Реферат: Лекции по физике

;

         .

В выписанных выражениях R - постоянная вращения (постоянная Верде).

Лекция 15

12. Тепловое излучение

12.1. Основные понятия. Закон Кирхгофа

До сих пор мы в основном занимались волнами как таковыми, необязательно конкретизируя природу волны. Соответственно, в определенном смысле, в разговорах часто присутствовало больше геометрии, чем физики. Хотя, конечно, физика без геометрии - это не физика.

Но вот теперь на первый план выходят очень непростые существенно физические проблемы и закономерности. И, в частности, разговор о тепловом излучении требует введения некоторых специальных понятий.

Говоря о тепловом излучении, мы будем говорить о равновесном состоянии, о равновесии между нагретыми телами - эти тела излучают тепловую энергию и поглощают ее. Иначе говоря, имеет место равновесие между телами и электромагнитным полем, в которые эти тела оказываются “погруженными”.

Для описания этих процессов нам понадобятся некоторые новые понятия. Прежде всего это энергетическая светимость R. В соответствии с определением, с элементарной поверхности Ds за время Dt излучается энергия DW = R×Ds×Dt. Эта энергия относится ко всему частотному диапазону и излучается в пределах телесного угла 2p.

Следующее понятие - испускательная способность . Она входит в выражение  и определяет энергетическую светимость в диапазоне dw. Однако, испускательная способность зависит также и от температуры. Поэтому обычно пишут . Тогда энергетическая светимость при некоторой температуре

.

Испускательную способность иногда удобно относить не к некоторому значению частоты, а к значению длины волны l. Тогда пишут . Поскольку

и по смыслу , мы имеем:

;

;

.

Последнее выражение связывает величины rw и rl, и мы при необходимости можем переходить от одной к другой.

При падении лучистой энергии на поверхность часть ее, вообще говоря, поглощается. Поглощательная способность зависит от частоты и от температуры. Поэтому выражение для нее записывается в виде:

.

В знаменателе стоит поток падающей лучистой (электромагнитной) энергии, относящейся к интервалу dw, в числителе - поглощенная часть потока. Если при любых частотах , тело  называется абсолютно черным. При частичном поглощении падающего потока энергии говорят о сером теле. При этом подразумевается, что поглощательная способность не зависит от частоты: . Естественно, поглощательная способность не может быть больше единицы.

Таковы основные понятия, необходимые нам для разговора о тепловом излучении.

Мы уже говорили, что речь идет о тепловом равновесии между телом (его излучением) и окружающем его пространстве, заполненном лучистой энергии. Что будет, если имеется несколько тел с разными свойствами поверхностей? Оказывается, что отношение испускательных и поглощательных способностей обязаны быть равны:

.

Действительно, в противном случае у них были бы различные температуры и мы с легкостью получили бы вечный двигатель.

Это отношение представляет собой некоторую функцию частоты и температуры (или же длины волны и температуры):

.

Это соотношение между функциями  следует из таких соображений. Для абсолютно черного тела  и, стало быть,

.

Абсолютно черное тело является некоторой идеализацией - таких тел в природе просто не существует. Но к свойствам абсолютно черного тела могут быть сколь угодно близки свойства некоторого специального устройства. Оно представляет собой некую полость с, вообще говоря, зачерненной шероховатой внутренней поверхностью и небольшим отверстием. Проникшая через отверстие, электромагнитная волна любой частоты будет рассеиваться на внутренней поверхности полости, частично поглощаться и может выйти из нее только после многочисленных отражений. Доля вышедшей после многочисленных частичных поглощений при “соприкосновении” с внутренней поверхностью полости явно весьма незначительна.

Хотя поглощательная способность внутренней поверхности полости и не равна единице, при каждом отражении происходит поглощение части энергии, при многочисленных отражениях будет поглощена практически вся энергия.

Таким образом, входное отверстие такой полости, даже не являясь поверхностью какого-нибудь тела, обладает свойствами поверхности абсолютно черного тела. И для нас, конечно, важно не столько то, что (почти) вся падающая на эту “поверхность” энергия будет поглощена, сколько то, что ее излучение будет практически совпадать с излучением абсолютно черного тела. В соответствии с законом Кирхгофа.

12.2. Плотность лучистой энергии

Рассмотрим детальнее равновесие элемента поверхности абсолютно черного тела и лучистой энергии, в которую оно “погружено”. Выделим элемент поверхности Ds и некоторый элементарный объем DV в окружающем его пространстве.

Введя плотность энергии , мы можем записать выражение для части заключенной в выделенном объеме энергии, которая протечет через выделенную площадку:

.

Это выражение написано из таких соображений. Запасенная в выделенном объеме энергия будет распространяться в пределах телесного угла 4p. Значит, через выделенную площадку пройдет часть этой энергии, равная отношению телесного угла , под которым из выделенного объема видна площадка, к полному телесному углу.

Далее, в силу симметрии, элементарный объем можно выбрать в виде “бублика”, объем которого

.

Таким образом, чтобы подсчитать энергию, которая пройдет через выделенную площадку за время , нам надо взять интеграл по dq :

.

В условиях равновесия за то же время площадкой Ds будет испущена такая же по величине энергия. Поэтому,

;

.

Мы нашли связь между испускательной способностью абсолютно черного тела и плотностью электромагнитной энергии в условиях равновесия.

12.3. Лучистая энергия

Мы нашли связь между функциями испускательной способности и плотности электромагнитной энергии. Но представляется совершенно неясным, каким способом можно было бы найти вид этих функций. Здесь нужны какие-то дополнительные гипотезы о способе существования, что ли, лучистой, волновой энергии. Ясно, что такое описание распределения энергии по частотам (это функции частоты!) при определенной температуре должно быть вероятностным, но в основе должно предположить существование какой-то функции распределения, подобно тому, как мы в свое время нашли вид функции распределения Максвелла для молекул (атомов).

Такой гипотезой явилось предположение, что лучистая энергия могла бы существовать в виде стоячих волн. Стоячими волнами мы ранее немного занимались, но теперь нам надо исследовать этот вопрос детальнее.

Пусть у нас имеется полость в виде прямоугольного параллелепипеда со сторонами a,b,c. Условием существования стоячей волны вида

является выполнение условий

.

Речь, разумеется, идет о плоской волне, и только при выполнении этих условий любой луч волны окажется замкнутым. Причем в любую “стартовую” точку волна будет возвращаться с неизменной фазой.

Теперь можно говорить о некотором распределении стоячих волн по оси частот - они могут принимать лишь некоторые дискретные значения.

Перейдем в декартово пространство, в котором по осям отложены значения составляющих векторов . Концы векторов, удовлетворяющих условию стоячей волны, будут иметь координаты . Это позволяет нам говорить о плотности таких точек в k - пространстве: поскольку , элементарный объем на одну точку (конец вектора ) . Равная обратной величине элементарного объема, плотность точек Nk в k - пространстве оказывается величиной постоянной: .

Собственно, нас интересуют количества векторов в модулем от k до k+Dk. Чтобы подсчитать это количество, выберем элементарный объем в k - пространстве в виде тонкого шарового слоя радиуса k и толщиной Dk и умножим его на плотность точек:

.

Теперь нам надо проделать еще такие операции. Во-первых, перейдем от волновых векторов k к частотам w: . Затем нам надо умножить полученное число на 2, поскольку имеется два взаимно перпендикулярных направления колебаний - это будут разные стоячие волны. Тогда на единицу объема мы получаем такое количество волн с частотой w:

.

Теперь попробуем понять, что мы, собственно, получили. Это выражение дает нам число волн с частотой w в единице объема. Но это еще не количество стоячих волн. При каждом отражении волна изменяет направление распространения, но это остается та же волна с частотой w. При нашем же подсчете они считались различными волнами - с определенным модулем волнового числа k и независимо от направления вектора . Поэтому полученное количество волн нам надо разделить на 8 и вот почему.

При каждом отражении изменяется знак одной из проекций вектора . Как видно из рисунка, изменение знаков проекций kX и kY дает четыре возможные направления вектора . Но остается еще возможность изменения знака kZ - итого получается 8 возможных направлений распространения (одной и той же) волны с частотой w. Таким образом, переходя к дифференциалам, мы получаем нужное выражение:

.

Эти стоячие волны заманчиво трактовать как колебательные степени свободы для лучистой энергии. Тогда на каждую стоячую волну пришлась бы порция энергии kT. Но здесь нас ждет большая неприятность: количество стоячих волн (вплоть до w=¥) неограничено, плотность энергии оказывается бесконечной, что, конечно, никак не может отвечать реальности.

Тем не менее не стоит приходить в отчаяние. Нам еще придется сделать некоторые уточнения, связанные с более глубоким пониманием физики. Тогда мы и получим разумный результат.

12.4. Формула Планка

Изучение теплового равновесного излучения как и других явлений привело физиков к идее квантования. Каждой колебательной степени свободы пришлось приписать энергию в несколько энергетических квантов - порций энергии величиной ћw.

Количество стоячих волн с энергией  определяется распределением Больцмана:

.

С увеличением частоты количество волн с большой энергией уменьшается и тем самым снимается проблема бесконечной плотности энергии.

Подсчитаем среднюю энергию стоячей волны с частотой w:

.

Мы ввели обозначение .

Выражение под знаком логарифма представляет собой сумму членов бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем . Поэтому средняя энергия стоячей волны

.

Умножив это значение на количество волн в интервале dw, получим энергию в этом интервале:

,

мы получим для плотности лучистой энергии выражение

,

которое носит название формулы Планка.

Лекция 16

12.5. Закон Стефана-Больцмана и закон смещения Вина

Мы с Вами получили связь между плотностью лучистой энергии и испускательной способностью абсолютно черного тела

и формулу Планка для плотности энергии

.

Это позволяет нам записать выражение для испускательной способности абсолютно черного тела:

.

Это выражение также называют формулой Планка. С ее помощью можно получить закон Стефана-Больцмана - связь энергетической светимости абсолютно черного тела с температурой:

.

Произведем замену переменной: введем . Тогда выражение для энергетической светимости примет вид:

.

Интеграл в правой части выражения равен . Таким образом,

;        .

Величина s называется постоянной Стефана-Больцмана и ее значение, подсчитанное с помощью формулы Планка, весьма точно совпадает с определенным экспериментально.

Закон смещения Вина связывает температуру и длину волны, на которую приходится максимум излучения абсолютно черного тела:

;        .

 Чтобы получить выражение для b, нужно исследовать функцию

на экстремум. Принципиальных проблем в этой связи  не возникает, но вычисления оказываются достаточно громоздкими. И тем не менее, учитывая огромную важность формулы Планка, нам следует заняться этими вычислениями.

Прежде всего перейдем в функции  от переменной  к переменной l. Проследите внимательно за выкладками:

.

Мы ввели обозначение . Поскольку

,

мы получаем не такое уж сложное выражение:

.

Теперь займемся дифференцированием. Нам необходимо решить уравнение

;

.

Решить это уравнение “напрямую” нам не удастся. Поэтому перепишем его в виде

и решим методом последовательных приближений, в данном случае весьма эффективным.

В качестве нулевого приближения напрашивается значение . Тогда

;

       ;

       .

Ограничившись четырьмя знаками после запятой, получаем:

;

;         .

Полученное нами значение b очень хорошо совпадает с экспериментальным значением.

Сами законы Стефана-Больцмана и закон смещения Вина были установлены раньше, чем была получена формула Планка. То, что из нее были затем получены верные значения констант s и b, явилось блестящим подтверждением верности тех представлений, которые были заложены при ее получении. Но смысл этих представлений нам еще нужно осознать.

12.7. Оптическая пирометрия

Установление законов Стефана-Больцмана и закона смещения Вина позволили создать измерители температуры, работающие без контакта с горячим, лучшее сказать, с раскаленным телом.

Радиационные пирометры. Такие пирометры основаны на фокусировке излучения раскаленной поверхности на некотором теплоприемнике. Замечательно, что яркость резкого (сфокусированного) изображения не зависит от расстояния до объекта, если это последнее велико  по сравнению с фокусным расстоянием объектива. Собственно, приходящую от удаленного объекта волну можно считать плоской, отчего попадающая на теплоприемник энергия слабо зависит от расстояния. Важно только, чтобы создаваемое объективом изображение полностью перекрывало теплоприемник.

Разумеется, предварительно производится градуировка пирометра по абсолютно черному телу. Но поскольку энергетическая светимость реальной раскаленной поверхности при той же температуре меньше светимости абсолютно черного тела (в соответствии с законом Кирхгофа), измеренная радиационная температура оказывается меньше действительной.

В справочниках имеются соответствующие поправочные коэффициенты, учитывающем отличие светимости поверхностей реальных материалов от светимости абсолютно черного тела. Любопытно, что значения этих коэффициентов в свою очередь зависят от температуры.

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9