Реферат: Распределенные алгоритмы

В описании этого подраздела, все сообщения содержат явное указание на их отца, но обычно это не является необходимым, потому что отец основных (управляющих) сообщений  всегда их отправитель (адресат).

8.2.2 Алгоритм Shavit-Francez

Dijkstra-Scholten алгоритм был обобщен для децентрализованных основных вычислений Shavit и Francez [SF86]. В их алгоритме, граф вычисления - лес, каждое дерево которого имеет в качестве корня  инициатора основного вычисления. Дерево с корнем  p обозначается Tp.

Алгоритм поддерживает граф F = (Vp , Ep), такой что (1)  F является пустым или F - лес, каждое дерево которого имеет в качестве корня инициатора; (2) Vp  включает все активные процессы и все основные сообщения. Как в алгоритме Dijkstra-Scholten завершении обнаруживается, когда граф становится пустым. К сожалению, в случае леса не так просто выяснить,является ли граф пустым. Действительно, свойство дерева вычислений иметь в качестве корня инициатора означает,  что пустота дерева замечается корнем, который и вызывает алгоритм объявления. В случае леса, каждый инициатор замечает пустоту только собственного дерева, но это не означает, что весь леса пуст.

Проверка пустоты всех деревьев  выполняется отдельной волной. Лес поддерживает  дополнительное свойство, что если дерево Tp стало пустым, оно остается пустым и после этого. Обратите внимание, что это не мешает p стать активным; если p становится активным после разрушения дерева, p вставляется в дерево другого инициатора. Каждый процесс участвует в волне только, если его дерево разрушилось; когда волна принимает решение, вызывается алгоритм объявления. (вызов объявления не нужен, если выбранный волновой алгоритм генерирует решение в каждом процессе; в этом случае, процесс просто останавливается после принятия решения и завершения волнового алгоритма.)

Алгоритм дается как Алгоритм 8.4, в котором волновой алгоритм не показан явно. Каждый процесс p имеет переменную fatherp , которая не определена, если PÏVT, и равна p если p является корнем или равна отцу p, если p не-корень в F. Переменная sсp содержит число сыновей p в F. Логическая переменная empty истинна, тогда и только тогда, когда дерево p пусто.

Доказательство правильности алгоритма подобно доказательству Dijkstra-Scholten алгоритма. Для любой конфигурации g Алгоритма 8.4, определим

VF = {p : fatherp ¹ udef} U {передается (mes, p) } U {передается (sig,p) }

И 

Ep =   {(P, fatherp ): fatherp ¹ udef Ù fatherp ¹ p}

               U {((mes, p), p) : (mes, p) передается } U {((sig,p}, p) : (sig,p} передается }.

Безопасность алгоритма будет следовать от утверждения Q, определенный ниже. Это инвариант алгоритма, и доказательство инвариантности подобно доказательству Lemma 8.4. Значение пунктов (1)-(5) из Q такие же как для инварианта алгоритма Dijkstra-Scholten и пункт (6) выражает тот факт, что каждый процесс правильно отслеживает,является ли он все еще корнем дерева в лесе. Конечно, лес пуст, если никакой процесс не является корнем.

Q Û   statep = active Þ p Î VF                        (1)

      Ù (u, v)Î EF  Þ uÎ VF  Ù  v ÎVF  Ç  P         (2)

      Ù scp = #{ v : (v, p) Î Ep }                          (3)

      Ù  VF ¹ Æ Þ F  is a forest                           (4)

      Ù  (statep = passive A scp = 0) Þ p Ï Vp   (5)

      Ù emptyp  Û Tp is empty                            (6)

Lemma 8.6 Q - инвариант Shavit-Francez алгоритма.

Доказательство. Первоначально statep = passive для каждого не-инициатора p, и fatherp = p для каждого инициатора p, что доказывает (1). Также, Ep = Æ, что доказывает (2). Так как scp = 0 для каждого p, (3) удовлетворяется. VF = {p : p -инициатор} и EF = Æ, так что F - лес, состоящий из деревьев, содержащих один узел для каждого инициатора, что доказывает (4). Процессы в VF - инициаторы, которые являются активными; это доказывает (5). Первоначально emptyp равны (p - не-инициатор) и Tp действительно пуст, тогда и только тогда, когда p - не инициатор, что доказывает (6).

Sp: Никакой процесс не становится активным в Sp, и никакой процесс не удаляется из VF, таким образом (1) сохраняется.

Применимость действия означает, что p, отец нового узла, находится в VF, таким образом (2) сохраняется.

В результате действия, VF пополняется вершиной (mes, p) и EF ребром ((mes, p), p), что означает, что F остается лесом, и scp правильно увеличивается на единицу, чтобы представить наличие нового сына процесса p, таким образом (3) и (4) сохраняются.

Никакой процесс не становится пассивным листом, и никакой процесс не вставляется в VF, таким образом (5) сохраняется.

Поскольку новый лист добавлен в не-пустое дерево, никакое дерево не становится непустым, и поскольку ни одна переменная empty  не изменяется, (6) сохраняется.

Rp: p уже был в VF (fatherp ¹ udef) или p вставлен после действия, таким образом (1) сохраняется.

Если значение fatherp определено, его новое значение - q, и если послан сигнал, его отец  также q, и q находится в VT , таким образом (2) сохраняется.

Число сыновей процесса q не изменяется, потому что сын (mes, q) процесса q заменяется сыном p или сыном (sig, q), таким образом scq оставляет правильным (3).

Структура графа не изменяется, таким образом (4) сохраняется. Никакой процесс не становится пассивным листом, и никакой процесс не вставляется в VF, таким образом (5) сохраняется.

Никакое дерево не становится пустым, следовательно (6) сохраняется.

Ip: Перевод p в пассивное состояние сохраняет (1), (2), (3), и (4). То, что p прежде был активен означает, что p был в VF. Если scp = 0, p удаляется из VF, таким образом (5) сохраняется.

Затем мы рассмотрим что случится, если p удалить из F, то есть если p окажется,  пассивным листом F. Если послан сигнал, отец сигнала - последний отец процесса p, который находится в VF, следовательно (2) сохраняется. В этом случае, сигнал заменяет p на  сына процесса fatherp , следовательно scfather p остается правильным, и (3) сохраняется. Структура графа не изменилась, следовательно (4) сохраняется. Никакое дерево не становится пустым, таким образом (6) сохраняется. Иначе, то есть, если fatherp = p, p был корнем и то, что  p является листом означает, что p единственная иуршина в Tp ,таким образом ее удаление делает Tp пустым и присваивание emptyp сохраняет (6).

var statep   : (active, passive)        init if p is initiator then active else passive ;

      scp        : integer                       init 0 ;

     fatherp   : P                                init if p is initiator then p else udef ;

     emptyp   : boolean                     init if p is initiator then false else true ;

Sp: { statep = active }

      begin send (mes, p) ; scp := scp + 1 end

Rp: { Сообщение (mes, q) пришло в  p }

       begin receive (mes, q) ; statep := active ;

                 if fatherp = udef then fatherp := q else send ( sig, q ) to q

       end

Ip: { statep = active }

     begin statep := passive ;

               if scp = 0 then (* Delete p from F *)

                  begin if fatherp = p then emptyp := true else send ( sig, fatherp } to fatherp ;

                             fatherp := udef

                 end

      end

Ap: { Сигнал (sig,p) пришел в  p }

       begin receive (sig,p) ; scp := scp - 1;

                 if scp = 0 and statep = passive then

                    begin if fatherp = p then emptyp := true else send ( sig, fatherp ) to fatherp ;

                               fatherp := udef

                    end

        end

Процессы одновременно выполняют волновой алгоритм, в котором посылка или принятие решения процессом p разрешается только, если emptyp истина и тогда decide вызывает алгоритм объявления .

Алгоритм 8.4 shavit-francez алгоритм.

Ap: получение сигнала уменьшает число сыновей процесса p на единицу, и присваивание scp гарантирует, что (3) сохраняется. То, что p был отцом сигнала означает, что p был в VF. Если statep=passive и после получение сигнала scp = 0, p  удаляется, таким образом (5) сохраняется.

Если p удаляется из VF, инвариант сохраняется  по тем же причинам, что и при действии Ip.

Теорема 8.7 Алгоритм Shavit-Francez (Алгоритм 8.4) - правильный алгоритм обнаружения завершения и использует М + W управляющих сообщени.

Доказательство. Также как в Теореме 8.5 можно показано, что число сигналов не превышает число основных сообщений. Помимо сигналов, управляющий алгоритм только посылает сообщения для одной волны. Из этого следует, что послано не более М + W  управляющих сообщений.

Чтобы доказать живость алгоритма предположим, что основное вычисление закончилось. За конечное число  шагов алгоритм обнаружения завершения достигает конечной конфигурации, и можно показать, как это было сделано в Теореме 8.5, что в этой конфигурации F пуст. Следовательно, все события волны возможны в каждом процессе, и то, что конфигурация является конечной теперь означает, что все события волны были выполнены, включая по крайней мере одно принятие решения, при котором был вызван алгоритм объявления.

Чтобы доказывать безопасность, обратим внимание на то, что алгоритм объявления вызывается после принятия решения  в волновом алгоритме. Это означает, что каждый процесс p послал сообщение волны или принял решение, и из алгоритма следует, что emptyp  истина, когда p сделает это. Никакое действие не присваивает переменной empty значение ложь повторно, так что (для каждого p) emptyp  истина, когда вызывается алгоритм объявления. Из (6), VF пусто, что имеет следствием term. o

Число управляющих сообщений, используемых алгоритмом Shavit-Francez имеет тот же порядок, что и нижнии границы, выведенные  в Теоремах 8.2 и 8.3. Алгоритм является оптимальным алгоритмом для обнаружения завершения децентрализованных вычислений для худшего случая (если используется оптимальный волновой алгоритм).

Применение алгоритмов, рассматриваемых в этом разделе требует, чтобы каналы связи были двунаправленными; для каждого основного сообщения, посланного от p в q сигнал должен быть послан от q в p. Сложность с  средним случаем равняется сложности в худшем случае; каждое выполнение требует одного сигнального сообщения на одно основное сообщение и, в случае Shavit-Francez алгоритма, точно одного выполнение волны. 

8.3 Решения, основанные на волнах

По двум причинам полезно рассмотреть некоторые другие алгоритмы для обнаружения завершения кроме двух алгоритмов, данных в Разделе 8.2. Во первых,

Описанные алгоритмы могут использоваться только когда каналы  двунаправленные. Во вторых, хотя сложность по сообщениям этих алгоритмов оптимальна в худшем случае, существуют алгоритмы, которые имеют лучшую сложность в среднем случае. Алгоритмы предыдущего раздела используют их число сообщений в наихудшем случае в каждом выполнении.

В этом разделе будут изучаться некоторые алгоритмы, основанные на повторном выполнении алгоритма волны; в конце каждой волны, либо обнаружевается завершение, либо начинается новая волна. Завершение обнаружено, если локальное условие окажется удовлетворенным в каждом процессе.

Сначала мы рассмотрим конкретные примеры алгоритмов, в которых во всех случаях волновой алгоритм является кольцевым алгоритмом. Для этого предположим, что кольцо вложено как подтопология сети ; но обмен основными сообщениями не ограничен каналам, принадлежащими к кольцу. Процессы перенумерованы с po до pN -1  и кольцевой алгоритм начинается процессом po ,  посылая маркер процессу pN -1. Процесс pi + 1 (для i < N -1) передает маркер процессу pi. Передвижение маркера заканчивается, когда маркер получает процесс p0.

Первое решение, обсуждаемое в этом классе - алгоритм Dijkstra, Feijen, и Van Gasteren (Подраздел 8.3.1); этот алгоритм обнаруживает завершение вычислений с синхронным прохождением сообщений. Несколько авторов обобщили алгоритм для вычислений с асинхронным прохождением сообщений; главная проблема здесь состоит в том, чтобы проверить, что каналы связи пусты. Мы обсуждаем решение Safra (Подраздел 8.3.2), в котором в каждом процессе подсчитывается число сообщений, которые посланы и получены; сравнивая счетчики можно определить действительно ли каналы являются пустыми. Также возможно использовать подтверждения для этой цели (Подраздел 8.3.3); но это решение снова требует, чтобы каналы были двунаправленными и чтобы число управляющих сообщений равнялось по крайней мере числу, используемому алгоритмом Shavit-Francez.

В Подразделе 8.3.4 принцип обнаружения будет обобщен для использования произвольного волнового алгоритма.

8.3.1 Алгоритм Dijkstra-Feijen-Van Gasteren

Алгоритм Dijkstra, Feijen, и Van Gasteren [DFG83] обнаруживает завершение основного вычисления, используя синхронное прохождение сообщений; действия такого вычисления даются как Алгоритм 8.5. В этих вычислениях, завершение описано с помощью предиката

term  Û "p : statep = passive

term  Û "p : statep = passive

var statep   : (active, passive);,

C pq: { statep = active }

         begin (* p посылает основное сообщение, которое получает q *)

                  statep := active

         end

Ip:  { statep = active }

       begin statep := passive end

Алгоритм 8.5 основной алгоритм с синхронными сообщениями.

Сравните алгоритм и term с Алгоритмом 8.1 и Теоремой 8.1.

Алгоритм разработан как последовательность небольших шагов, каждый шаг прост для  понимания, и правильность следует из инварианта, который разработан вместе с алгоритмом. Обработка взята из [DFG83]. Обзначим номер процесса, содержащего маркер t ,или если маркер находится в процессе передачи, номер процесса, к которому направляется является маркер. Отправление маркера может быть выполнено только процессом pt, при этом t уменьшается на 1. Волна заканчивает когда t = 0; следовательно инвариант P должен быть выбран такой, что можно было сделать заклющение о наличии завершения из P, t = 0, и другой информации в p0. Инвариант должен сохранятся, когда p0 начинает волну, то есть, когда t = N - 1. 

Сначала положим P = P0, где

P0   º "i (N > i> t) : statep = passive.

Действительно, P0 истинен когда t = N - 1, и если t = 0 и statepp0 = passive, из этого утверждения можно сделать заключение о завершение. Отправление маркера сохраняет P0, если только маркер отправляют пассивные процессы, поэтому мы принимаем следующее правило.

Правило 1. Процесс только тогда управляет маркером, когда он пассивен.

В этом режиме, P сохраняется с помощью отправления маркера и также с помощью внутренних действи1; к сожалению, P не сохраняется действиями связи. Предикат P0 может принимать значение ложь, когда процесс pj активизируется процессом pi, где j > t и  i £ t; см. Упражнение 8.4. Так как P0 может принять значение ложь, P заменяется более слабым утверждением (P0 Ú P1), где P1 выбирается так, что каждый раз когда P0 принимает значение ложь, P1 является истинным. Каждому процессу присваивается цвет,  белый или черный, и пусть P = (P0 Ú P1) где

P1 º  $ j (t ³ j ³ 0) : colorpj = black.

Каждый раз, когда P0  принимает значение ложь , P1 является или становится истинным, если цвет посылающего процесса черный.

Правило 2. Посылающие процессы становятся черными.

Так как (P Ù colorp0 = white Ù t = 0) Þ Ø P1, все еще возможно обнаружить завершение с новым инвариантом, а именно, смотря  является ли p0 белым (и пассивным) когда он обрабатывает маркер.

Ослабление P  предотвращает обращение предиката в ложь при совершении собыий получения и передачи сообщений; но более слабое утверждение может принять значение ложь при отправлении маркера, а именно, если процесс t - единственный черный процесс и он передает маркер. Ситуация исправляется дальнейшим ослаблением P. Пусть маркер тоже имеет цвет (белый или черный), и P ослабим до (P0 Ú P1 Ú P2), где

P2 º маркер черный.

Отправление маркера сохраняет P2, если черные процессы отправляют черный маркер.

Правило 3. Когда черный процесс отличный от p0 посылает маркер, маркер становится черным.

Так как (маркер белый) Þ Ø P2, завершение все еще может обнаружиться процессом p0, а именно, по тому получает ли он белый маркер (и белый ли он сам и пассивный).

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42