|
Реферат: Структура аффинного пространства над теломДоказательство. Это вытекает из соотношения Правило. Отождествление с подмножеством в позволяет без предосторожностей записывать любые конечные линейные комбинации элементов . Но такая комбинация представляет элемент из только тогда, когда ( этот элемент будет барицентром системы ); если же то представляет элемент из равный для любой точки . Приложения. 1). Для того, чтобы три точки из были коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы существовали не равные одновременно нулю скаляры такие, что и (1) Соотношения (1) на самом деле равносильны одному соотношению ; они интересны своей симметричной формой относительно и возможностью складывать подобные соотношения. 2). Если то барицентром системы является точка пересечения с векторной прямой с направляющей в . 3). Для того чтобы семейство точек из было аффинно свободным (соотв. аффинно порождающим), необходимо и достаточно, чтобы семейство было свободным (соотв. семейством образующих) в векторном пространстве В частности, аффинный репер является базисом содержащимся в Векторная интерпретация аффинных отображений. Мы начнем с установления одного общего результата, независимого от теории векторных продолжений Предложение 7.2. Пусть , - два векторных пространства над одним и тем же телом и (соответственно ) – аффинная гиперплоскость в (соотв. ), не проходящая через начало; обозначим (соответственно ) векторную гиперплоскость, параллельную (соответственно ). А) Если - линейное отображение, такое, что , то ограничение на есть аффинное отображение в , линейная часть которого есть ограничение на . Б) обратно, если - аффинное отображение, то существует единственное линейное отображение , ограничения которого на совпадает с . Доказательство. А) Если линейно и , то для любых точек из имеем и . Ограничения на аффинно с линейной частью , . Б) Обратно, пусть- аффинное отображение. Фиксируем точку в и обозначим через (соответственно ) векторную прямую в (соответственно ), порожденную (соответственно ) (рис 4). Тогда , , и искомое линейное отображение должно удовлетворять следующим двум условиям: 1. , 2. Ограничения на равно линейной части . Но существует единственное линейное отображение из в , удовлетворяющее этим условиям ( определено своими ограничениями на дополнительные ВПП и пространства ); тогда ограничение на - есть аффинное отображение с той же линейной частью, что и , и принимающее в то же значение, что и , а тем самым равное , откуда вытекает доказываемый результат. Существует, следовательно, биективное соответствие между аффинными отображениями в и линейными отображениями в , удовлетворяющими условию . С другой стороны, если , и , это соответствие сохраняет композицию отображений (композиция ограничений двух отображений совпадает с ограничением их композиции). Рис.4 Наконец, если - автоморфизм и - аффинная гиперплоскость в , то включение влечет равенства . В самом деле, есть аффинная гиперплоскость в , и достаточно применить следствие теоремы II 6.2, вернувшись к векторному случаю путем замены начала в . Т.о. мы можем сформулировать Предложение 7.3. Пусть - векторное пространство, - аффинная гиперплоскость в , не проходящая через начало. Существует изоморфизм группы аффинных биекций на стабилизаторе в (подгруппу , состоящую из изоморфизмов , для которых ). Эти результаты применимы, в частности, к случаю, когда, , - векторные продолжения аффинных пространств , , а , - образы , при канонических погружениях , : всякое аффинное отображение в , отождествляется с линейным отображением пространства в пространство , удовлетворяющим требованию , и группа аффинных биекций отождествляется с подгруппой , сохраняющей аффинную гиперплосклость Случай конечной размерности. Если аффинное пространство имеет конечную размерность , то в можно выбрать базис так, что при и . Тогда есть декартов репер в с началом (рис 4). В этом случае является множеством точек пространства , таких, что ; следовательно, это аффинная гиперплоскость с уравнением в базисе . Эндоморфизмы пространства , удовлетворяющие условию , - это те эндоморфизмы, матрица которых в базисе имеет вид , (2) где - квадратная матрица порядка . Эндоморфизму с матрицей (2) соответствует аффинное отображение , координатное выражение которого в декартовом репере имеет форму , (3) Матричные вычисления показали бы, что для этого соответствия соблюдаются правила композиции отображений. С другой стороны, эндоморфизм с матрицей (2) обратим тогда и только тогда, когда обратима матрица (2), и тогда выполняется и равенство . Таким образом, получается Теорема 7.4. Группа аффинных биекций -мерного аффинного пространства изоморфна подгруппе линейной группы , образованной матрицами вида (2), где принадлежит . В частности, группа аффинных биекций тела изоморфна подгруппе в , состоящей из матриц вида . 8.Геометрическая характеризация инъективных полуаффинных отображений. Ниже мы обозначаем через , два аффинных пространства, ассоциированных соответственно с векторными пространствами над произвольными телами . Мы дадим чисто геометрическую характеризацию полуаффинных отображений в . Для ясности начнем со случая инъективных отображений. Теорема 8.1. Допустим, что . Для того, чтобы инъективное отображение было полуаффинным, необходимо и достаточно, чтобы оно удовлетворяло следующим двум условиям: 1. Образ любой аффинной прямой из был аффинной прямой в ; 2. Образы двух параллельных прямых был параллельными прямыми. Доказательство. Необходимость условия очевидна. Доказательство достаточности проведем в несколько этапов, все время предполагая, что удовлетворяет условиям 1) и 2). А). Образы при двух различных прямых , из суть также две различные прямые. В самом деле, пусть , - прямые в , имеющие один и тот же образ , пусть - две различные точки их общего образа. Тогда прообразы точек и принадлежат и одновременно и различны (в силу иньективности ), откуда следует, что . Б). Отображение , не зависит от выбора в . В самом деле, пусть другая точка и , таковы, что . Если - несплющенный параллелограмм, то из 2) и А) следует, что его образ тоже настоящий параллелограмм, откуда , Если точки принадлежат одной прямой , то предположение позволяет выбрать в точки так, что . Применяя предыдущий случай, имеем откуда. Отображение обозначаем отныне просто . В). Отображение инъективно и удовлетворяет условию . (1) Инъективность сразу следует из инъективности . С другой стороны, для любых данных выберем в такие точки , , , и . Тогда . Д). Существует отображение , такое, что . (2) Доказательство. Достаточно найти , удовлетворяющее условию (2) при . Для заданной пары выберем , , в так, что , . Так как точки , и коллинеарны, то коллинеарны и векторы ; отсюда вытекает существование некоторого скаляра, скажем , такого, что . Остается доказать, что не зависит от вектора (по предположению ненулевого). |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
Рефераты бесплатно, реферат бесплатно, курсовые работы, реферат, доклады, рефераты, рефераты скачать, рефераты на тему, сочинения, курсовые, дипломы, научные работы и многое другое. |
||
При использовании материалов - ссылка на сайт обязательна. |