Реферат: Распределенные алгоритмы

(5) Путь от u до v существует тогда и только тогда когда V-путь от u к v существует

(6) d(u, v)= dV (u, v),

Доказательство. Для всех u и S  dS (u, u) £.0 по причине того, что пустой путь (состоящий из 0 ребер) это  S-путь от u к u с весом 0. Нет путей, имеющих меньший вес, потому что G не содержит циклов отрицательного веса, таким образом, dS (u, u) = 0.

Для (1):  Æ -путь не содержит промежуточных узлов,  так  Æ - путь от u к v

состоит только из канала  uv.

Для (2): следует непосредственно из (1).

Для (3): простой S’-путь от u к v содержит узел w единожды, или 0 раз как промежуточный. Если он не содержит w как промежуточную вершину он  S-путь, иначе он - конкатенация двух S-путей, один к  w и один из w.

Для(4): Это можно доказать применив  Лемму 4.1 . Получим что  (если S’-путь от u в v существует) это  простой S' -путь длиной dS’(u, v) от u к v, такой, что  dS’(u, v) = min(dS (u, v), dS (u, w) + dS (w, v) ) по (3).

Для (5): каждый  S-путь - путь, и обратно.

Для (6): каждый  S-путь - путь, и обратно, следовательно, оптимальный V-путь  также оптимальный путь.

_____________________________________________________________________

begin (* Инициализация S = Æ  и D = Æ-дистанция *)

       S:=0;

forall u,v do

if u = v then  D[u, v] := 0

                           else

if uv Î E then D[u, v] := wuv

                                                              else D[u. v] := ¥  ;

      (* Расширим S  «центральными точками» *)

      while S ¹ V do

                (* Цикл инвариантен: "u, v : D[u, v] = dS (u, v) *)

                begin выбрать  w из V \ S ;

                          (* Выполнить глобальную w-центровку *)

forall u Î V do

                                 (* Выполнить локальную w-центровку u *)

forall  v ÎV do

                                          D[u. v] := min ( D[u, v], D[u, w] + D[w, v] ) ;

                                         S:=S È{w}

                end   (*"u, v : D[u, v] = dS (u, v)*)

 end

Алгоритм4.4 Алгоритм Флойда-Уошалла.

Используя Утверждение 4.5 не сложно разработать алгоритм  "динамического программирования" для  решения проблемы кротчайших путей всех пар; смотри см. Алгоритм 4.4. Алгоритм вначале считает 0-пути, и, увеличивая, вычисляет  S-пути для больших множеств S (увеличивая  S   "центральными" кругами), до тех пор, пока  все пути не будут обсуждены.

Теорема 4.6 Алгоритм 4.4 вычисляет расстояние между всеми парами узлов за Q(N3) шагов.

Доказательство. Алгоритм начинает с D[u, v] = 0,   если u = v, D[u, v] = wuv , если uv Î E и D[u, v] = ¥  в другом случае, и S = 0. Следуя из Утверждения 4.5, частей (1) и (2), "u, v имеет силу  D[u, v] = dS (u, v) . В центральной окружности с центральной вершиной w  множество S расширено узлом w, и означивание  D[u, v] гарантирует (по частям (3) и (4) утверждения) что утверждение "u, v : D[u, v] = dS(u, v)  сохранено как инвариант цикла. Программа заканчивает работу, когда S = V, т.е., (по частям (5) и (6) утверждения и инварианту цикла)  S-расстояние эквивалентно расстоянию.

Главный цикл  выполняется N  раз, и содержит N2 операций (которые могут быть выполнены параллельно или последовательно), откуда и следует временная граница  данная теоремой.ˆ

_____________________________________________________________________                                                   

var Su    : множество вершин;

       Du   : массив весов;

       Nbu : массив вершин;

begin Su :=Æ  ;

      forall v Î V do

            if v = u

                  then begin Du [v] :=0 ; Nbu[v] := udef  end

            else if v Π Neighu

                  then begin Du[v] := wuv ; Nbu[v] := v end

            else begin Du[v] := ¥ ; Nbu[v] := udef end ;

      while Su¹ V do

           begin выбрать w из V \ Su ;

                     (* Все вершины должны побывать вершиной w *)

                      if u == w

                             then "распространить таблицу Dw"

                             else   "принять таблицу Dw"

                       forall v Î V do

                             if Du[w] + Dw[v] < Du[v] then

                                  begin Du[v]:= Du[w] + Dw[v] ;

                                             Nbu[v] := Nb[w]

                                  end;

                                  Su := Su U {w}

                       end

          end;

Алгоритм 4.5 Простой алгоритм (Для узла u).

4.2.2 Алгоритм кротчайшего пути.(Toueg)

Распределенный алгоритм вычисления  таблиц маршрутизации бал дан Toueg [TouSOa], основанный на алгоритме Флойда-Уошалла описанном в предыдущей части. Можно проверить что алгоритм Флойда-Уошалла подходит для этих целей, т.е., что  его ограничения реалистичны для распределенных систем. Наиболее важное ограничение алгоритма что граф не содержит циклов отрицательного веса. Это ограничение действительно реально для распределенных систем,  где обычно каждый отдельный канал означен положительной оценкой. Даже можно дать более строгое ограничение; смотри A1 ниже. В этой части даны следующие ограничения.

A1. Каждый цикл в сети имеет положительный вес.

A2. Каждый узел в сети знает обо всех узлах (множество V).

A3. Каждый узел знает какой из  узлов его сосед  (хранится в  Neighu для узла u) и веса своих выходящих каналов.

Корректность алгоритма  Toueg (Алгоритма4.6) будет более просто понять если мы сперва обсудим предварительную версию  алгоритма , "простой алгоритм" (Алгоритм 4.5).

Простой алгоритм. Для достижения распределенного алгоритма переменные и операции алгоритма Флойда-Уошала распределены по узлам сети. D[u, v] - переменная принадлежащая узлу  u; по соглашению, это будет выражено описанием  Du[v] .Операция, означивающая  Du[v], должна быть выполнена узлам u, и когда необходимо значение переменной узла w, это значение должно быть послано u. В алгоритме Флойда-Уошала все узлы должны использовать информацию из «центрального» узла (w в теле цикла), который посылает эту информацию к всем узлам одновременно операцией "распространения". В заключение, алгоритм будет расширен операцией  для поддержки не только длины кратчайших S-путей (как в переменной Du[v]), но также первый канал такого пути (в переменной Nbu[v]).

Утверждение что циклы сети имеет положительный вес может использоваться чтобы показать  что не существует циклов в таблицах маршрутизации.

Лемма 4.7 Пусть даны  S и w и выполняется:

(1) для всех  u :Du[w] = dS(u, w) и

(2) если dS(u, w) < ¥  и  u ¹ w, то Nbu[w]- первый канал кратчайшего  S-пути к w.

Тогда  направленный граф Tw = (Vw, Ew), где (u Î Vw Û Du[w]<¥ ) и (ux ÎEw Û (v¹wÙNbu[w]=x)) -  дерево с дугами направленными к  w.

Доказательство. Во-первых, заметим, что если Du[w] < ¥  для u ¹ w, то Nbu[w] ¹ udef и .  Таким образом для каждого узла u Î Vw, u ¹ w существует узел x для которого Nbu[w] = x, и  x Î Vw.

Для каждого узла u¹ w в Vw существует единственное ребро в Ew, такое что число узлов в Tw превышает количество ребер на единицу и  достаточно показать что  Tw не содержит циклов. Так  ux ÎEw подразумевает что dS(u, w) =wux+ dS(x, w), существование цикла <uo, u1, .. ., uk> в Tw подразумевает что

                        dS(uo, w) = wuo u1 + wu1 u2 + … + wuk-1 uou+ dS(uo, w),

 т.е.,         0 = wuo u1 + wu1 u2 + … + wuk-1 uou

что противоречит предположению, что каждый цикл имеет положительный вес.   ‰

Алгоритм Флойда-Уошала теперь может быть просто преобразован в Алгоритм  4.5. Каждый узел инициализирует свои собственные переменные и исполняет N итераций основного цикла. Этот алгоритм не является окончательным решением, и он не дан полностью, потому что мы не описали, как может бать произведено (эффективно) распространение таблиц центрального узла. Пока это можно использовать как гарантированное, поскольку операция "распространить таблицу Dw" выполняется узлом w, а операция "принять таблицу Dw"  выполняется другими узлами, и каждый узел имеет доступ к таблице Dw.

Некоторое внимание должно быть уделено операции "выбрать w из V \ S", чтобы  узлы выбирали центры в однообразном порядке. Так как  все узлы знают V заранее, мы можем запросто предположить, что узлы выбираются в некотором предписанном порядке (на пример, алфавитный порядок имен узлов).

Корректность простого алгоритма доказана в следующей теореме.

Теорема 4.8 Алгоритм 4.5 завершит свою работу в каждом узле после  N итераций основного цикла. Когда алгоритм завершит свою работу в узле u  Du[v] = d(u, v), и  если путь из u в v существует  то Nbu[v] первый канал кротчайшего пути из u в v, иначе  Nbu[v] = udef.

Доказательство. Завершение и корректность Du[v] по завершении работы  следует из корректности алгоритма Флойда-Уошала (теорема 4.6). Утверждение о значении  Nbu[v] справедливо потому что Nbu[v] перевычисляется каждый раз  когда означивается Du[v] .‰

 Усовершенствованный алгоритм. Чтобы сделать распространение в Алгоритме 4.5 эффективным, Toueg заметил, что узел u для каждого Du[w] = ¥  на старте  w-централизованного обхода не меняет свои таблицы в течение всего w-централизованного обхода.  Если Du[w] = ¥ , то Du[w] + Dw[v] < Du[v] не выполняется для каждого узда v. Следовательно, только узлы, принадлежащие  Tw (в начале w-централизованного обхода) нуждаются в получении таблиц w, и операция распространения может стать более эффективной рассылая Dw только через каналы, принадлежащие дереву Tw. Таким образом, w рассылает Dw своим  сыновьям в Tw и каждый узел в Tw  который принимает таблицу (от своего отца в Tw) пересылает её к своим сыновьям в Tw.

____________________________________________________________________

var  Su   : множество узлов ;

       Du  : массив весов;

      Nbu : массив узлов ;

begin

      Su := Æ  ;

      forall v Î V do

             if v = u

                  then begin Du[v] := O ; Nbu[v] := udef end

             else if v Π Neighu

                  then begin Du[v] := wuv ; Nbu[v] := v end

             else begin Du[v] := ¥  ; Nbu[v] := udef end ;

       while Su ¹ V do

             begin выбрать w из V \ Su ;

                       (* Построение дерева Tw *)

                       forall x Î Neighu do

                            if Nbu[w] = x then send < ys, w> to x

                                                   else send < nys, w > to x ;

                            num_recu := O ; (* u должен получить |Neighu| сообщений *)

                           while num_recu < |Neighu| do

                                     begin получить < ys, w > или  < nys, w > сообщение ;

                                                num_recu := num_recu + 1

                                     end;

                            if Du[w] < ¥  then (* участвует в центр. обходе*)

                                     begin if u¹ w

                                                          then  получить <dtab,w,D> от Nbu[w] ;

                                               forall x Î Neighu do

                                                        if < ys, w > было послано от x

                                                                 then послать < dtab, w, D>) к x; ;

                                              forall v Π V do (* локальный  w-центр *)

                                                         if Du[w] + D[v] < Du[v] then

                                                                  begin Du[v] := Du[w] + D[v] :

                                                                            Nbu[v] := Nbu[w]

                                                                  end

                                      end;

                             Su := Su È {w}

               end

     end

Алгоритм 4.6 Алгоритм Тoueg (для узла u).

_____________________________________________________________________

В начале w-централизованного раунда узел u с Du[w] < ¥  знает кто его отец (в Tw) , но не знает кто его сыновья. Поэтому каждый узел v должен послать сообщение к каждому своему соседу u, спрашивая  u является ли v сыном  u в Tw. Полный  алгоритм дан как Алгоритм 4.6. Узел может участвовать в пересылке таблицы w когда известно что  его соседи являются его сыновьями в Tw. Алгоритм использует три типа сообщений:

(1) <ys,w> сообщение  <ys обозначение для "your son">  u посылает к x; в начале  w-централизованного обхода если x отец u в Tw.

(2) <nys, w> сообщение <nys обозначение для "not your son"> u посылает x в начале w-централизованного обхода если x не отец u в Tw

(3) <dtab, w, D> сообщение посылается в течение w-централизованного обхода через каждое ребро Tw чтобы переслать значение Dw  к каждому узлу который должен использовать это значение.

Полагая сто вес (ребра или пути) вместе с именем узла можно представить W битами, сложность алгоритма показана следующей теоремой.

Теорема 4.9 Алгоритм 4.6 вычисляет для каждых  u и v дистанцию от u к v, и, если эта дистанция конечная, первый канал. Алгоритм обменивается 0(N) сообщениями на канал,, 0(N*|E|) сообщений всего, O(N2W) бит на канал, O(N 3W) бит всего, и требуется  0(NW) бит хранения на узел.

Доказательство. Алгоритм 4.6 выведен от Алгоритма 4.5, который корректен.

Каждый канал переносит два ( < ys, w> или < nys, w> ) сообщений (одно в каждом направлении) и не более одного <dtab, w, D > сообщения в w-централизованном обходе, который включает не более 3N сообщений на канал.  < ys, w > или < nys, w > сообщение содержит O(W) бит и <dtab, w, D > сообщение содержит O(NW) бит, что и является границей для числа бит на канал. Не более N2 < dtab, w,D> сообщений и 2N - |E| (<ys,w> и <nys,w> ) сообщений обмена, и того всего O(N2 - NW +2N-|E|-W) = O(N3W) бит. Таблицы Du и Nbu хранящиеся в узле u требуют 0(NW) бит.‰

В течение w-центализованного обхода узлу разрешено принимать и обрабатывать сообщения только данного обхода, т.е., те которые переносят параметр w. Если каналы удовлетворяют дисциплине FIFO тогда сообщения <ys,w> и <nys, w> прибывают первыми, по одному через каждый канал, и затем сообщение < dtab, w, D > от Nbu[ w] (если узел в Vw). Таким образом возможно, аккуратно программируя, опустить параметр w во всех сообщениях если каналы удовлетворяют дисциплине FIFO. Если каналы не удовлетворяют дисциплине FIFO возможно что сообщение с параметром w' придет пока узел ожидает сообщения для обхода w, тогда как w' становится центром после  w.  В этом случае параметр используется  чтобы различить сообщения  для каждого централизованного обхода, и локальная буферизация ( в канале и узле) должна  использоваться для отсрочки выполнения w'-сообщения.

Toueg дал дальнейшую оптимизацию алгоритма, полагаясь на следующий результат. (Узел u2 потомок  u1 если u2 принадлежит поддереву  u1)

Лемма 4.10 Пусть u1¹ w, и пусть u2  потомок   u1 в Tw, в начале w-централизованного обхода, если u2  изменит своё расстояние до  v во время w-централизованного обхода, тогда и  u1 изменит своё расстояние до v в этом же обходе.

Доказательство. Так как  u2 потомок u1 в Tw :

                                    dS(u2, w) = dS (u2, u1) + dS (u1, w).             (1)

  Так как  u1 Π S:

                                    dS(u2, v) £ dS (u2, u1) + dS (u1,v).                 (2)

   Узел  u2 изменит Du2 [v] в данном обходе тогда и только тогда когда

                                    dS(u2, w) + dS (w, v) < dS (u2, v).                  (3)

   Применяя (2), и затем (1), и вычитая dS(u2, u1), мы получим

                                   dS(u1, w) + dS (w, v) < dS (u1, v)                    (4)

значит  u1 изменит Du1 [v] в этом обходе.‰

В соответствии с этой леммой, Алгоритм 4.6 может быть модифицирован следующим образом. После получения таблицы Dw, (сообщение <dtab, w,D>) узел u вначале выполняет локальные w-централизованные операции, и затем рассылает таблицы своим сыновьям в Tw. Когда пересылка таблицы закончилась достаточно переслать те ссылки  D[v] для которых Du[v] изменилась в течение локальной w-централизованной операции. С этой модификацией таблицы маршрутизации не содержат циклов не только между централизованными обходами (как сказано в Лемме 4.7), но также в течение централизованных обходов.

4.2.3 Обсуждение и Дополнительные Алгоритмы

Представление алгоритм Toueg  предоставило пример как распределенный алгоритм может быть получен непосредственным образом из последовательного алгоритма. Переменные последовательного алгоритма распределены по процессам, и любое означивание переменной x (в последовательном алгоритме) выполняется процессом владеющим x. Всякий раз когда  ознaчивающее выражение содержит ссылки на переменные  из других процессов, связь между процессами потребуется для  передачи значения и синхронизации процессов. Специфические свойства последовательного алгоритма могут быть использованы для минимизации числа соединений.

Алгоритм Toueg прост для понимания, имеет низкую сложность, и маршрутизирует через оптимальные пути; его главный недостаток в его  плохая живучесть. Когда топология сети изменилась все вычисления должны произвестись заново.

Во-первых, как ранее говорилось, однообразный выбор всеми узлами следующего центрального узла (w) требует чтобы множество участвующих узлов было известно заранее. Так как это в основном не известно априори, исполнение расширенного распределенного алгоритма вычисления этого множества (на пример  алгоритм Финна, Алгоритм 6.9) должно предшествовать исполнению алгоритма Toueg.

Во-вторых, алгоритм Toueg основан на повторяющимися применениями уникальности треугольника d(u, v) £ d(u, w) + d(w, v). Оценивание правой стороны ( u) требует информацию о d(w, v), и эта информация  в часто удалена, т.е., не доступна ни в u ни в любой из его соседей. Зависимость от удаленных данных делает необходимым транспортирование информации к удаленным узлам, которые могут быть исследованы в алгоритме Toueg (часть распространения).

Как альтернатива, определенное ниже равенство для d(u, v) может использоваться в алгоритмах для проблем кротчайших путей:

                      ì        0                             если u=v

    d(u,v)=      í                                                                            (4.1)

                      î         wuw+d(w,v)            иначе   

Два свойства этого равенства делают алгоритмы основанные на   этом отличными от алгоритма Toueg.

(1) Локальность данных. Во время оценивания правой стороны равенством (4.1), узлу  u необходима только информация доступная локально (именно, wuw) или в соседях (именно, d(w, v)). Транспортирование данных между удаленными вершинами избегается.

(2) Независимость пункта назначения.  Расстояния до v (именно, d(w, v) где w сосед  u) только нуждаются в вычислении расстояния от u в v.  Таким образом, вычисление всех расстояний до фиксированного пункта назначения vo может происходить независимо от вычисления расстояния до других узлов, и также, может бать сделано обособленно.

В завершение этой части обсуждены два алгоритма основанные на равенстве, а именно алгоритмы Мерлина-Сигалла и Чанди-Мизра. Не смотря на преимущества от локальности данных, сложность соединений этих алгоритмов не лучше алгоритма Toueg. Это из-за независимости пункта назначения введенного равенством(4.1); очевидно, использование результатов для других пунктов назначения (как сделано в алгоритме Toueg) более выгодный прием чем локальность данных.

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42