Реферат: Структура аффинного пространства над телом

, где  и  при любом .

Множество, одновременно аффинно свободное и аффинно порождающее, называется аффинным репером.

Выбирая начало  в  и пологая , легко видеть, что  аффинно свободное (соответственно аффинно порождающее) тогда и только тогда, когда  свободное (соответственно множество образующих). (Напомним, что  не зависит от выбора .) Отсюда вытекает

Предложение 4.6. Для того, чтобы подмножество  пространства ℰ было аффинно порождающим, необходимо и достаточно, чтобы  не содержалось ни в какой аффинной гиперплоскости в ℰ.

Наконец, применяя предложение 3.7, получим

Предложение 4.7. Если ℰ- аффинное пространство конечной размерности , то любой его аффинный репер образован  точками.

Обратно, для того, чтобы  точек в ℰ образовали аффинный репер, необходимо и достаточно, чтобы  векторов   образовали базис , или (эквивалентное условие) чтобы точки  не принадлежали одной аффинной гиперплоскости.

Заметим, что если  есть ЛАМ конечной размерности в ℰ и - аффинный репер в , то  есть множество точек  с . Этот способ параметризации часто полезен. В частности, аффинная прямая, соединяющая две точки  в ℰ, есть множество точек .

Характеризация аффинных подпространств

Следующая теорема оправдывает элементарное определение плоскости в школьном курсе геометрии как такого множества   точек, что каждая прямая, имеющая с ним две общие точки, вся принадлежит .

Теорема 4.8. для того, чтобы непустая часть  пространства  была линейным аффинным многообразием, необходимо и достаточно, чтобы

a) если  - любая прямая, соединяющая две точки , содержалась в ;

b) если - эвибарицентр любых трех точек  лежал в .

Доказательство. Нам уже известна необходимость этого условия. Для доказательства достаточности выберем в  точку  и покажем, что  есть ВПП пространства .

a)   Предположив, что , установим прежде всего, что условия  и  влекут .

Действительно, по предположению существует точка  , такая, что . Точка , определенная условием , принадлежит прямой (АВ) и, значит, , откуда следует, что .

Рассмотрим далее два любых вектора  и  в   и выберем  (что возможно, так как  не сводится к ). Точки  и  (см. рис. 1) принадлежат соответственно прямым (АВ) и (АС), а поэтому  и . Следовательно, точка  принадлежит  , откуда . Итак  есть ВПП в .

                Рис. 1

b)   Если , то тривиальным образом  влечет  (так как  может принимать только два значения 0, 1). Если , - два вектора из , то точка , определяемая условием , есть эквибарицентр , откуда и вытекает наше утверждение.

Аффинные и полуаффинные отображения

Определение 5.1. Пусть ℰ, - два аффинных пространства, ассоциированных соответственно с векторными пространствами , .

Отображениеℰназывается полуаффинным (соответственно аффинным), если в ℰ существует такая точка , что отображение ,   полулинейно (соответственно линейно).

Предложение 5.1. Если в ℰ существует точка , удовлетворяющая вышеуказанным требованиям, то им удовлетворяет любая точка ℰ и отображение  не зависит от .

Доказательство. Для любой пары ℰ имеем в силу линейности

,

что и доказывает требуемое.

Обозначения. Отображение  обозначается  и называется полулинейной (соответственно линейной) частью .

Истолкование. Фиксируем в ℰ некоторую точку  и снабдим ,  векторными структурами, принимая за начало в ℰ точку , а в - точку . Тогда  будет полуаффинным (соответственно аффинным) в том и только том случае, если - полулинейное (соответственно линейное) отображение ℰА в .

 В частности, изучение полуаффинных (соответственно аффинных) отображений пространства ℰ в себя, допускающих неподвижную точку , сводится к изучению полулинейных (соответственно линейных) отображений ℰА в себя.

Так обстоит дело в случае геометрий, проектирований и симметрий (см. ниже).

Важно заметить, что полуаффинные (соответственно аффинные) отображения полностью определяется своей полулинейной (соответственно линейной) частью и образом одной точки.

Если , - два векторных пространства, то полуаффинное (соответственно аффинное) отображение  и  есть отображение вида , где  полулинейно (соответственно линейно), а - постоянный элемент.

Непосредственные следствия. Если ℰ полуаффинно, то

1)   Образ ЛАМ в ℰ есть ЛАМ в .

2)   Прообраз ЛАМ в  есть ЛАМ в ℰ или пустое множество.

3)   Для любой системы  взвешенных точек ℰ образ барицентра  есть барицентр , где  обозначает изоморфизм тел, ассоциированных с .

Применение аффинных реперов

Теорема 5.2. Пусть ℰ, - аффинные пространства над телами ,,  - изоморфизм  на , - аффинный репер в ℰ и - семейство точек , индексированное тем же множеством индексов .

 Тогда существует единственное полуаффинное отображение  пространства ℰ  в , ассоциированное с изоморфизмом , такое, что  для всех .

Более того,  биективно (соответственно инъективно, сюръективно) тогда и только тогда, когда семейство  есть аффинный репер (соответственно свободное семейство, семейство образующих) для .

Доказательство. Вернемся к теореме , взяв одну из точек  в качестве начала в ℰ, а соответствующую точку - в ; отображение  определяется равенством

для любого конечного подмножества  и любой системы скаляров , таких, что, .

В частности, аффинное отображение ℰ в  определяется заданием образа аффинного репера из ℰ.

 Приложение: уравнение аффинной гиперплоскости или ЛАМ

Опираясь на исследование, проведенное в параграфе II.6, легко получаем

Предложение 5.3. Пусть ℰ- аффинное пространство над телом . Тогда

a)   Если  ℰ - непостоянное аффинное отображение, то - аффинная гиперплоскость в ℰ с направлением .

b)   Обратно, если - аффинная гиперплоскость в ℰ, то существует аффинное отображение  ℰ, такое, что , и все аффинные отображения ℰ  в  с этим свойством суть отображения , где .

Если ℰ- аффинное пространство конечной размерности , то каждое ЛАМ размерности  в ℰ определяется системой уравнений вида  , где - аффинные отображения ℰ в , линейные части которых независимы.

Характеризация аффинных отображений

Теорема 5.4. Пусть ℰ- два аффинных пространства над одним и тем же телом . Для того, чтобы отображение ℰ было аффинным, необходимо и достаточно, чтобы

a)   при

         ℰℰ

;

b)   при  образ эквибарицентра любых трех точек ℰ был эквибарицентром их образов.

Доказательство (аналогичное случаю теоремы 4.8.).

a)   При фиксированной точке ℰ соотношение a) показывает, что для любого вектора  направляющего пространства  имеем

.

Отображение  удовлетворяет, следовательно, условию .

Чтобы доказать, что выполняется и условие  для любых  , выберем такие , что ,  и , определим точки ,  условиями , . Применяя условие a), получим тогда ,

откуда

.

Можно также сформулировать теорему 5.4. так: отображение ℰ в  является аффинным тогда и только тогда, когда его ограничение на любую аффинную прямую в ℰ  аффинно.

В дальнейшем мы дадим чисто геометрическую характеристику полуаффинных отображений.

Неподвижные точки аффинных и полуаффинных отображений.

Теорема 5.5. Если - полуаффинное отображение и множество  его неподвижных точек не пусто, то оно является ЛАМ с направляющим множеством , состоящим из неподвижных элементов отображения .

             С другой стороны, если  конечномерно и не имеет других неподвижных элементов, кроме 0, то имеет единственную неподвижную точку.

            Доказательство. Если фиксировать точку , условие равносильно и, значит, условию  где

·     Если - неподвижная точка то  равносильно откуда вытекает первое утверждение.

·     Если , то отображение  инъективно и потому в случае конечной размерности  биективно; в существует единственная точка  такая, что  откуда следует второе утверждение.

   Важное  замечание. Если - произвольное отображение и - биекция, то 

Это общее замечание особенно полезно в случае аффинных отображений.

Аффинные и полуаффинные группы.

Если  и  -  два аффинных (соотв. полуаффинных) отображения, то  также есть аффинное (соотв. полуаффинное) отображение и  Отсюда выводится

Теорема 5.6. Пусть - аффинное пространство, ассоциированное с векторным пространством  Аффинные (соотв. полуаффинные) биекции  на  образуют группу, которую мы обозначаем  (соотв. ). Отображение  (линейная или полулинейная часть) есть гомоморфизм на и на группу полулинейных биекций на .

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6