Реферат: Прикладная математика

у2 = 4 - х2

Последовательно находим:

если    x2 = 0,  то   y2 = 4-0 = 4,         W2 (0,2) = 02 + 5×0 + 2 + 3×2 + F1(4) = 8 + 56 = 64,

x2  = 1,        y2 = 4-1 = 3,          W2 (1,2) = 12 + 5×1 + 2 + 3×2 + F1(3) = 14 + 41 = 55,

x2 = 2,        y2 = 4-2 =2,           W2 (2,2) = 22 + 5×2 + 2 + 3×2 + F1(2) = 22 + 28 = 50,

x2  = 3,        y2 = 4-3 = 1,         W2 (3,2) = 32 + 5×3 + 2 + 3×2 + F1(1) = 32 + 17 = 49*,

x2 = 4,         y2 = 4-4 = 0,         W2 (3,2) = 42 + 5×4 + 2 + 3×2 + F1(0) = 44 + 8 = 52.

29

Наименьшее из полученных значений W2  есть F2 (2), т.е.

            F2 (x = y3 = 2) = min W2 (x2,2) = min (64, 55, 50, 49, 52) = 49,

                                                x2

причем минимум достигается при значении х2, равном

`2 (x = y3 = 2) = 3

Аналогично для значения параметра x = у3 = 3, проведя необходимые вычисления, найдем

F2 (x = y3 = 3) = 63;    `2 (x = y3 = 3) = 3.

Процесс табулирования функции F2 (x = y3) приведен в табл. 2, а результаты табулирования сведены в табл. 3.

Таблица 3

 Переходим к следующему этапу. Полагаем k=3 и табулируем функцию F3 (x = y4):

Вычисляем значение функции состояния только для одного значения аргумента x = у4 = 0, так как не хотим оставлять продукцию в запас в конце исследуемого периода. Процесс вычислений приведен в табл. 4. Получаем

F3 (x = y4) = min W3 (x3,0) = min (80, 71, 65, 62, 62) = 62,

                                                          x3

причем минимум достигается при двух значениях переменной х3, равных

                                    `3 (x = y4 = 0) = 3   или  `3 (x = y4 = 0) = 4.

Таким образом, мы получили не только минимальные общие затраты на производство и хранение продукции, но и последнюю компоненту оптимального решения. Она равна

= 3  или  = 4.

Рассмотрим случай, когда на последнем этапе планируем выпускать три единицы продукции

= 3.

Остальные компоненты оптимального решения найдем по обычным правилам метода динамического программирования. Чтобы найти предпоследнюю компоненту, учтем, что

х3 + у3 - d3 = y4

или

3 + у3 - 4 = 0,

откуда

у3 = 1.

Из   таблицы  (3) значений  находим

Аналогично, продолжая двигаться в обратном направлении и учтя, что

х2 + у2 - d2 = y3

	31
			Таблица 4

Самопроверка результатов                                                                                                                                                                         Таблица 5

32

или

2 + у2 - 2 = 1,

получаем

у2 = 1;                                                                  

из таблицы (2) значений х1(x) находим

.

Итак, оптимальный план производства имеет вид

х1 = 2

х2 = 3

х3 = 3,

а минимальные общие затраты составляют 62 единицы.

Полезна самопроверка полученного результата. Для этого по исходным данным и найденному плану производства заполняем таблицу 5 и убеждаемся, что заявки потребителей на каждом этапе выполняются

                 у1 + х1 ³ d1                  у2 + х2 ³ d2                  у3 + х3 ³ d3     

                 2  + 2   ³ 3                   1  + 2   ³ 2                   1  + 3   ³ 4

и что суммарный объем производства и имевшегося к началу первого этапа запаса продукции равен суммарной потребности

у1 + х1 + х2 + х3 = d1 + d2 + d3

                                                2  + 2  + 2  +  3  =  3 + 2   + 4

причем это достигается при наименьших возможных затратах на производство и хранение продукции

j(х1) + j(х2) + j(х3) + h1у2 + h2у3 = F3(y4=0)

                               16   +   16    +   26   +   1    +   4    =  62

Студенту рекомендуется найти другой вариант оптимальной производственной программы, когда на последнем этапе предполагается произвести 4 единицы продукции, и так же выполнить самопроверку.

§10. Матричная модель производственной

программы предприятия

Предприятие состоит из n цехов. Каждый цех выпускает только один вид продукции. Пусть j-й цех выпускает xj единиц продукции, из которых yj единиц отправляет за пределы предприятия как товарную продукцию, а остающаяся часть используется другими цехами предприятия.

Пусть  ajk – кол-во продукции j-го цеха, расходуемое на производство единицы продукции k-го цеха. Числа aij образуют матрицу А коэффициентов прямых затрат, называемую структурной. Производственная программа предприятия представляется вектором X(x1, … , xn), а выпуск товарной продукции – вектором У(у1, … , уn). Очевидно,

(Е - А)Х = У   или   Х = (Е - А)-1У.

Элементы любого столбца матрицы (Е - А)-1, называемой матрицей коэффициентов полных затрат, показывают затраты всех цехов, необходимые для обеспечения выпуска единицы товарного продукта того цеха, номер которого совпадает с номером данного столбца.

При заданном векторе У выпуска товарной продукции легко определить производственную программу Х и наоборот.

33

Дополним структурную матрицу А матрицей В коэффициентов прямых затрат, получаемых со стороны сырья, полуфабрикатов и т.п. Очевидно, затраты получаемых со стороны материалов определяются элементами матрицы S, где

В = (Е - А)-1У = S

Зная закупочные цены сырья и рыночные цены готовой           продукции, можно подсчитать прибыль.

§11. Матричная игра как модель конкуренции

 и сотрудничества

Пусть игроки – Первый и Второй, играют в матричную игру с матрицей . Пусть стратегия Первого есть , а Второго – . Тогда выигрыш Первого есть случайная величина (с.в.)  с рядом распределения:

Математическое ожидание этой с.в., т.е.  есть средний выигрыш Первого. Пусть  есть дисперсия этой с.в. Естественно назвать среднее квадратическое отклонение с.в. , т.е.  риском для Первого при игре со стратегиями . Поскольку выигрыш Первого есть проигрыш для Второго, то  есть случайный проигрыш Второго и  вполне естественно можно назвать риском игры с такими стратегиями и для Второго.

Предположим сначала, что игроки озабочены только максимизацией среднего дохода за партию игры – обычная цель в таких играх. Тогда игроки будут играть со своими оптимальными стратегиями:                          – Первый игрок и  – Второй.

Математическое ожидание с. в.  называется ценой игры, обозначим ее .

Но что же назвать риском всей игры?

Вычислим дисперсию выигрыша Первого при оптимальных стратегиях игроков.

.

Так  как , а через  сумма обозначена .

Заметим, что в сумме  можно оставить лишь те слагаемые, у которых

Заметим теперь, что если Первый играет со стратегией , а Второй отвечает -й чистой стратегией, то выигрыш первого есть с.в. с рядом распределения:                   

34

Если  есть оптимальная стратегия Первого, а , то из теории матричных игр с нулевой суммой известно, что выигрыш Первого при таких стратегиях по-прежнему равен цене игры , а дисперсия выигрыша Первого при этом равна , то есть равна . Таким образом, что происходит с риском выигрыша Первого, можно понять, сравнив дисперсию при оптимальных стратегиях  и дисперсию  или величины  и . Пусть  Как легко понять, если среди  есть разные числа, то

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7