Реферат: Прикладная математика

11

     x1=0, x2=0, x3=0, x4=0, x5=208, x6=107, x7=181                           (13)

первые четыре компоненты которого определяют производственную программу

                                       x1=0, x2=0, x3=0, x4=0                                             (14)

по которой мы пока ничего не производим.

Из выражения (8) видно, что наиболее выгодно начинать производить продукцию четвертого вида, так как прибыль на единицу продукции здесь наибольшая. Чем больше выпуск в этой продукции, тем больше прибыль. Выясним, до каких пор наши ресурсы позволяют увеличить выпуск этой продукции. Для этого придется записать для системы уравнений (11) общее решение

                                                    (15)

Мы пока сохраняем в общем решении х1=х2=х3=0 и увеличиваем только х4. При этом значения базисных переменных должны оставаться неотрицательными, что приводит к системе неравенств

    или             т.е.         0 £ х4 £

Дадим х4 наибольшее значение х4 =181/5, которое она может принять при нулевых значениях других свободных неизвестных, и подставим его в (15). Получаем для системы уравнений (11) частное неотрицательное решение

х1=0, х2=0, х3=0, х4=; x5=27; x6=; x7=0                                           (16)

Нетрудно убедиться, что это решение является новым базисным неотрицательным решением системы линейных алгебраических уравнений (11), для получения которого достаточно было принять в системе (11) неизвестную х4 за разрешающую и перейти к новому предпочитаемому виду этой системы, сохранив правые части уравнений неотрицательными, для чего за разрешающее уравнение мы обязаны принять третье, так как

а разрешающим элементом будет а34=5. Применив известные формулы исключения, получаем для системы уравнений (11) новый предпочитаемый эквивалент

          x1      +   2x2   + 2x3          + x5             -  x7  = 27

       x1 + x2  -  x3              + x6  - x7 =                  (17)

                                    x1  +   x2  + x3 + x4               + x7 =

Приравняв к нулю свободные переменные х1, х2, х3, х7, получаем базисное неотрицательное решение, совпадающее с (16), причем первые четыре компоненты его определяют новую производственную программу

                                х1=0, х2=0, х3=0, х4=.                                              (18)

12

Исследуем, является ли эта программа наилучшей, т.е. обеспечивает ли она наибольшую прибыль. Для этого выразим функцию прибыли (8) через новые свободные переменные х1, х2, х3, х7.

Из последнего уравнения системы (17) выражаем базисную переменную х4 через свободные и подставляем в (8). Получаем

                                         (19)

Видим, что программа (18) не является наилучшей, так как прибыль будет расти, если мы начнем производить или первую, или вторую, или третью продукцию, но наиболее быстро функция z растет при возрастании х1. Поэтому принимаем х1 в системе (17) за разрешающую неизвестную, находим разрешающее уравнение по

                                                                      (20)

и исключаем х1 из всех уравнений системы (17), кроме первого уравнения. Получим следующий предпочитаемый эквивалент системы условий, который определит для системы (11) новое базисное неотрицательное решение и уже третью производственную программу, для исследования которого нам придется выразить функцию (19) через новые свободные переменные, удалив оттуда переменную х1, ставшую базисной. Мы видели выше, как это делается (удаляли х4 из (8)).

Важно обратить внимание на то, что эти удаления можно выполнить очень просто. Представим соотношение (8) в виде уравнения

-36х1 - 14х2 - 25х3 - 50х4 = 0 – z                                                                     (21)

и припишем его к системе (11). Получается вспомогательная система уравнений

                            (22)

Напомним, что разрешающую неизвестную в системе (11) мы выбрали х4. Этой переменной в последнем уравнении системы (22) отвечает наименьший отрицательный коэффициент D4=-50. Затем мы нашли разрешающий элемент а34=5 и исключили неизвестную х4 из всех уравнений системы (11), кроме третьего. Далее нам пришлось х4 исключать и из функции (8). Теперь это можно сделать очень просто, если посмотреть на систему уравнений (22). Очевидно, достаточно умножить третье уравнение системы (22) на 10 и прибавить к четвертому; получим

-6х1 - 4х2 - 5х3 - 10х4 = 1810 – z                                                         (23)

Таким образом, мы преобразовывали вспомогательную систему уравнений (22) к виду

           x1      +   2x2   + 2x3          + x5             -  x7  = 27

       x1   + x2  -  x3              + x6  - x7 =                             (24)

       x1   +   x2  + x3 + x4               + x7 =

       -6x1   -    4x2    -   5x3                       +10x7 = 1810 - z

13

Первые три уравнения этой системы представляют некоторый предпочитаемый эквивалент (17) системы уравнений (11) и определяют базисное неотрицательное решение (16) и производственную программу (18), а из последнего уравнения системы (24) получается выражение (19) функции цели через свободные переменные. Очевидно, если имеется хотя бы один отрицательный коэффициент Dj при какой-нибудь переменной xj в последнем уравнении системы (24), то производственная программа не является наилучшей и можно далее продолжать процесс ее улучшения. С помощью (19) мы выяснили, что следует начинать производить продукцию первого вида, т.е. фактически мы нашли в последнем уравнении системы (24) наименьший отрицательный коэффициент

min(Dj<0) = min(-6, -4, -5) = -6 = D1                  

и решили перевести свободную переменную х1  в число базисных, для чего, согласно (20)определили разрешающее уравнение и указали разрешающий элемент а11=1.

Учитывая сказанное выше, теперь мы будем преобразовывать не систему (17), а всю вспомогательную систему (24), по формулам исключения. Эта система преобразуется к виду

  x1  + 2x2 +   2x3           + x5                  -     x7  = 27

                 3x2  - x3        -   x5   + x6  + x7  = 13                    (25)

                 - x2  - x3 + x4 - x5            + x7 = 20

                  8x2 +  7x3          + 6x5            +   4x7 = 1972 - z

Первые три уравнения системы (25) представляют некоторый предпочитаемый эквивалент системы уравнений (11) и определяют базисное неотрицательное решение системы условий рассматриваемой задачи

x1=27, x2=0, x3=0, x4=20, x5=0, x6=13, x7=0                          (26)

т.е. определяют производственную программу

            x1=27, x2=0, x3=0, x4=20                                            (27)

и остатки ресурсов:

первого вида      х5=0

второго вида       х6=13                                                                           (28)

третьего вида      х7=0

В последнем уравнении системы (25) среди коэффициентов при неизвестных в левой части уравнения нет ни одного отрицательного. Если из этого уравнения выразить функцию цели z через остальные неотрицательные переменные

z = 1972 - 8х2 - 7х3 - 6х5 - 4х7                                                                 (29)

то становится совершенно очевидным (в силу того, что все xj³0), что прибыль будет наибольшей тогда, когда

x2=0, x3=0, x5=0, x7=0                                                            (30)

Это означает, что производственная программа (27) является наилучшей и обеспечивает предприятию наибольшую прибыль

zmax = 1972                                                                              (31)

Итак, организовав направленный перебор базисных неотрицательных решений системы условий задачи, мы пришли к оптимальной производственной программе и указали остатки ресурсов, а также максимальную прибыль.

Остается заметить, что процесс решения обычно записывается в виде некоторой таблицы 1.

14

Таблица 1

где представлены расширенные матрицы вспомогательных систем уравнений            (22)  ®  (24)  ®  (25).   Эти таблицы принято называть симплексными.

Следует обратить внимание на экономический смысл элементов последней строки последней симплексной таблицы. Например, коэффициент D3=7 при переменной х3 показывает, что если произвести одну единицу продукции третьего вида (она не входит в оптимальную производственную программу), то прибыль уменьшится на 7 единиц.

В заключение заметим, что в рассматриваемом простейшем примере линейной производственной задачи возможна самопроверка результата.

Воспользуемся тем, что в оптимальной производственной программе х2=0, х3=0. Предположим, что вторую и третью продукции мы не намеревались выпускать с самого начала. Рассмотрим задачу с оставшимися двумя переменными, сохранив их нумерацию. Математическая модель задачи будет выглядеть следующим образом:

15

Студенту не составит труда решить эту задачу графически и убедиться, что результаты совпадают.

Следует при этом обратить внимание на то, что последовательное улучшение производственной программы

(x1=0, x4=0) ® (x1=0, x4=) ® (x1=27, x4=20)

на графике означает движение от одной вершины многогранника допустимых решений к другой вершине по связывающей их стороне многоугольника (в случае трех переменных это будет "езда" по ребрам многогранника допустимых решений от одной вершины к другой до достижения оптимальной вершины).

§5. Двойственная задача

Ранее мы рассмотрели конкретную линейную производственную задачу по выпуску четырех видов продукции с использованием трех видов ресурсов по заданным технологиям.

Теперь представим себе, что возникла новая ситуация. Знакомый предприниматель П (Петров), занимающийся производством каких-то других видов продукции, но с использованием трех таких же видов ресурсов, какие имеются у нас, предлагает нам "уступить" по определенным ценам все имеющиеся у нас ресурсы и обещает платить у1 рублей за каждую единицу первого ресурса, у2 руб – второго, у3 руб – третьего. Возникает вопрос: при каких ценах у1, у2, у3 мы можем согласиться с предложением П.

Величины у1, у2, у3 принято называть расчетными, или двойственными, оценками ресурсов. Они прямо зависят от условий, в которых действует наше предприятие.

Напомним, что в нашей задаче технологическая матрица А, вектор объемов ресурсов В и вектор удельной прибыли С имели вид

Для производства единицы продукции первого вида мы должны затратить, как видно из матрицы А, 4 единицы ресурса первого вида, 2 единицы ресурса второго вида и 3 единицы третьего (элементы первого столбца матрицы). В ценах у1, у2, у3 наши затраты составят 4у1 + 2у2 + 3у3, т.е. столько заплатит предприниматель П за все ресурсы, идущие на производство единицы первой продукции. На рынке за единицу первой продукции мы получили бы прибыль 36 руб. Следовательно, мы можем согласиться с предложением П только в том случае, если он заплатит не меньше

4у1 + 2у2 + 3у3 ³ 36.

Аналогично, во втором столбце матрицы А указаны затраты различных ресурсов на производство единицы продукции второго вида. В ценах П эти затраты составят 3у1 + 5у2 + у3, а на рынке за единицу продукции второго вида мы получили бы прибыль 14 рублей. Поэтому перед предпринимателем П мы ставим условие

3у1 + 5у2 + у3 ³ 14

и т.д. по всем видам продукции.

Учтем, что за все имеющиеся у нас ресурсы нам должны заплатить                        208у1 + 107у2 + 181у3 рублей. При поставленных нами условиях предприниматель П будет искать такие значения величин у1, у2, у3, чтобы эта сумма была как можно меньше. Подчеркнем, что здесь речь идет не о ценах,  по которым мы когда-то приобретали эти ресурсы, а об этих ценах, которые существенно зависят от применяемых нами технологий, объемов ресурсов и от ситуации на рынке.

16

Таким образом, проблема определения расчетных оценок ресурсов приводит к задаче линейного программирования: найти вектор двойственных оценок

у(у1, y2, y3)

минимизирующий общую оценку всех ресурсов

                                                f =  208y1 + 107y2  +181y3                                                (1)

при условии, что по каждому виду продукции суммарная оценка всех ресурсов, затрачиваемых на производство единицы продукции, не меньше прибыли, получаемой от реализации единицы этой продукции

(2)

                                                4y1 + 2y2 + 3y3 ³ 36

            3y1 + 5y2 +   y3 ³ 14

4y1          + 2y3  ³ 25

5y1 + 2y2 + 5y3  ³ 50

 причем оценки  ресурсов не могут быть отрицательными

                                                y10,  y20,  y30.                                                     (3)

Решение полученной задачи легко найти с помощью второй основной теоремы    двойственности,  согласно     которой     для     оптимальных решений   (х1, х2, х3, х4)    и   (y1, y2, y3) пары двойственных задач необходимо и достаточно выполнение условий

x 1 (4y1 + 2y2 + 3y3 - 36) = 0               y1 (4x1 +3x2 + 4x3 + 5x4 - 208) = 0

x 2 (3y1 + 5y2 +   y3 - 14) = 0               y2 (2x1 +5x2           + 2x4 - 107) = 0

x 3 (4y1           + 2y3  - 25) = 0              y3 (3x1 +  x2 + 2x3 + 5x4 - 181) = 0         .

 x 4(5y1 + 2y2 + 5y3  - 50) = 0              

Ранее было найдено, что в решении исходной задачи х1>0,  x4>0.  Поэтому

4y1 + 2y2 + 3y3 - 36 = 0

        5y1 + 2y2 + 5y3  - 50 = 0

Если же учесть, что второй ресурс был избыточным и, согласно той же теореме двойственности, ее двойственная оценка равна нулю

у2=0,

то приходим к системе уравнений

4y1 + 3y3 - 36 = 0

5y1 + 5y3  - 50 = 0

откуда следует

                                                у1=6,  у3=4.

Таким образом, получили двойственные оценки ресурсов

                           у1=6;  у2=0;   у3=4,                                                                 (4)

причем общая оценка всех ресурсов равна 1972.

17

 Заметим, что решение (4) содержалось в последней строке последней симплексной таблицы исходной задачи. Важен экономический смысл двойственных оценок. Например, двойственная оценка третьего ресурса у3=4 показывает, что добавление одной единицы третьего ресурса обеспечит прирост прибыли в 4 единицы.

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7