Реферат: Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений

,

            Где : ортогональный проектор на линейную оболочку , собственных векторов задачи

.

            Невязка наилучшего приближения равна

.                    n

            Рассмотрим теперь задачу наилучшего приближения изображения f(×) изображениями (17), в которых заданы и фиксированы векторы , и надлежит определить измеримое разбиение  и функции , как решение задачи

                                    (30)

            При любом разбиении минимум в (30) по  достигается при , определяемых равенством (20). В свою очередь, очевидно, что

                (31)

где точки , в которых выполняется равенство  могут быть произвольно включены в одно из множеств : либо в , либо в . Это соглашение отмечено звездочкой в (31).

            Таким образом доказана

            Теорема 6. Пусть  заданные векторы Rn. Решением задачи (30) является изображение  

 ,

где ортогональный проектор  определен равенством (25), а  - индикаторная функция множества (31), i=1,...,N.  Невязка наилучшего приближения равна

.                             n

            Замечание 5.  Так как при 

,

то условия (31), определяющие разбиение , можно записать в виде

,                                            (32)

показывающем, что множество  в (32) инвариантно относительно любого преобразования изображения , не изменяющего его цвет.

                                                                                                            Теоремы 3 и 6 позволяют сформулировать необходимые и достаточные условия наилучшего приближения изображения f(×) изображениями (17), при котором должны быть найдены  и ci0 , i=1,...,N, такие, что

.

            Теорема 7. Для заданного изображения f(×) определим множества  равенствами (32), оператор П - равенством (24),   - равенствами (25). Тогда ,

определено равенством (32), в котором  - собственный вектор оператора Фi (23), отвечающий наибольшему собственному значению, причем в (23) , наконец,  будет дано равенством (20), в котором , где  - собственный вектор оператора , отвечающий наибольшему собственному значению ; наконец,

.            n

            Замечание 6. Следующая итерационная процедура полезна при отыскании : Для изображения f(×) зададим  и по теореме 5 найдем  и , затем по теореме 3, используя  найдем  и . После этого вновь воспользуемся теоремой 3 и по  найдем  и  и т.д. Построенная таким образом последовательность изображений  очевидно обладает тем свойством, что числовая последовательность , k=1,2,.….. монотонно не возрастает и, следовательно, сходится. К сожалению ничего определенного нельзя сказать о сходимости последовательности .

            Формы  (10) и  (9) удобно задавать операторами Пf  и П*f соответственно.

            Теорема 7. Форма  в широком смысле изображения определяется ортогональным проектором П*f :

 ,

при этом  и .

            Доказательство. Так как для  , то получаем первое утверждение. Для доказательства второго утверждения рассмотрим выпуклую задачу на минимум , решение которой определяется условиями (см., например, [11]) . Отсюда следует, что  и тем самым доказано и второе утверждение      n

            Замечание. Так как , где fi(x) - выходной сигнал i-го детектора в точке , причем fi(x)³0 ,i=1,...,n, и, следовательно цвет  реальных изображений непременно имеет неотрицательные , то для реальных изображений , условия  и , эквивалентны. Если же для некоторого , то условие  не влечет . Заметим также, что для изображений g(×), удовлетворяющих условию , всегда .

            Для спектрозональных изображений характерна ситуация, при которой k детекторов регистрируют рассеянную объектами солнечную радиацию в диапазоне видимого света, а остальные n-k регистрируют собственное тепловое излучение объектов ( в инфракрасном диапазоне). В таком случае любое изображение можно представить разложением

                                                               (40)

В котором

. Если ИК составляющей солнечного излучения можно пренебречь по сравнению с собственным излучением объектов, то представляет интерес задача приближения изображениями f(×) , в которых f1(×) - любая неотрицательная функция из , j1(×) - фиксированное векторное поле цвета, f2(×) - термояркость, j2(×) - термоцвет в точке . Форма П*f видимой компоненты f(×) (40) определяется как оператор наилучшего приближения в задаче

, в данном случае

, причем П*f действует фактически только на  "видимую компоненту" g(×), обращая "невидимую, ИК, компоненту" g(×) в ноль.

            Форма ИК компоненты f(×) может быть определена лишь тогда, когда известно множество возможных преобразований j2(×) f2(×).

            Некоторые применения.

            Задачи идентификации сцен.

            Рассмотрим вначале задачи идентификации сцен по их изображения, неискаженным геометрическими преобразованиями, поворотами, изменениями масштаба и т.д. Ограничимся задачами, в которых предъявляемые для анализа изображения получены при изменяющихся и неконтролируемых условиях освещения и неизвестных и, вообще говоря, различных оптических характеристиках сцены.

            1). Задачи идентификации при произвольно меняющейся интенсивности освещения.

            Можно ли считать f(×) и g(×) изображениями одной и той же сцены, возможно, отличающимя лишь распределениями яркости, например, наличием теней?

            В простейшем случае для идентификации достаточно воспользоваться теоремой 5, а именно, f(×) и g(×) можно считать изображениями одной и той же сцены, если существует распределение цвета , для которого v(j(×)) содержит f(×) и g(×). Если , и , то, очевидно, существует , при котором f(x)Îv(j(×)), g(x)Îv(j(×)), а именно, , , если , , если , и, наконец,  - произвольно, если .

            На практике удобнее использовать другой подход, позволяющий одновременно решать задачи совмещения изображений и выделения объектов. Можно ли, например, считать g(×) изображением сцены, представленной изображением f(×)? Ответ следует считать утвердительным, если

.

Здесь j(×) - распределение цвета на изображении f(×), символ ~0 означает, что значение d(g(×)) можно объяснить наличием шума, каких-либо других погрешностей, или, наконец, - наличием или, наоборот, отсутствием объектов объясняющим несовпадение g(×) и f(×) с точностью до преобразования распределения яркостей. Такие объекты, изменившие распределение цвета g(×) по сравнению с распределением цвета f(×), представлены в .

            2).Идентификация при произвольном изменении распределения интенсивности и пространственно однородном изменении спектрального состава освещения.

            Можно ли считать изображением сцены, представленной на изображении f(×), изображение, полученное при изменившихся условиях регистрации, например, перемещением или изменением теней и изменением спектрального состава освещения?

            Пусть П - форма в широком смысле изображения f(×), определенная в теореме @, П* - форма f(×). Тогда ответ на поставленный вопрос можно считать утвердительным, если . Если изменение g(×) обусловлено не только изменившимися условиями регистрации, но также появлением и (или) исчезновением некоторых объектов, то изменения, обусловленные этим последним обстоятельством будут представлены на .

            3). Задачи совмещения изображений и поиска фрагмента.

            Пусть f(×) - заданное изображение, AÌX - подмножество поля зрения, cA(×) - его индикатор, cA(×)f(×) -назовем фрагментом изображения f(×) на подмножестве A, представляющем выделенный фрагмент сцены, изображенной на f(×). Пусть g(×) - изображение той же сцены, полученное при других условиях, в частности, например, сдвинутое, повернутое, т.е. геометрически искаженное по сравнению с f(×). Задача состоит в том, чтобы указать на g(×) фрагмент изображения, представляющий на f(×) фрагмент сцены и совместить его с cA(×)f(×).

            Ограничимся случаем, когда упомянутые геометрические искажения можно моделировать группой преобразований R2->R2, преобразование изображения  назовем сдвигом g(×) на h. Здесь

Q(h): Rn->Rn, hÎH, - группа операторов. Векторный сдвиг на h¢ÎH даст

.

            В задаче выделения и совмещения фрагмента рассмотрим фрагмент сдвинутого на h изображения g(×) в “окне” A:

                                                                                       (100)

причем, поскольку  где  то в (100)  - ограничение на сдвиг “окна” А, которое должно оставаться в пределах поля зрения X.

            Если кроме цвета g(×) может отличаться от f(×), скажем, произвольным преобразованием распределения яркости при неизменном распределении цвета и  - форма фрагмента f(×), то задача выделения и совмещения фрагмента сводится к следующей задаче на минимум

.(101)

При этом считается, что фрагмент изображения g(×), соответствующий фрагменту cA(×)f(×), будет помещен в “окно”.А путем соответствующего сдвига h=h*,  совпадает с cA(×)f(×)  с точностью до некоторого преобразования распределения яркости на нем. Это означает, что

.

т.е. в (101) при h=h* достигается минимум.

            4). В ряде случаев возникает следующая задача анализа спектрозональных изображений: выделить объекты которые “видны”, скажем, в первом канале и “не видны” в остальных.

            Рассмотрим два изображения  и . Определим форму в широком смысле  как множество всех линейных преобразований :  (A - линейный оператор R2->R2, не зависящий от xÎX). Для определения проектора на  рассмотрим задачу на минимум

.        [*]

Пусть , , тогда задача на минимум [*] эквивалентна следующей: tr A*AS - 2trAB ~ . Ее решение  (знаком - обозначено псевдообращение).

=

=

Рис.1.

fe - вектор выходных сигналов детекторов, отвечающий излучению e(×), je - его цвет; j1,j2,j3, - векторы (цвета) базовых излучений, b - белый цвет, конец вектора b находится на пересечении биссектрис.

Литература.

[1] Пытьев Ю.П. Морфологические понятия в задачах анализа изображений, - Докл. АН СССР, 1975, т. 224, №6, сс. 1283-1286.

[2]  Пытьев Ю.П. Морфологический анализ изображений, - Докл. АН СССР, 1983, т. 296, №5, сс. 1061-1064.

[3]  Пытьев Ю.П. Задачи морфологического анализа изображений, - Математические методы исследования природных ресурсов земли из космоса, ред. Золотухин В.Г., Наука, Москва, 1984, сс. хххх-ххххх.

[4]  Пытьев Ю.П., Чуличков А.И. ЭВМ анализирует форму изображения, - Знание,сер. Математика, Кибернентика, Москва, 1988, 47 стр.

[5] Yu.P.Pyt’ev. Morphological Image Analysis, Patt. Recogn. and Image Analysis, 1993, v.3, #1, pp.19-28.

[6]  Антонюк В.А., Пытьев Ю.П. Спецпроцессоры реального времени для морфологического анализа реальных сцен. Обработка изображений и дистанционное исследования, -Новосибирск, 1981, сс. 87-89.

[7]  Антонюк В.А., Пытьев Ю.П., Рау Э.И. Автоматизация визуального контроля изделий микроэлектроники,Радиотехника и электроника, 1985, т. ХХХ,№12, сс. 2456-2458.

[8]  Ермолаев А.Г., Пытьев Ю.П. Априорные оценки полезного сигнала для морфологических решающих алглритмов, - Автоматизация, 1984, №5, сс. 118-120.

[9]  Пытьев Ю.П, Задорожный С.С., Лукьянов А.Е. Об автоматизации сравнительного морфологического анализа электронномикроскопических изображений, - Изв. АН СССР, сер. физическая, 1977, т. 41, №11, сс. хххх-хххх.

[10] A.A. Stepanov, S.Yu. Zheltov, Yu.V. Visilter. Shape analysis using Pyt'ev morphological paradigm and its using in machine vision. Proc. SPIE - Th. Intern. Soc. For Optical Engineering Videometrics III, 1994, v. 2350, pp. 163-167.

[11] Пытьев Ю.П.. Математические методы интерпретации эксперимента, Высшая школа, 351 стр., 1989.

[12] Майзель С.О. Ратхер Е.С. Цветовые расчеты и измерения. М:Л:Госэнергоиздат 1941, (Труды всесоюзного электротехнического института, вып.56).

[13] P. Kronberg. Fernerkundung der Erde Ferdinand Enke. Verlag Stuthgart 1985.

[1] Например, в связи с изменением времени суток, погоды, времени года и т.п.

[2] Фрагмент морфологического анализа цветных изображений содержится в работе[3].

[3] вектор fe будет иметь отрицательные координаты, если он не принадлежит выпуклому конусу

[4]черта символизирует замыкание,  - выпуклый замкнутый конус в Rn.

[5] Если  - более детальное изображение , то некоторые A(j) могут “ращепиться” на несколько подмножеств A¢(j¢), на каждом из которых цвет  постоянный, но различный на разных подмножествах A¢(j¢). Однако, поскольку форма обычно строится исходя из данного изображения f(×), v(f(×)) не может содержать изображения, которые более детально характеризуют изображенную сцену.

[6] Для простоты яркость изображения считается положительной в каждой точке поля зрения Х.

[7]- класс неотрицательных функций  принадлежащих .

[8]Одна и та же буква F использована как для оператора , так и для оператора . Эта вольность не должна вызывать недоразумения и часто используется в работе.

[9]Если m(As)=0, то в задаче наилучшего приближения (18) цвет и распределение яркости на As можно считать произвольными, поскольку их значения не влияют на величину невязки s.

[10]Векторы j1,..., jq выбираются, например, сообразно цветам объектов, представляющих интерес.