Реферат: Структура аффинного пространства над телом

Доказательство.  есть множество векторов , где ; таким образом,  есть образ  при биекции , , и поскольку , то .

Установив это, легко убедиться, что  наделено структурой аффинного пространства, ассоциированного с векторным пространством , которое не зависит от точки .

Вместо того, чтобы исходить из векторной структуры , можно использовать отношение эквивалентности, связанное с действием  на : ЛАМ суть классы эквивалентности для этого отношения, и мы приходим к следующему равносильному определению:

Определение 3.2. Пусть - векторное подпространство в  и - отношение эквивалентности, определяемое на ℰ с помощью

                             ;

аффинными многообразиями с направлением  называются классы эквивалентности по отношению .

Существуют и другие способы определить ЛАМ пространства ℰ, но нам кажется, что данные выше определения ведут к наиболее простому способу изложения дальнейшего.

Случай векторного пространства.

Каждое векторное пространство  канонически снабжено аффинной структурой, так как  действует на себе трансляциями; в этом случае нулевой вектор  называется также ”началом”  и

          .

ЛАМ пространства , проходящие через , суть векторные подпространства в ; ЛАМ, проходящие через точку , суть образы векторных подпространств  при параллельном переносе .

Ради кратности ЛАМ, не проходящие через начало, будут называться собственно аффинными (поскольку они не являются ВПП в ).

 Размерность линейного аффинного многообразия

Вернемся к случаю произвольного аффинного пространства ℰ; предшествующие рассмотрения позволяют определить размерность ЛАМ как размерность его направляющего ВПП. Отсюда появляются понятия: аффинной прямой (ЛАМ размерности 1) и аффинной плоскости (ЛАМ размерности 2). ЛАМ размерности  суть точки ℰ.

Аффинной гиперплоскостью называется ЛАМ, направляющее подпространство которого есть векторная гиперплоскость.

Пересечение линейных аффинных многообразий

Предложение 3. 3. Пусть - семейство аффинных подпространств в ℰ и  для каждого - направляющее подпространство для .

Если пересечение  непусто, то оно является аффинным подпространством в  с направляющим .

Доказательство сразу получается из определения 3.1. При тех же обозначениях имеет место

Предложение 3.4. Для того, чтобы пересечение  двух ЛАМ в ℰ было непустым, необходимо и достаточно, чтобы существовали такие точки  и  , что , и тогда

  .

Доказательство. Если , то для любых ,  имеем   и . Таким образом, .

Обратно, если существуют  и , такие, что , то можно представить  в виде , где , . Тогда точка , определяемая условием  , принадлежит  и, как легко видеть, . Это доказывает, что  принадлежит также , а тем самым  не пусто.

Из предложения 3.4. можно получить примеры ЛАМ с пустым пересечением, а также

Предложение 3.5. Если , - аффинные подпространства в ℰ, направляющие которых взаимно дополняют друг друга в , то  и  имеют единственную общую точку.

Параллелизм

Определение 3.3. Говорят, что два линейных аффинных многообразий ,  вполне параллельны, если они имеют одно и то же направляющее подпространство: .

Более общо, говорят, что  параллельно , если направляющие пространства ,   многообразий ,  удовлетворяют включению .

Можно проверить, что отношение ” вполне параллельно (соответственно параллельно)  ” равносильно существованию трансляции  пространства ℰ, такой, что  (соответственно ).

Аффинное подпространство, порожденное подмножеством пространства ℰ

Предположение 3.6. Если - непустое подмножество в ℰ, то существует единственное аффинное подпространство в ℰ, обозначаемое , содержащее  и обладающее следующим свойством:

Любое аффинное подпространство ℰ, содержащее , содержит и .

Говорят, что  порождено .

Коротким способом доказательства предложения 3.6. является применение предложения 3.3.:  есть пересечение всех ЛАМ, содержащих . Недостаток этого рассуждения в том, что приходится привлекать семейство ”всех ЛАМ, содержащих ”, о котором мало что известно и которое обычно даже несчетно!

Более элементарный и конструктивный способ состоит в выборе в  начальной точки , что сводит задачу к отысканию наименьшего векторного подпространства в ℰA, содержащего  (поскольку ЛАМ, содержащее , являются ВПП в ℰ). Таким образом,  есть ВПП в ℰA, порожденное ; при этом сам характер задачи показывает, что это ВПП не зависит от выбора точки   в . Если мы заметим, что направляющее подпространство для  есть ВПП в , порожденное векторами , то получим также

Предложение 3.7. Пусть - непустое подмножество в ℰ; для каждой точки  положим . Тогда векторное пространство  не зависит от выбора  и  есть ЛАМ, проходящее через  с направлением .

Можно дать прямое доказательство этого утверждения, аналогичное доказательству предложения 3.2.

В частности, если - конечное множество, то векторное пространство  не зависит от  и, следовательно, совпадает с

 и  .

Отсюда вытекает

Предложение 3.8. Размерность аффинного подпространства, порожденного  точками  пространства ℰ не превосходит ; его размерность равна  тогда и только тогда, когда  векторов  () образуют свободное семейство.

Другие свойства ЛАМ изучаются в связи с понятием барицентра.

Барицентры: приложения к изучению аффинных подпространств

В последующем ℰ всегда обозначает аффинное пространство, ассоциированное с левым векторным пространством  над, вообще говоря, некоммутативным телом . ”Взвешенной точкой” называется элемент  ℰ.

Теорема 4.1. Для каждого конечного семейства (системы)   взвешенных точек, такого, что , существует единственная точка , удовлетворяющая любому (а тогда и двум остальным) из следующих трех условий a), b), c):

a) ,

b) ℰ ,

c) ℰ .

Эта точка называется барицентром (центром тяжести) системы . Мы обозначим ее .

Эквивалентность трех условий легко устанавливается с помощью соотношения Шаля.

Свойства. a)  Однородность (слева).

Предложение 4.2. Для любого  имеем

b) Ассоциативность.

Предложение 4.3. Пусть - разбиение , т.е. совокупность непустых попарно непересекающихся подмножеств , таких, что  .

Если для любого  скаляр  отличен от нуля и мы положим , то

.

Доказательства получаются непосредственно

Замечания. По определению 4.2. можно всегда привести дело к случаю, когда ”полная масса” системы , т.е.  равна 1. В этом и только в этом случае можно положить

                              .

Для успешного использования этого обозначения следует заметить, что соотношение  равносильно каждому из следующих утверждений:

         и ℰ ,                                      (1)

                 ℰ ,                                              (2)

так как (2) влечет за собой (1).

Эквибарицентром конечного подмножества  пространства ℰ называется точка . Она существует только тогда, когда характеристика  не является делителем числа .

Следующее утверждение показывает, что отыскание барицентра сводится, за некоторыми исключениями, к последовательному построению барицентров пар точек.

Предложение 4.4. Пусть - конечное семейство взвешенных точек, таких, что  для всех ,  и .

Если характеристика  отлична от 2, то существует разбиение  множества , такое, что

 и .

Доказательство. Если одна из сумм отлична от нуля, то достаточно положить  и .

Если все суммы  равны нулю, то все  равны одному и тому же элементу , такому, что , где .

Если характеристика  отлична от 2, то , и, поскольку  не равно нулю, получим искомое разбиение, выбирая   как двухэлементное подмножество, а  как подмножество из  элементов.

Следствие. Если характеристика  не равна 2, то построение барицентра  точек приводится к последовательному построению  барицентров пар.

Приложения к линейным аффинным многообразиям

Теорема 4.5. Если - непустое подмножество в ℰ, то  есть множество барицентров конечных семейств взвешенных точек с носителями в .

Доказательство. Уточним сначала, что под носителем семейства  понимается множество .

Условившись об этом, выберем некоторую точку  в . Барицентры семейства с носителями в  суть точки , удовлетворяющие соотношению вида

,                                                                               (3)

где  и  . При этом соотношение (3) влечет за собой  и поэтому  (см. предложение 3.7). Обратно, если - точка из , то найдутся точки , принадлежащие , и скаляры  ( с суммой, необязательно равной 1), такие, что ; это соотношение также записывается в виде

 с  и ;

таким образом,  есть барицентр системы с носителем в .

Определение 4.1. Подмножество ℰ называется аффинно порождающим ℰ, если  ℰ; оно называется аффинно свободным, если любая любая точка  из  единственным образом представляется в виде

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6