|
Реферат: Структура аффинного пространства над теломНаконец, для любой точки в ограничение на группу изотропии точки в (соотв. ) является изоморфизмом этой группы на (соотв. ). Последнее утверждение получим, выбирая в качестве начала в . Следствие. Если подгруппа в (соотв. в ), то есть подгруппа в (соотв. в ); при этом если инвариантная подгруппа, то такова же и . В частности, если то есть инвариантная подгруппа в , образованная трансляциями. Если то есть инвариантная подгруппа в , образованная трансляциям и центральными симметриями. Если инвариантная подгруппа группы , образованная векторными гомотетиями, то есть инвариантная подгруппа в , называемая группой дилатаций. Пусть дилатация, не сводящаяся к трансляции; тогда векторная гомотетия вида где В этом случае имеет единственную неподвижную точку определяемую из условия где произвольная точка . Таким образом, выражается как Такое отображение называется гомотетией с центром и коэффициентом Сформулируем Предложение 5.7. Трансляции и гомотетии составляют инвариантную подгруппу группы , называемую группой дилатаций . Мы обозначаем ее . Если основное тело коммутативно, то группа является инвариантной подгруппой группы . ПроектированияНазовем проектированием любое аффинное отображение пространства в себя, удовлетворяющее условию
Рис. 2 Для такого отображения любая точка является неподвижной; принимая такую точку за начало, мы приходим к случаю проектирования для векторного пространства . Отсюда вытекает существование таких отображений, а также следующая их геометрическая характеризация: Предложение 5.8. Отображение является проектированием, если существует ВПП пространства и ЛАМ в с направляющим подпространством дополнительным к , такие, что для любой точки ее образ есть точка пересечения с ЛАМ, проходящим через с направлением (рис. 2). Аффинные симметрииТеорема 5.9. Пусть - аффинное пространство, ассоциированное с векторным пространством над телом характеристики .Для того, чтобы аффинное отображение было инволютивным, необходимо и достаточно, чтобы оно имело по меньшей мере одну неподвижную точку и чтобы его линейная часть была векторной симметрией Такое отображение называется аффинной симметрией.Доказательство. Если и , то образом середины отрезка будет середина отрезка таким образом, эта точка инвариантна при отображении и, выбрав ее за начало, мы сведем дело к векторному случаю. Предложение 5.10. Отображение является аффинной симметрией, если существуют ВПП пространства и ЛАМ с направлением, дополнительным к такие, что для любой точки (см.рис.2) 1). 2). Середина принадлежит . Если сводится к одной точке то и есть центральная симметрия с центром Теорема ФалесаПусть по-прежнему есть ВПП в и - два аффинных пространства в , направляющие которых соответственно дополнительны к Обозначим через (соотв. ) ограничение проектирования на (соотв.) параллельно Тогда, как легко видеть, является аффинной биекцией на , обратная к которой есть . Образ точки определяется условиями и (см. рис. 3). В более общей форме теорема Фалеса есть не что иное, как констатация того факта, что установленное
Рис.3 указанным способом соответствие между и является аффинным. В частности, если векторная гиперплоскость, то справедлива Теорема 5.11. Аффинные гиперплоскости, параллельные некоторой фиксированной гиперплоскости, высекают на произвольной паре не параллельных им прямых пропорциональные отрезки. §6. Каноническое погружение аффинного пространства в векторное. Приложения. Пусть снова - аффинное пространство, ассоциированное с векторным пространством . Как мы уже видели, выбор начала в позволяет отождествить с теперь мы докажем, что канонически отождествляется с аффинной гиперплоскостью некоторого пространства изоморфногоМетод будет состоять в сопоставлении каждой точке отображения Предварительно сформулируем такое утверждение: Лемма. Пусть левое векторное пространство над телом а произвольное множество. Тогда множество отображений в есть левое векторное пространство над по отношению к обычным операциям сложения функций и умножению их слева на скаляры: и В силу доказанного искомое векторное пространство будет ВПП в , порожденным отображениями Поэтому мы начнем с изучения этого пространства Предложение 6.1. Пусть - векторное подпространство в , порожденное функциями пуст, далее, элемент из . Тогда А). Сумма зависит только от функции и притом линейно, т.е. является линейным отображением в которое мы обозначим Б). Если то существует единственная точка , такая, что . В). Если то постоянна. Доказательство. Заметим сначала, что утверждение А) не очевидно, так как могут существовать различные системы взвешенных точек , такие, что но оно легко вытекает из того факта, что для любой пары выполнено соотношение , (1) которое доказывает существование и линейность функции Б). Если выберем в произвольную точку Соотношение (1) показывает, что в существует единственная точка такая, что она определяется условием Из (1) также видно, что эта точка – единственная, для которой Таким образом, барицентр семейства зависит только от функции В). Наконец, последнее утверждение также вытекает из (1). Следствие. является теоретико-множественным объединением векторного пространства постоянных функций и множества функций вида Предложение 6.2. Пусть отображение и пусть отображение в которое любому вектору ставит в соответствие постоянную функцию, равную на . Тогда аффинно с линейной частью и потому инъективно; при этом есть аффинная гиперплоскость в с уравнением Доказательство. Для любой пары разность есть постоянная функция ; положим . Таким образом, аффинно, и инъективно, как и С другой стороны, как показывает предыдущее предложение, функции суть элементы удовлетворяющие условию . Теорема 6.3. К каждому аффинному пространству , ассоциированному с векторным -пространством , можно канонически присоединить: · Векторное пространство изоморфное , · Ненулевую линейную форму на , · Аффинную инъекцию , такую, что - аффинная гиперплоскость в с уравнением Доказательство. Остается только установить изоморфизм между и . Для этого достаточно заметить, что какова бы ни была точка, отображение , линейно и биективно. Установленный таким путем изоморфизм очевидным образом зависит от выбора точки . Заметим, что аффинная гиперплоскость имеет в качестве направляющей векторную гиперплоскость постоянных функций, которая отождествляется с . Замечания. 1). Векторную структуру на множестве можно определить непосредственно, не прибегая к векторному пространству , но это связано с утомительными выкладками. 2). Особый интерес теоремы 6.3 в том, что она обеспечивает каноническое погружение единственным образом определяемое заданием. Обозначения. Векторное пространство , построенное таким образом, называется векторным продолжением и обозначается . Если имеет размерность то размерность равна . Мы увидим, что введение этого пространства позволяет прояснить многие вопросы. §7. Приложения теоремы о погружении. Векторная интерпретация барицентров. Вернемся к обозначениям §6. Инъекция позволяет нам отождествить с аффинной гиперплоскостью в , в то время как ее линейная часть позволяет отождествить с векторной гиперплоскостью Предложение 7.1. Пусть конченое семейство взвешенных точек , где точки отождествлены с элементами . Для того, чтобы элемент из принадлежал (соотв. ), необходимо и достаточно, чтобы (соотв. ). |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
Рефераты бесплатно, реферат бесплатно, курсовые работы, реферат, доклады, рефераты, рефераты скачать, рефераты на тему, сочинения, курсовые, дипломы, научные работы и многое другое. |
||
При использовании материалов - ссылка на сайт обязательна. |