|
Реферат: Структура аффинного пространства над телом1). Если два неколлинеарных вектора, то неколлинеарны и , ; в противном случае образы двух прямых , , проходящих через одну и ту же точку с направляющими , совпадали бы, что невозможно в силу А). Для любого имеем , откуда в силу неколлинеарности , . 2). Если , - коллинеарные ненулевые векторы, то предположение позволяет выбрать так, что пары и свободны. Отсюда находим, что . Так для каждого отображение , есть константа, мы обозначим ее через . Е). Отображение является изоморфизмом тел. Выбрав , мы увидим прежде всего, что соотношения и влекут (с учетом ) и , т.е. показывают, что - гомоморфизм тел. Наконец, для любой точки отображение есть биекция на прямую ; ограничение на есть биекция на прямую . Следовательно, композиция , биективна. Отсюда вытекает, что отображение биективно. Итак, изоморфизм тел, полулинейное отображение, ассоциированное с , и полуаффинное отображение. Случай плоскости. Если и двумерны, то условие 2) в теореме 8.1 следует из условия 1) и инъективности . Мы можем, таким образом, сформулировать Следствие. Если ,аффинные плоскости и - инъективное отображение, такое, что образ любой прямой в есть прямая в , то полуаффинное отображение. Замечание. Условия теоремы 8.1 выполняются, в частности, если инъективное отображение в себя, такое, что образ любой прямой есть прямая, параллельная ; тогда можно непосредственно доказать, что дилатация. 9.Основная теорема аффинной геометрии. Исходя из теоремы 8.1 и опираясь на характеризацию аффинных многообразий, представленную теоремой 4.8, мы докажем здесь следующую теорему: Теорема 9.1. Пусть ,аффинные пространства над телами , , отличными от поля ; для того, чтобы отображение было полуаффинным, достаточно, чтобы 1). Образ любой прямой в был прямой в , либо сводился к одной точке. 2). Аффинное подпространство в , порожденное , имело размерность . Мы подразделим доказательство этой теоремы на семь лемм; в каждой из них предполагается, что удовлетворяет условиям 1) и 2). Лемма 1. Если есть ЛАМ в , то - ЛАМ в . Доказательство. Пусть и - две различные точки в . Тогда прямая есть по условию 1) образ прямой ; так как прямая содержится в , прямая содержится в . Результат теперь вытекает из теоремы 4.8. Лемма 2. Если - ЛАМ в и множество непусто, то оно является ЛАМ в . Доказательство. Результат очевиден, если сводится к одной точке. В противном случае для любой пары различных точек , прямая содержится в согласно 1). Таким образом, прямая содержится в и теорема 4.8 показывает, что есть ЛАМ. Лемма 3. Для любой непустой части пространства . (1) Доказательство. есть ЛАМ в , содержащее ; по лемме 1, есть ЛАМ в , содержащее . Отсюда следует включение . Аналогично, по лемме 2, есть ЛАМ в , содержащее , а потому и ; имеет место включение ; применение отображения дает . Окончательно получаем равенство (1). Лемма 4. Пусть - пара параллельных прямых в . Если сводится к точке, то же имеет место и для . Если - прямая, то и - прямая, параллельная . Доказательство. Мы можем предположить, что . Тогда есть ЛАМ размерности 2 в , порожденное двумя точками , одной из прямых и точкой другой прямой; по леммам 2и 3, есть ЛАМ размерности . А). Покажем сначала, что либо . Допустим, что и действительно имеют общую точку. Тогда найдутся точки и , такие, что . Выбирая и полагая по-прежнему , получим с помощью леммы 3, что и аналогично , откуда . Поскольку сформулированное утверждение при очевидно, будем далее полагать , т.е. считать, что и не имеют общих точек. Б). Предположим, что - прямая в и ; тогда имеет размерность 2. Если бы на прямой существовали две точки , такие, что , то для любой точки мы имели бы и , и тогда не было бы двумерным вопреки предположению. Отсюда следует, что - прямая. Значит, и - две прямые без общих точек, лежащие в одном ЛАМ размерности 2, т.е. параллельные. В). Если сводится к одной точке, то меняя ролями ии применяя результат Б), мы видим, что также сводится к точке. Лемма 5. Если пара точек в , таких, что множества , непусты, то и - ЛАМ с общим направлением. Доказательство. По лемме 2, и суть ЛАМ в . Предполагая, что , фиксируем точку в и точку в ; параллельный перенос на вектор обозначим через . Для любой точки прямая параллельна прямой, и поскольку образ прямой сводится к одной точке , то образ прямой сводится к одной точке . Таким образом, влечет и имеет место включение . Меняя ролями и , получим включение , откуда . Итак, , имеют общее направление. Лемма 6. Обозначим через общее направление непустых ЛАМ в вида , где , и пусть - факторпространство по отношению эквивалентности , определенному условием . Тогда имеет единственную аффинную структуру, такую, что каноническая проекция является аффинной. Доказательство. Выбор начала в сводит дело к случаю факторпространства векторного пространства По его векторному подпространству , и оказывается, что достаточно применить теорему II.4.3, приняв точку за начало в . Отметим, что является пространством орбит действия группы трансляций на ; это есть множество ЛАМ с направлением .(см. §2). Лемма 7. В обозначениях леммы 6 отображение представляется в виде , где - инъективное полуаффинное отображение; отсюда вытекает, что полуаффинно. Доказательство. Существование и инъективность вытекают из того, что соотношение равносильно (см. лемму 5), и тем самым . Для доказательства полуаффинности покажем, что оно удовлетворяет условиям теоремы 8.1. Пусть – произвольная аффинная прямая , порожденная двумя различными элементами из . Без труда проверяется, что есть ЛАМ в , порожденное . По лемме 3, есть ЛАМ, порожденное ; итак (в силу инъективности ), является аффинной прямой . Наконец, не может сводиться к одной точке или прямо, так как тогда к точке или прямой сводилось бы и , что противоречит условию 2). Поэтому . Отсюда следует, что удовлетворяет условиям 1) и 2), наложенным на , при условии замены на . Лемма 4 показывает тогда, что образы при отображении двух параллельных прямых , из - две параллельные прямые. Наконец, удовлетворяет всем условиям теоремы 8.1 (после замены на ). Следовательно, полуаффинно и так же обстоит дело с . Теорема 9.1 тем самым полностью установлена. Этот результат особенно интересен в случае, когда тела и совпадают и не допускают других автоморфизмов, кроме тождественного (например, когда или при : в этом случае мы получаем чисто геометрическую характеризацию аффинных отображений ранга пространства в . Кроме того, очевидно, что теорема 9.1 потеряла бы силу при отсутствии условия 2): ведь любое отображение на прямую тривиальным образом удовлетворяет условию 1). Так же и в случае условие 1) выполнено для любого отображения в (поскольку каждая прямая в и состоит из двух точек). Теорема 9.1 теряет силу и в этом случае. Наконец, нельзя заменить требование «образ прямой есть прямая или точка» более слабым условием «образы коллинеарных точек коллинераны», даже при условии, что биективно. Например, , есть биекция векторного пространства над в векторное пространство над , и образ каждой прямой из при отображении содержится в фнекоторой прямой пространства , но не является полулинейным (поскольку и не изоморфны). Лемма 6. Обозначим через общее направление непустых ЛАМ в вида , где , и пусть - факторпространство по отношению эквивалентности , определенному условием . Тогда имеет единственную аффинную структуру, такую, что каноническая проекция является аффинной. Доказательство. Выбор начала в сводит дело к случаю факторпространства векторного пространства По его векторному подпространству , и оказывается, что достаточно применить теорему II.4.3, приняв точку за начало в . Отметим, что является пространством орбит действия группы трансляций на ; это есть множество ЛАМ с направлением .(см. §2). Лемма 7. В обозначениях леммы 6 отображение представляется в виде , где - инъективное полуаффинное отображение; отсюда вытекает, что полуаффинно. Доказательство. Существование и инъективность вытекают из того, что соотношение равносильно (см. лемму 5), и тем самым . Для доказательства полуаффинности покажем, что оно удовлетворяет условиям теоремы 8.1. Пусть – произвольная аффинная прямая , порожденная двумя различными элементами из . Без труда проверяется, что есть ЛАМ в , порожденное . По лемме 3, есть ЛАМ, порожденное ; итак (в силу инъективности ), является аффинной прямой . Наконец, не может сводиться к одной точке или прямо, так как тогда к точке или прямой сводилось бы и , что противоречит условию 2). Поэтому . Отсюда следует, что удовлетворяет условиям 1) и 2), наложенным на , при условии замены на . Лемма 4 показывает тогда, что образы при отображении двух параллельных прямых , из - две параллельные прямые. Наконец, удовлетворяет всем условиям теоремы 8.1 (после замены на ). Следовательно, полуаффинно и так же обстоит дело с . Теорема 9.1 тем самым полностью установлена. Этот результат особенно интересен в случае, когда тела и совпадают и не допускают других автоморфизмов, кроме тождественного (например, когда или при : в этом случае мы получаем чисто геометрическую характеризацию аффинных отображений ранга пространства в . Кроме того, очевидно, что теорема 9.1 потеряла бы силу при отсутствии условия 2): ведь любое отображение на прямую тривиальным образом удовлетворяет условию 1). Так же и в случае условие 1) выполнено для любого отображения в (поскольку каждая прямая в и состоит из двух точек). Теорема 9.1 теряет силу и в этом случае. Наконец, нельзя заменить требование «образ прямой есть прямая или точка» более слабым условием «образы коллинеарных точек коллинераны», даже при условии, что биективно. Например, , есть биекция векторного пространства над в векторное пространство над , и образ каждой прямой из при отображении содержится в некоторой прямой пространства , но не является полулинейным (поскольку и не изоморфны).
|
НОВОСТИ |
ВХОД |
|
Рефераты бесплатно, реферат бесплатно, курсовые работы, реферат, доклады, рефераты, рефераты скачать, рефераты на тему, сочинения, курсовые, дипломы, научные работы и многое другое. |
||
При использовании материалов - ссылка на сайт обязательна. |