого - нити лампы накаливания. Наиболее удобным здесь оказался красный цвет и именно через красный светофильтр производится в этом случае наблюдение (l=660 нм).

Применение пирометров обычно связано с металлургией. Производится наблюдение, например, окошка в стенки доменной или мартеновской печи. На фоне изображения светящегося окошка наблюдается нить лампочки накаливания. Регулируя ток через лампочку, добиваются уравнивания их яркостей в красном цвете. При этом нить лампочки становится невидимой - потому такой пирометр называют пирометром с “исчезающей” нитью.

Пирометр градуируется по абсолютно черному телу - при изменении тока накала по находящейся в поле наблюдения шкале считывается температура черного тела, при котором нить должна “исчезает”. Естественно, поскольку светимость реального тела при той же температуре меньше, для достижения равенства яркостей черного и нечерного тел это последнее должно быть нагрето сильнее, яркостная температура  оказывается завышенной.

Цветовые пирометры. Серое тело имеет тот же спектральный состав, что и абсолютно черное тело. Поэтому температуру серого тела можно определить в соответствии с законом смещения Вина, определив длину волны lm, на которую приходится максимум излучения.

Однако, вместо исследования всего спектра излучения, производится измерения светимостей на двух различных частотах (при двух значениях длин волн) и по их отношению определяется температура тела. Заметим, что для черного тела при любой температуре это отношение известно.

Собственно, такой пирометр отличается от радиационного тем, что наблюдения производятся через сменные светофильтры.

13.1. Теплоемкость кристаллической решетки

Носителями энергии равновесного теплового излучения согласно концепции Планка являются стоячие (электромагнитные) волны. При этом энергия для каждой частоты отмеряется “порциями”, квантами ћw, количество которых определяется распределением Больцмана:

.

И весьма интересно, что в совсем другой задаче, задаче о теплоемкости кристаллической решетки опять-таки “проходит” такой же подход.

Однако, сначала нужно сказать несколько слов об истории вопроса. Содержащий N атомов кристалл имеет 3N степеней свободы - столько значений координат необходимо для описания положения атомов. Согласно классическим представлениям на каждую степень свободы должна приходиться энергия kT: по kT/2 на кинетическую и на потенциальную энергию. Отсюда следует закон Дюлонга и Пти, согласно которому молярная теплоемкость Cm всех кристаллов одинакова:

.

Здесь NA - число Авогадро, R - универсальная газовая постоянная.

И действительно, при достаточно высоких температурах этот закон оказывается справедливым, но он нарушается при низких температурах. И причина в том, что при низких температурах и при  достаточно высоких частотах колебаний оказывается ћw>kT, а между тем величина ћw - минимальная порция энергии на частоте w. Значит, при низкой температуре невозможна энергия kT на степень свободы.

Поправить дело попытался Эйнштейн. Он ввел квантование для энергий колебаний отдельных атомом кристалла (3N осцилляторов), введя для каждого среднюю энергию . При этом распределение осцилляторов по энергиям он считал подчиняющимся распределению Больцмана.

Полученное им выражение качественно верно описывало поведение теплоемкости и вблизи нулевой температуры. Но много более точный результат был получен Дебаем.

Дебай посчитал, что колебания отдельных атомов не являются независимыми - колебания одного атома вынуждают колебания соседних атомов. Иначе говоря, колебания представляют собой стоячие волны. Любопытно, но количество возможных стоячих волн должно совпадать с числом степеней свободы - 3N.

Собственно, рассуждения Дебая в основном повторяют рассуждения Планка. Выбрав некий объем в виде прямоугольного параллелепипеда V=abd, подсчитывается количество возможных стоячих волн. Условия существования стоячей волны остается прежним: произведение составляющей волнового вектора на соответствующий размер тела должен быть равен целому числу p.

Для струны это сводится к условию кратности ее длины длине полуволны:

.

Для прямоугольной пластины площадью S=ab необходимое условие будет

.

При таком условии вышедшая из некоторой точки волна после отражений от краев пластины возвращается в то же точку с той же фазой.

Пояснение этому утверждению дается рисунком. Введем радиус-вектор, соединяющий точки 1 и 2

.

Движение волны вдоль этого радиус-вектора эквивалентно распространении волны в пределах пластины. И поскольку

,

волна из точки 1 в точку 2 прийдет с изменение фазы на целое число 2p. Значит, это утверждение справедливо и для распространения волны в пределах пластины из точки 1 и, - после отражений, снова в точку 1.

Перейдем теперь к трехмерному кристаллу размерами a×b×d. При этом добавляется еще условие .

На рисунке схематически показана 1/8 часть сферы радиуса k в пространстве k-векторов и соответствующая часть сферического слоя толщиной Dk. На один конец k-вектора приходится объем . Следовательно, количество k - векторов с модулем в пределах от k до k+Dk и положительными проекциями на оси будет

.

Мы учитываем только k-векторы с положительными проекциями на оси. Смена знака одной из проекций происходит при отражении волны, но это та же волна, повторно учитывать ее не следует.

Количество таких k-векторов на единицу объема кристалла

.

Поскольку , мы можем перейти в этом выражении к частотам. Кроме того, необходимо еще добавить множитель 3, поскольку упругие колебания могут происходить в направлении распространения волны и в двух взаимно перпендикулярных поперечных направлениях. Таким образом, переходя к дифференциалам, получаем

.

Такова плотность стоячих волн в кристалле. Однако с подсчетом энергии колебаний здесь возникают некоторые особенности, о которых речь пойдет ниже.

Лекция 17

13.2. Теплоемкость кристаллической решетки.

Продолжение

Здесь мы проведем некоторые подсчеты, повторяющие проведенные при выводе формулы Планка. Прежде всего запишем выражения для количества стоячих волн с энергией  и для их энергий:

;         .

Средняя энергия

.

Введя переменную , перепишем это выражение в виде

.

При преобразованиях мы воспользовались выражением для суммы членов бесконечной геометрической прогрессии. Наконец, выполнив дифференцирование, получаем нужное выражение:

.

Подсчитаем теперь тепловую энергию моля кристаллического вещества. При выводе формулы Планка не существует ограничения на максимальную частоту w. В случае же кристалла не имеет смысла говорить о волне, длина которой меньше расстояния между атомами. А говоря иначе, количество стоячих волн должно равняться числу степеней свободы 3NA. Это позволяет определить максимальное значение частоты (Vмоль-объем моля вещества):

;

 .

Для подсчета тепловой энергии, запасенной молем вещества, нам надо взять интеграл:

.

При высокой температуре  и экспоненту в знаменателе подынтегрального выражения можно разложить в ряд, ограничившись первым членом разложения: . Кроме того, куб скорости в знаменателе можно представить в виде:

.

Тогда для ET мы получим:

.

Таким образом, при высокой температуре молярная теплоемкость кристалла

,

и мы получаем закон Дюлонга и Пти. Как должно быть ясно из сказанного, это выражение справедливо лишь при достаточно высокой температуре, когда возможно разложение экспоненты в ряд с ограниченным количеством членов разложения.

Анализировать поведение теплоемкости при низких температурах мы не будем. Отметим только, что в качестве “граничной” температуры вводится так называемая температура Дебая q, которая определяется условием: . При температурах  необходимо учитывать эффекты квантования энергии.

14.1. Преобразования Лоренца

До сих пор у нас не возникало необходимости переходить из одной системы отсчета в другую при больших скоростях относительного движения этих систем. Потому мы пользовались преобразования Галилея, не учитывающими релятивистские эффекты. Но теперь нам понадобятся преобразования Лоренца. При движении со скоростью v некоторой системы K’ вдоль оси OX “неподвижной” системы K они имеют вид:

;       ;

;        .

Мы выписали прямые и обратные преобразования. Отмеченные штрихами величины относятся к движущейся системе отсчета.

Чтобы немного привыкнуть к этим преобразованиям, решим две частные задачи, не имеющие прямого отношения к волнам.

Рассмотрим движение некоторого стержня вдоль оси OX. Свяжем с ним движущуюся систему отсчета K’. Его длина в этой системе отсчета . Заметим, что, поскольку стержень в этой системе неподвижен, координаты его концов могут быть определены в произвольные моменты времени - координаты не изменяются во времени. Обратите внимание на это существенное обстоятельство.

Получим теперь выражение для длины стержня в неподвижной системе отсчета. Запишем такое выражение:

.

Чтобы определить длину движущегося стержня в неподвижной системе отсчета, нам следует определить координаты его концов в один и тот же момент времени, т.е. положить . При этом условии  - длина стержня в неподвижной системе отсчета. Таким образом, длина движущегося стержня оказывается меньше его “собственной” длины:

.

В таком случае говорят о лоренцовом сокращении длины движущегося стержня.

Предположим теперь, что в неподвижной системе отсчета произошли два события, разделенные промежутком времени . Например, это может быть промежуток времени между рождением и распадом некоторой нестабильной частицы. Считая, что частица движется со скоростью v, свяжем с ней систему отсчета. В этой системе промежуток времени между событиями, которые, заметим, в ней произошли в одной и той же точке с координатой x’, будет:

;

.

В таком случае говорят  о замедлении хода часов в движущейся системе отсчета.

Это замедление хода часов (или хода времени) приводит к любопытному эффекту. Исследуя некоторую нестабильную частицу, мы можем измерить ее “время жизни” t¢ которое является характеристикой частицы, а не системы отсчета. Если такая частица после рождения движется со скоростью v, мы можем подумать, что до момента распада она пройдет путь vt¢ - от рождения и до распада в связанной с частицей системе отсчета пройдет время t¢. Между тем пройденный за это время путь мы, естественно, измеряем в неподвижной системе отсчета. И тогда этот путь окажется намного больше, если скорость частицы близка к скорости света:

 .

Так что, измеряя пройденное от момента рождения частицы до ее распада расстояние, можно непосредственно проверить вывод о замедлении хода времени в движущейся системе отсчета.

14.2. Эффект Допплера

При излучении волны движущимся источником частота излученной волны не совпадает с частотой колебаний источника. Соответственно, воспринимаемая движущимся приемником частота колебаний не совпадает с частотой колебаний, распространяющихся с волной. Связанные с переходом из одной системы в другую изменения частоты и волнового вектора носят название эффекта Допплера.

Рассмотрим процесс отражения электромагнитной волны от движущегося навстречу ей зеркала.

 На рисунке представлены электромагнитные волны до и после отражения. Перейдем в систему отсчета, связанной с движущимся зеркалом.

Подставим в выражение для падающей на зеркало волны значения t и x и проведем перегруппировку сомножителей:

.

В аргументе падающей на зеркало волны в движущейся K’ системе

;  

  .

Такой представляется волна наблюдателю, движущемуся вместе с зеркалом.

Проделаем те же операции с аргументом отраженной волны, распространяющейся направо:

.

Естественно, в этих выражениях w¢  и k¢ одни и те же: в связанной с зеркалом K’ системе волна отражается без изменения частоты и волнового числа. Поэтому

;       .

С помощью этих равенств мы можем выразить значения w2 и k2 через частоту и волновое число падающей волны w1 и k1:

;

.

При преобразованиях мы воспользовались выражением .

Таким образом, при отражении волны от движущегося навстречу ей зеркала происходит увеличение частоты и, соответственно волнового числа. Если волна имела квант энергии ћw1, после отражения эта энергия возрастет - за счет работы против сил давления на зеркало в процессе отражения. Это означает, что такой квант энергии обладает импульсом.

Получим выражение для импульса из самых элементарных соображений. Введя среднюю силу взаимодействия кванта F, запишем для изменения импульса выражение:

,

и, поскольку взаимодействие происходит на скорости света c, изменение энергии

.

Поэтому

;        .

Таким вот образом постепенно появляется представление о некоторой частице - фотоне. Ее энергия  и импульс  связываются с частотой w и волновым числом k.

14.3. Поперечный эффект Допплера. Аберрация

Преобразования Лоренца мы выписали для случая движения системы отсчета K’ вдоль оси OX. Их надо еще дополнить выражениями для преобразований y- и z-координат. Они имеют вид

.

Вообще говоря, это приводит к выражениям  и . Поэтому может создаться впечатление, что при движении электромагнитной волны в перпендикулярном к оси OX направлении релятивистские эффекты несущественны. Однако это не так.

Предположим, что волна в неподвижной системе отсчета распространяется вдоль оси OY (). Перейдем, как мы делали это раньше, в движущуюся систему отсчета:

;

.

Изменение частоты при поперечном эффекте Допплера связано с замедлением хода времени в движущейся системе отсчета. При этом еще изменяется и направление распространение волны - ее угол с осью OY определяется выражениями

.

Связанное с этим смещение видимого положения звезды на угол q по отношению к ее истинному положению называют аберрацией. В течение года направление движения Земли при ее обращении вокруг Солнца изменяется, изменяется и положение наблюдаемой звезды на небосводе.

Сама по себе аберрация не является следствием теории относительности. Забыв о последней, мы могли бы провести такие рассуждения.

Если телескоп движется перпендикулярно к направлению на звезду, необходимо наклонить его так, чтобы свет распространялся вдоль оси телескопа. Угол наклона при этом должен быть таким, чтобы . Как видите, результат при этом получается другой. Точное измерение необходимого угла наклона позволяет еще раз проверить справедливость теории относительности.

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9