Реферат: Распределенные алгоритмы

После получения сообщений, у процесса p есть N-l компонентов вектора в . Этот вектор можно расширить значением процесса, от которого голос не был получен так, чтобы весь вектор находился в . (Действительно, непротиворечивое решение принято этим процессом, или все еще возможно.)

Теперь заметим, что различные процессы могут вычислять различные расширения, но эти расширения принадлежат одному и тому же связному компоненту графа . Каждый процесс, который получил N-1 голосов, останавливается  на (принимает решение) имени связанного компонента, которому принадлежит расширенный вектор. Остается показать, что А' является алгоритмом согласия.

Завершение. Выше уже обсуждалось, что каждый корректный процесс получает по крайней мере N-1 голосов.

Соглашение. Мы сначала докажем, что существует вектор  такой, что каждый корректный процесс получает N-1 компонентов .

Случай 1: Все процессы нашли решение в A. Пусть  будет вектором достигнутых решений; каждый процесс получает N-1 компонентов , хотя "недостающий" компонент может быть различным для каждого процесса.

Случай 2: Все процессы за исключением одного, допустим r, нашли решение в A. Все корректные процессы получают одни и те же N-1 решений, а именно решения всех процессов за исключением r. Возможно, что r потерпел аварию, но, так как возможно , что r просто очень медленный, он все же сможет достичь решения, то есть, существует  вектор , который расширяет решения, принятые на настоящий момент.

Из существования  следует, что каждый процесс принимает решение о связном компоненте этого вектора.

Нетривиальность. Из нетривиальности A, можно достичь векторы решения как в компоненте 0, так и в компоненте 1; по построению А’ оба решения возможны.

Таким образом, А' является асинхронным, детерминированным, 1-аварийно-устойчивым алгоритмом согласия. Алгоритма А не существует по Теореме 13.8.                                                       o

Обсуждение. Требование нетривиальности, утверждающее, что каждый вектор решения в  достижим, является довольно сильным. Можно спросить, могут ли некоторые алгоритмы, которые являются тривиальными в этом смысле тем не менее быть интересными. В качестве примера, рассмотрим Алгоритм 13.2 для переименования; с ходу не видно, что он нетривиален, то есть, каждый вектор с отдельным именем достижим (да, достижим); еще менее понятно то, почему нетривиальность может представлять интерес в этом случае.

Исследование доказательства Теоремы 13.15 показывает, что в доказательстве можно использовать более слабое требование нетривиальности, а именно, что векторы решения достижимы по крайней мере в двух различных связных компонентах . Такую ослабленную нетривиальность можно иногда вывести из формулировки проблемы.

Фундаментальная работа о задачах решения, которые являются разрешимыми и неразрешимыми при наличии одного сбойного процессора, была выполнена Бираном, Мораном и Заксом [BMZ90]. Они дали полную комбинаторную характеристику разрешимых задач решения.

13.4 Вероятностные Алгоритмы Согласия

В доказательстве Теоремы 13.8 показано, что каждый асинхронный алгоритм согласия имеет бесконечные выполнения, в которых никакое решение не принимается. К счастью, для хорошо подобранных алгоритмов такие выполнения могут быть достаточно редки и иметь вероятность 0, что делает алгоритмы очень полезными в вероятностном смысле; см. Главу 9. В этом разделе мы представляем два вероятностных алгоритма согласия, один для модели аварий, другой для Византийской модели; алгоритмы были предложены Брахой и Туэгом [BT85]. В обоих случаях сначала доказывается верхний предел для способности восстановления  (t < N/2 и t < N/3, соответственно) и что и оба алгоритма удовлетворяют соответствующей границе.

В требованиях правильности для этих вероятностных алгоритмов согласия, требование завершения сделано вероятностным, то есть, заменено более слабым требованием сходимости.

(1)   Сходимость. Для каждой начальной конфигурации,

[корректный процесс не принял решение после k шагов] = 0.

Частичная правильность (Соглашение) должна удовлетворяться при каждом выполнении; возникающие в результате вероятностные алгоритмы имеют класс Las Vegas (Подраздел 9.1.2).

Вероятность принимается всеми выполнениями, начинающимися в данной начальной конфигурации. Чтобы вероятности были значимыми, должно быть задано распределение вероятности над этими выполнениями. Это можно сделать использованием рандомизации в процессах (как в Главе 9), но здесь вместо этого определяется распределение вероятности на прибытиях сообщений.

Распределение вероятности на выполнениях, начинающихся в данной начальной конфигурации, определяется предположением о законном планировании. Оба алгоритма функционируют в раундах; в раунде процесс “выкрикивает” сообщение и ждет получения N-t сообщений. Определим R(q, p, k) как событие, когда в раунде k процесс p получает (раунд-k) сообщение q среди первых N-t сообщений. Законное планирование означает, что

(1)    .

(2)   Для всех k и различных процессов p, q, r, события R(q, p, k) и R(q, r, k) независимы.

Заметьте, что Утверждение 13.4 также выполняется для вероятностных алгоритмов, когда требуется сходимость (завершение с вероятностью один). Действительно, так как достижимая конфигурация достигается с положительной вероятностью, решенная конфигурация должна быть достижима из каждой достижимой конфигурации (хотя не обязательно достигаемой в каждом выполнении).

13.4.1 Аварийно-устойчивые Протоколы Согласия

В этом подразделе изучается проблема согласия в модели аварийного отказа. Сначала доказывается верхняя граница t < N/2 способности восстановления, потом приводится алгоритм со способностью восстановления t < N/2.

Теорема 13.16 t-аварийно-устойчивого протокола согласия для не существует.

Доказательство. Существование такого протокола, допустим P, подразумевает следующий три требования.

Требование 13.17 P имеет бивалентную начальную конфигурацию.

Доказательство. Аналогично доказательству Леммы 13.6; детали оставлены читателю.     o

Для подмножества процессов S, конфигурация  называется S-валентной, если и 0- и 1-решенные конфигурации достижимы из  с помощью только шагов в S. называется S-0-валентной если, делая шаги только в S, 0-решенная конфигурация, и никакая 1-решенная конфигурации, может быть достигнута, S-1-валентная конфигурация определяется аналогично.

Разделим процессы на две группы, S и T, размера  и .

Требование 13.18 Достижимая конфигурация является или S-0-валентной и T-0-валентной, или  S-1-валентной и T-1-валентной.

Доказательство. Действительно, высокая способность восстановления протокола подразумевает, что и S и T могут достигать решения независимо; если возможны различные решения, можно достичь противоречивой конфигурации, объединяя планы.                                                                           o

Требование 13.19 P не имеет достижимой бивалентной конфигурации.

Доказательство. Пусть дана достижимая бивалентная конфигурация  и предположим, что это  S-l-валентна и T-1-валентна (используем Требование 13.18). Однако,  бивалентна, поэтому (ясно из связи между группами) 0-решенная конфигурация  также достижима из . В последовательности конфигураций от до  имеются две последующих конфигурации  и , где  является и S-v-валентной и T-v-валентной. Пусть p - процесс, вызывающий переход из  в . Теперь невыполнимо , потому что  S-1-валентна и  S-0-валентна; аналогично невыполнимо . Мы пришли к противоречию.  o

Противоречие существованию протокола P является результатом Требований 13.17 и 13.19; таким образом Теорема 13.16 доказана.                                                                                                    o

Аварийно-устойчивый алгоритм согласия Брахи и Туэга. Аварийно-устойчивый алгоритм согласия, предложенный Брахой и Туэгом [BT85] функционирует в раундах: в раунде k процесс посылает сообщение всем процессам (включая себя) и ждет получения N-t сообщений раунда k. Ожидание такого числа сообщений не представляет возможность тупика (см. Упражнение 13.10).

В каждом раунде, процесс p “выкрикивает” голос за 0 или за 1 вместе с весом. Вес - число голосов, полученных для этого значения в предыдущем раунде (1 в первом раунде); голос с весом, превышающим N/2, называется свидетелем. Хотя различные процессы в раунде могут голосовать по-разному, в одном раунде никогда нет свидетелей различных значений, как будет показано ниже. Если процесс p получает свидетеля в раунде k, p голосует за свое значение в раунде k+1; иначе p голосует за большинство полученных голосов. Решение принимается, если в раунде получено больше, чем t свидетелей; решительный процесс выходит основной цикл и свидетели криков в течение следующих двух раундов, чтобы дать возможность другим процессам решить. Протокол дан как Алгоритм 13.3.

var                   : (0, 1)              init (*голос p*)

                        : integer           init 0    (*номер раунда*)

                      : integer           init 1    (*Вес голоса p*)

                  : integer           init 0    (*Счетчик полученных голосов*)

              : integer           init 0    (*Счетчик полученных свидетелей *)

begin

            while  do

            begin   (*сброс счетчиков*)

                        shout<vote, , , >;

                        while    do

                        begin   receive<vote, r, v, w>;

                                    if r >  then                              (*Будущий раунд…*)

                                                send< vote, r, v, w> to p         (*…обработать позже*)

                                    else if r =  then

                                    begin  

                                                if w > N/2 then                       (*Свидетель*)

                                    end

                                    else (*r < , ignore*) skip

                        end;

                        (*Выбрать новое значение: голос и вес в следующем раунде*)

                        if  then := 0

                        else if  then := 1

                        else if  then := 0

                        else  := 1;

                        ;

                        (*Принять решение, если более t свидетелей*)

                        if  then ;

end;

            (*Помочь другим процессам принять решение*)

            shout<vote, , , N-t>;

            shout<vote, +1, , N-t>

end

Алгоритм 13.3 Аварийно-устойчивый алгоритм согласия

Голоса, прибывающие для более поздних раундов должны быть обработаны в соответствующем раунде; это моделируется в алгоритме с помощью  посылки сообщения самому процессу для обработки позже. Заметьте, что в любом раунде процесс получает самое большее один голос от каждого процесса, общим количеством до N-t голосов; так как более, чем N-t процессов могут “выкрикивать” голос, процессы могут принимать во внимание различные подмножества “выкрикиваемых” голосов. Мы впоследствии покажем несколько свойств алгоритма, которые вместе означают, что это - вероятностный аварийно-устойчивый протокол согласия (Теорема 13.24).

Лемма 13.20 В любом раунде никакие два процесса не свидетельствуют за различные значения.

Доказательство. Предположим, что в раунде k, процесс p свидетельствует за v, и процесс q свидетельствует за w; k > 1, потому что в раунде 1 никакие процессы не свидетельствуют. Предположение подразумевает, что в раунде k-1, p получил больше чем N/2 голосов за v, и q получил больше чем N/2 голосов за w. Вместе задействовано более N голосов; следовательно, процессы от которых p и q получили голоса перекрываются, то есть, есть r, который послал v-голос процессу p и w-голос процессу q. Это означает, что v =w.  o

Лемма 13.21 Если процесс принимает решение, то все корректные процессы принимают решение об одном и том же значении, и самое большее два раунда спустя.

Доказательство. Пусть k будет первым раундом, в котором принимается решение, p - процесс, принимающий решение в раунде k, и v - значение решения p. Решение подразумевает, что в раунде k имелись v-свидетели; следовательно, по Лемме 13.20 не имелось свидетелей других значений, так что никакое другое решение не принимается в раунде k.

В раунде k имелось более t свидетелей v (это следует из решения p), следовательно, все корректные процессы получают по крайней мере одного v-свидетеля в раунде k. В результате, все процессы, которые голосуют в раунде k + 1, голосуют за v (заметьте также, что p все еще “выкрикивает” голос в раунде k + 1). Это означает, что, если решение вообще принимается в раунде k + 1, это решение v.

В раунде k + 1 предлагаются только v-голоса, следовательно все процессы, которые голосуют в раунде k + 2 свидетельствуют за v в этом раунде (p тоже). В результате, в раунде k + 2 все корректные процессы, которые не приняли решения в более ранних раундах, получают N-t v-свидетелей и останавливаются на v.                                                                                                                                             o

Лемма 13.22 [никакого решения не принято в раунде] = 0.

Доказательство. Пусть S - множество N-t корректных процессов (такое множество существует) и предположим, что до раунда  не принято никакого решения. Предположение законного планирования подразумевает, что, для некоторого , в любом раунде вероятность того, что каждый процесс в S получает точно N-t голосов процессов в S, по крайней мере . Это происходит  в трех последующих раундах ,  и  с вероятностью по крайней мере .

Если это происходит, процессы в S получают одни и те же голоса в раунде  и следовательно выбирают одно и то же значение, допустим  в раунде . Все процессы в S голосуют за  в раунде , что означает, что каждый процесс в S получает N-t голосов за  в раунде . Это значит, что процессы в S за  в раунде ; следовательно они все получают N-t > t свидетелей  в раунде , и все принимают решение  в этом раунде. Отсюда

Pr [Процессы в S не приняли решения в раунде k + 2]

              Pr [Процессы в S не не приняли решения до раунда k],

что подтверждает результат.                                                                                            o

Лемма 13.23 Если все процессы начинают алгоритм с входом v, то все они принимают решение v в раунде 2.

Доказательство. Все процессы получают только голоса за v в раунде 1, так что все процессы свидетельствуют за v в раунде 2. Это означает, что все они они принимают решение в этом раунде.  o

Теорема 13.24 Алгоритм 13.3 - вероятностный, t-аварийно-устойчивый протокол согласия при t < N/2.

Доказательство. Сходимость показана в Лемме 13.22, а соглашение - в Лемме 13.21; нетривиальность следует из Леммы 13.23.                                                                                                        o

Зависимость решения от входных значениях анализируется далее в Упражнении 13.11.

13.4.2 Византийско-устойчивые Протоколы Согласия

Византийская модель сбоев более недоброжелательна, чем модель аварий, потому что Византийские процессы могут выполнять произвольные переводы состояний и могут посылать сообщения, которые расходятся с алгоритмом. В дальнейшем мы будем использовать запись  (или ) для обозначения того, что имеется последовательность корректных шагов, то есть, переходов протокола (в процессах S), ведущих систему из  в . Аналогично,  достижима, если имеется последовательность корректных шагов, ведущих из начальной конфигурации в . Злонамеренность Византийской модели подразумевает более низкий максимум способности восстановления, чем для модели аварийного отказа.

Теорема 13.25 t-Византийско-устойчивого протокола согласия при  не существует.

Доказательство. Предположим, напротив, что такой протокол существует. Читателю снова предоставляется показать существование бивалентной начальной конфигурации любого такого протокола (используйте, как обычно, нетривиальность).

Высокая способность восстановления протокола означает, что можно выбрать два множества S и T таких, что , , и . Словом, и S и T достаточно большие, чтобы выжить независимо, но их пересечение может быть полностью злонамеренно. Это используется для демонстрации того, что никакие бивалентные конфигурации не являются достижимыми.

Заявление 13.26 Достижимая конфигурация  является или S-0-валентной и T-0-валентной, или S-1- валентной и T-1-валентной.

Доказательство. Так как  достигается последовательностью корректных шагов, все возможности для выбора множества t процессов, которые дают сбой,  все еще открыты. Предположим, напротив, что S и T могут достичь разных решений, то есть,  и , где   - конфигурация, где все процессы в S (в T) остановились на v (). Можно достичь противоречивого состояния,  предполагая, что процессы в  злонамеренные, и объединяя планы следующим образом. Начиная с конфигурации , процессы в  сотрудничают с другими процессами в S в последовательности, ведущей к v-решению в S. Когда это решение было принято процессами в S, злонамеренные процессы восстанавливают свое состояние как в конфигурации  и впоследствии сотрудничают с процессами в T в последовательности, ведущей к  решению в T. Из этого получается конфигурация, в которой корректные процессы приняли решение по-разному, что находится в противоречии с требованием соглашения.                        o

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42