Реферат: Лекции по физике

Таким образом, для амплитуды суммарных колебаний мы имеем выражение:

.

Начальную фазу колебаний первого луча мы положили равной нулю.

Для сложения этих колебаний перейдем к комплексным переменным - добавим мнимую часть, памятуя, что физический смысл имеет лишь реальная часть суммы, которую мы получим:

.

Итак, нам надо найти сумму членов бесконечной геометрической прогрессии, знаменатель которой . Таким образом,

.

Амплитуда суммарных колебаний равна модулю комплексного значения :

.

Воспользовавшись формулой Эйлера, произведем перемножение скобок под квадратным корнем в знаменателе:

.

Вспомним, что

.

Таким образом,

.

Как и ожидалось, с увеличением коэффициента отражения глубина минимумов увеличивается. Одновременно уменьшается ширина интерференционных полос. Предвидеть этот результат было не так просто.

9. Дифракция Фраунгофура

Дифракция рассматривает процессы отклонения направления распространения света от прямолинейного при встрече с некоторыми препятствиями или при отражении от них. В случае дифракции Фраунгофера рассматривается падение на препятствие плоской волны (бесконечно удаленный источник света) и подразумевается, что зона наблюдения удалена от препятствия на достаточно большое расстояние (находится на бесконечности). Коротко говоря, это “дифракция в параллельных лучах”.

Как Вы увидите, основные задачи дифракции Фраунгофера мы, собственно, уже решили. Просто мы говорили о волнах вообще, а словом дифракция обычно обозначают именно оптические явления, поведение в том или ином случае световой (электромагнитной) волны.

9.1. Дифракция на щели

Ранее мы получили такое выражение для углового распределения амплитуды от системы точечных источников, от “цепочки” источников длиной b:

.

Ввиду особой важности да и сложности понимания этого результата получим его еще раз - другим способом.

В связи с рассмотрением явлений дифракции формулируется принцип Гюйгенса-Френеля. Согласно этому принципу элементарный участок волнового фронта считается точечным источником вторичных волн, огибающая которого и является “новым” фронтом волны. В случае дифракции на щели в качестве таких источников выбираются узкие полоски (вдоль щели), которые являются источниками цилиндрических когерентных волн. Электромагнитные колебания в удаленной зоне наблюдения подсчитывается как сумма колебаний волн, пришедших от таких источников.

На этот раз мы проведем их сложение с помощью векторной диаграммы. Амплитуда вторичной волны пропорциональна ширине элементарной полоски: , а начальная фаза колебаний зависит от координаты выбранной полоски: . Таким образом, разность фаз колебаний от соседних элементарных полосок шириной Dx составит . На такой угол будут повернуты по отношению друг к другу соответствующие векторы на фазовой диаграмме.

При стремлении ширины полоски Dx к нулю образованная элементарными векторами ломаная превращается в дугу окружности радиуса R, угловой размер дуги

.

При изменении угла q угловые размеры дуги изменяется. Но длина дуги, равная сумме модулей (длин) элементарных векторов, считается постоянной:

.

Это позволяет нам определить радиус дуги и амплитуду суммарных колебаний (см. рисунок) при произвольном q:

;       .

Как видите, мы получили то же выражение, что и раньше. Но векторная диаграмма позволяет нам нагляднее представить причины обращения амплитуды суммарных колебаний в нуль и достижение максимумов.

При j=2p дуга превращается в окружность, амплитуда суммарных колебаний равна нулю. Максимумы достигаются при j=0 и, (приблизительно) при j=(2k+1)p.

Эти ситуации показаны на рисунке. При q=0 все элементарные векторы лежат на прямой, амплитуда суммарных колебаний максимальна и равна E0. По мере увеличения угла наблюдения q и, соответственно, угла j амплитуда колебаний уменьшается и при j=2p обращается в нуль. Затем дуга скручивается в спираль и максимум достигается приблизительно в тот момент, когда она представляет собой полторы окружности (2, j=3p). При этом амплитуда колебаний равна примерно диаметру окружности: . Затем спираль становится “двойной окружностью”, амплитуда колебаний снова обращается в нуль (3) и т.д.

9.2. Дифракционная решетка

Такая решетка состоит из большого числа щелей шириной b, расположенных на расстоянии d друг от друга. Разумеется, b<d. Каждая щель может рассматриваться как источник цилиндрических волн, вызывающих электромагнитные колебания в некоторой удаленной зоне наблюдения. В этом случае оказывается справедливым результат, который мы получили для периодически расположенных точечных источников:

;     .

Но этот результат мы получили для изотропных точечных источников, интенсивность излучения которых не зависит от направления. Теперь у нас источниками являются щели, у которых амплитуда волны существенно зависит от направления наблюдения. Поэтому в выражение для углового распределения амплитуды волны, рождаемой периодически расположенными источниками, надо вставить угловое распределение амплитуды волны самих источников, щелей:

.

Это довольно сложное выражение, но смысл его должен быть понятен. Он поясняется и рисунком. Вверху показано угловое распределение амплитуды волны, излучаемой изотропными источниками. Внизу - угловое распределение амплитуды после прохождени светом решетки. Там же показано угловое распределение амплитуды волны, излучаемой щелью. По рисунку можно оценить отношение ширины щели к периоду решетки b/d.

9.3. Дифракционная решетка как спектральный прибор

Очевидно, что дифракционная решетка может быть использована для разворачивания падающего на нее света в спектр, когда угловое положение максимума зависит от длины волны l. При q=0 наблюдается максимум для всех длин волн. Но (угловые) положения максимумов k-того порядка при k>1 различны для разных длин волн. Это следует из условия максимума . То, как “быстро” изменяется угол q, под которым наблюдается максимум, при изменении длины волны определяет угловую дисперсию решетки  (это - определение термина)

.

Как видно, дисперсия возрастает с ростом порядка максимума k и с уменьшением периода решетки d. Обратите внимание, что в знаменателе стоит , который уменьшается с увеличением угла.

Естественно, чем больше угловая дисперсия, тем успешнее могут быть разрешены близкие по длине линии спектра, наблюдаться как отдельные линии. Попробуем разобраться с вопросом разрешения линий детальнее.

Пусть в спектре имеется пара линий с близкими длинами волн l1 и l2, разность длин волн dl=l2-l1. Любая линия обладает некоторой “естественной” шириной, которая предполагается меньше разности длин вол самих линий: dl1»dl2<dl.

Но даже если бы ширина каждой линии была равна нулю, при наблюдении излучения после дифракционной решетки каждой линии будет отвечать некоторая полоса (на рисунке внизу). Она определяется свойствами самой решетки и для разрешения близких по длине волны линий эта ширина должна быть меньше или равна .

В физике вводится величина, называемая разрешающей способностью:

.

В этом выражении dl означает минимальную разность длин волн линий, которые могут наблюдаться в спектре как отдельные линии, и величина R является характеристикой спектрального прибора (например, дифракционной решетки).

Подсчитаем разрешающую способность дифракционной решетки. Для этой цели используется критерий Рэлея: линии считаются разрешенными, наблюдаются как отдельные линии, если при разложении в спектр максимум одной линии совпадает с минимумом другой. Ширина дифракционной полосы (отвечающей определенной линии) определяется положением ближайших к максимуму минимумов. Положение минимумов, в свою очередь, определяется выражениями

;       k’¹0,N,2N,...

Если k’ кратно количеству щелей N, то наблюдается максимум - знаменатель второго сомножителя выражения для распределения амплитуды колебаний в удаленной зоне наблюдения обращается в нуль:

.

Таким образом, максимум первой волны наблюдается при условии . Потребуем, чтобы при этом же угле наблюдался минимум второй волны:

;

.

Считая, что  и поэтому пренебреая последним слагаемым в выписанном выражении, получаем:

;        .

Таким образом, разрешающая способность тем выше, чем больше порядок интерференционного максимума, и чем больше количество щелей решетки.

Лекция 12

10. Дифракция на круглом отверстии

В плане историческом теоретическое исследование явлений дифракции было исключительно важным для утверждения представлений о волновой природе света. Что и говорить, правильные представления в каждой области очень важны для общего правильного представления о Природе. Только в таком случае мы можем успешно использовать явления всякого рода для наших нужд.

В оптике различные приборы по понятным причинам имеют круглое входные отверстия, диафрагмы и проч. И неизбежная дифракция на круглых отверстиях ограничивает возможности этих приборов. При знакомстве, например, с линзой мы ограничивались параксиальными лучами, достаточно узкими пучками света. Лишь при этом условии преломляющие поверхности линзы можно изготавливать сферическими. Но это, естественно, ограничивает возможности изготовленных из таких линз оптических приборов и, в частности, из-за дифракции. А вот, например, для астрономических наблюдений необходимы грандиозно большие входные отверстия, изменяемые метрами. В этом случае задача изготовления телескопа неимоверно усложняется, телескопы с такими отверстиями очень дороги и, соответственно, уникальны.

Вот для некоторого, хотя бы, понимания этих проблем нам и необходимо заняться обсуждением дифракции на круглых отверстиях.

10.1. Зоны Френеля

При знакомстве с дифракцией в параллельных лучах (при бесконечных расстояниях до источника света и до зоны наблюдения) их параллельность сильно упрощала математические проблемы необходимых расчетов, хотя результаты и их смысл не становились от этого очень простыми. Теперь нам придется иметь дело со сферическими волнами, их лучи, разумеется, не параллельны друг другу. Это усложняет нужную для расчета математику, большинство задач поэтому мы будем решать приближенно. Но вначале оставим хотя бы расстояние до источника бесконечным - рассмотрим дифракцию плоской волны на круглом отверстии.

В соответствии с принципом Гюйгенса-Френеля каждый элементарный участок фронта Ds может быть рассмотрен как точечный источник сферических волн. Такой участок показан на рисунке. Точка наблюдения p в наших задачах, как правило, будет находиться на оси симметрии на некотором расстоянии от отверстия или от круглой преграды. Разумеется, от различных элементарных участков фронта свет к точке наблюдения будет проходить разные расстояния и при сложении колебаний нам необходимо будет учитывать разности фаз dj отдельных колебаний. Но разности фаз dj, понятно, будут нулевыми, если элементарные участки расположены в пределах тонкого кольца, и тогда (пока мы не перешли к другому кольцу) мы можем просто складывать амплитуды колебаний волн, приходящих от таких участков. Поэтому и сами элементарные участки мы будем выбирать в виде тонких колец. Фаза колебаний в точке наблюдения будет зависеть от радиуса такого кольца.

Итак, рассмотрим падение плоской волны на круглое отверстие и проанализируем, как зависит от радиуса отверстия амплитуда суммарных колебаний в точке наблюдения.

Из рисунка видно, что разность хода лучей от края кольца радиуса r и от центра отверстия

.

Поэтому от кольца с радиусом r колебания будут приходить с запаздыванием по фазе на

.

С помощью векторной диаграммы мы будем складывать колебания, приходящие в точку наблюдения от тонких колечек толщиной Dr. Соответствующие векторы на фазовой диаграмме будут повернуты по отношению друг к другу на угол

.

При достаточно большом радиусе будет

.

Соответствующий радиус r1 называется (внешним) радиусом первой зоны Френеля. При дальнейшем увеличении радиуса, естественно, величина j будет увеличиваться. Из условия j=kp мы получаем выражение для радиуса k-й зоны Френеля:

;      .

Мы уже достаточно много работали с векторными диаграммами, и должно быть понятно, что при дальнейшем увеличении радиуса отверстия (по сравнению с r1) амплитуда суммарных колебаний в точке наблюдения, пропорциональная длине отрезка (вектора), соединяющего начало и конец дуги, будет уменьшаться. Она достигнет минимума, когда радиус отверстия достигнет внешнего радиуса второй зоны Френеля. Но в отличии от задачи о колебаниях волны, излучаемой щелью при дифракции Фраунгофера, дуга не замкнется в окружность, мы получим некоторую скручивающуюся спираль. Длина вектора, проведенного от начала к центру спирали, дает, очевидно, амплитуду падающей волны - скручивание спирали к центру соответствует бесконечно большому радиуса отверстия, когда дифракция не наблюдается.

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9