|
Реферат: Прикладная математикаПродолжая обратный процесс, находим x*2 = 2 (700 - x*4 - x*3) = 2 (200) = 100 тыс. руб. На долю первого предприятия остается x*1 = 700 - x*4 - x*3 - x*2 = 100 тыс. руб. Таким образом, наилучшим является следующее распределение капитальных вложений по предприятиям: x*1 =100; x*2 =100; x*3 = 200; x*4 = 300. Оно обеспечивает производственному объединению наибольший воможный прирост прибыли 155 тыс. руб. Студенту рекомендуется проверить выполнение равенства f1(x*1) + f2(x*2) + f3(x*3) + f4(x*4) = z max Таблица 2
Таблица 4
Таблица 5
Таблица 6
§9. Динамическая задача управления производством
Предприятие производит партиями некоторые изделия. Предположим, что оно получило заказы на n месяцев. Размеры заказов значительно меняются от месяца к месяцу. Поэтому иногда лучше выполнять одной партией заказы нескольких месяцев, а затем хранить изделия, пока они не потребуются, чем выполнять заказ в тот именно месяц, когда этот заказ должен быть отправлен. Необходимо составить план производства на указанные n месяцев с учетом затрат на производство и хранение изделий. Обозначим: xj - число изделий, производимых в j -й месяц; yj - величина запаса к началу j го месяца (это число не содержит изделий, произведенных в j -м месяце); dj - число изделий, которые должны быть отгружены в j -й месяц; fj (xj,yj+1) - затраты на хранение и производство изделий в j -м месяце. Будем считать, что величины запасов к началу первого месяца y1 и к концу последнего yn+1 заданы. Задача состоит в том, чтобы найти план производства (x1, x2, ..., xn) (1) компоненты которого удовлетворяют условиям материального баланса xj + yj - dj = yj+1 j = 1,n (2) и минимизируют суммарные затраты за весь планируемый период (3) причем по смыслу задачи
xj ³ 0, yj ³ 0, j = 1,n (4) Прежде чем приступить к решению поставленной задачи, заметим, что для любого месяца j величина yj+1 запаса к концу месяца должна удовлетворять ограничениям 0 £ yj+1 £ dj+1 + dj+2 + ... + dn (5) т.е. объем производимой продукции xj на этапе j может быть настолько велик, что запас yj+1 удовлетворяет спрос на всех последующих этапах, но не имеет смысла иметь yj+1 больше суммарного спроса на всех последующих этапах. Кроме того, из соотношений (2) и (4) непосредственно следует, что переменная xj должна удовлетворять ограничениям 0 £ xj £ dj + yj+1 (6) Следует также заметить, что переменные xj, yj могут принимать только целые неотрицательные значения, т.е. мы получили задачу целочисленного нелинейного программирования. Будем решать задачу (1)-(6) методом динамического программирования. Введем параметр состояния и составим функцию состояния.
x = yk+1 (7) а функцию состояния Fk(x) определим как минимальные затраты за первые k месяцев при выполнении условия (5) (8) где минимум берется по неотрицательным целым значениям x1,...,xk, удовлетворяющим условиям xj + yj - dj = yj+1 j = 1, k-1 (9) xk + yk - dk = x (10) Учитывая, что (11) и величина запаса yk к концу (k-1) периода, как видно из уравнения (10), равна yk = x + dk - xk (12) приходим к рекуррентному соотношению (13) где минимум берется по единственной переменной xk, которая, согласно (6) может изменяться в пределах 0 £ xk £ dk + x (14) принимая целые значения, причем верхняя граница зависит от значений параметра состояния, изменяющегося в пределах 0 £ x £ dk+1 + dk+2 + ... + dn (15) а индекс k может принимать значения k = 2, 3, 4, ... , n (16) Если k=1, то F1(x = y2) = min f1(x1, x) (17) x1 где x1 = x + d1 - y1 (18) 0£ x £ d2 + d3 + ... + dn (19)
Применив известную вычислительную процедуру динамического программирования, на последнем шаге (при k = n) находим значение последней компоненты xn* оптимального решения, а остальные компоненты определяем как (20) Рассмотрим более подробно функции затрат fj(xj, yj+1) и рекуррентные соотношения. Пусть jj(xj) = axj2 + bxj + c jj (xj) - затраты на производство (закупку) xj единиц продукции на этапе j; hj - затраты на хранение единицы запаса, переходящей из этапа j в этап j+1. Тогда затраты на производство и хранение на этапе j равны fj(xj, yj+1) = jj(xj) + hj yj+1 = axj2 + bxj + c + hj yj+1. (21) Выведенные ранее рекуррентные соотношения динамического программирования для решения задачи управления производством и запасами в нашем случае принимают вид: (22) где k = 2, 3, ... , n (23) 0 £ yk+1 £ dk+1 + dk+1 + ... + dn (24) 0 £ xk £ dk + yk+1 (25) yk = yk+1 + dk - xk (26)
Остается заметить, что полезно обозначить выражение в фигурных скобках через Wk(xk, yk+1) = axj2 + bxj + c + hkyk+1 + Fk-1(yk) (31) и записать рекуррентное соотношение (22) в виде Fk(x=yk+1) = min Wk(xk, yk+1) (32) xk
Пример. Рассмотрим трехэтапную систему управления запасами с дискретной продукцией и динамическим детерминированным спросом. Пусть спрос (заявки) потребителей на нашу продукцию составляют: на первый этап d1=3 единицы, на второй – d2=2, на третий - d3=4 единицы. К началу первого этапа на складе имеется только 2 единицы продукции, т.е. начальный уровень запаса равен y1=2. Затраты на хранение единицы продукции на разных этапах различны и составляют соответственно h1=1, h2=3, h3=2. Затраты на производство xj единиц продукции на j-м этапе определяются функцией jj(xj) = xj2 + 5xj + 2 (33) т.е. а=1; b=5; с=2. Требуется указать, сколько единиц продукции на отдельных этапах следует производить, чтобы заявки потребителей были удовлетворены, а наши общие затраты на производство и хранение за все три этапа были наименьшими. Исходные данные задачи можно кратко записать одной строкой: d1 d2 d3 a b c h1 h2 h3 y1 1 2 4 1 5 2 1 3 2 2 Воспользовавшись рекуррентными соотношениями, последовательно вычисляем F1 (x = y2), F2 (x = y3), ..., Fk (x = yk+1), ... и соответственно находим 1 (x= y2), 2 (x = y3 ), ..., `k (x = yk+1), ... Положим k = 1. Согласно (27) имеем (34) Учтем, что согласно (28) параметр состояния x = у2 может принимать целые значения на отрезке 0 у2 d2 + d3 0 y2 2 + 4 т.е. у2 = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. При этом, вообще говоря, каждому значению параметра состояния должна отвечать определенная область изменения переменной x1, характеризуемая условием (29) 0 х1 3 + у2
Однако, на первом этапе объем производства х1 не может быть меньше единицы, так как спрос d1 = 3, а исходный запас у1 = 2. Более того, из балансового уравнения х1 + у1 - d1 = у2 непосредственно следует, что объем производства связан со значением параметра состояния x= у2 соотношением x1 = y2 + d1 - y1 = y2 + 3 - 2 = y2 +1 (35) В этом и состоит особенность первого этапа. Если задан уровень запаса к началу первого этапа, то каждому значению у2 отвечает единственное значение х1 и потому F1(x = y2) = W1 (x1, y2)
y2 = 0, x1 = 0+1 = 1, W1 (1;0) = 12 + 5×1 + 2 + 1×0 = 8 y2 = 1, x1 = 1+1 = 2, W1 (2;1) = 22 + 5×2 + 2 + 1×1 = 17 и т.д. Значения функции состояния F1(x ) представлены в табл. 1 Таблица 1
Переходим ко второму этапу. Полагаем k = 2 и табулируем функцию F2(x = y3) с помощью соотношения (32) (37) Здесь минимум берется по единственной переменной х2, которая может изменяться, согласно (25), в пределах 0 £ x2 £ d2 + y3 или 0 £ x2 £ 2 + y3 (38) где верхняя граница зависит от параметра состояния x = у3, который, согласно (15), принимает значения на отрезке 0 £ y3 £ d3 , т.е. 0 £ y3 £ 4 (39) а аргумент у2 в последнем слагаемом справа в соотношении (37) связан с х2 и у3 балансовым уравнением x2 + y2 - d2 = y3 откуда следует y2 = y3 + d2 - x2 = y3 + 2 - x2 (40) Придавая параметру состояния различные значения от 0 до 4, будем последовательно вычислять W2 (x2, x), а затем определять F2(x ) и 2(x ). Положим, например x = у3 = 2. Тогда, согласно (38), 0 £ x2 £ 4, т.е. переменная х2 может принимать значения: 0, 1, 2, 3, 4, а каждому значению х2 отвечает определенное значение у2, вычисляемое по формуле (40): |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Рефераты бесплатно, реферат бесплатно, курсовые работы, реферат, доклады, рефераты, рефераты скачать, рефераты на тему, сочинения, курсовые, дипломы, научные работы и многое другое. |
||
При использовании материалов - ссылка на сайт обязательна. |