Реферат: Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений

            Аналогично для черно-белого изображения a(×)

,[7] [2]. И проектор  можно отождествить с формой изображения (4*), как это сделано в работах [2,3].

            Примечания.

            Формы в широком смысле не определяются связью задач наилучшего приближения элементами  и , которая известна как транзитивность проецирования. Именно, если  оператор наилучшего в  приближения злементами выпуклого замкнутого (в  и в ) конуса , то  . Иначе говоря, для определения наилучшего в  приближения  элементами  можно вначале найти ортогональную проекцию  изображения  на , а затем  спроецировать в  на . При этом конечномерный проектор  для каждого конкретного конуса  может быть реализован методом динамического программирования, а для многих задач морфологического анализа изображений достаточным оказывается использование лишь проектора П .

            Форма в широком смысле  (4***) изображения (4) полностью определяется измеримым разложением , последнее, в свою очередь определяется изображением

,                                           

если векторы  попарно различны. Если при этом , то форма в широком смысле  может быть определена и как оператор П ортогонального проецирования на , определенный равенством (13).

            Посмотрим, каким образом воспользоваться этими фактами при построении формы в широком смысле как оператора ортогонального проецирования на линейное подпространство  (10*) для произвольного изображения . Пусть  - множество значений  и  - измеримое разбиение X , порожденное , в котором  - подмножество X , в пределах которого изображение  имеет постоянные яркость и цвет, определяемые вектором , если .

            Однако для найденного разбиения условие , вообще говоря, невыполнимо и, следовательно, теорема 1 не позволяет построить ортогональный проектор П на . Покажем, что П можно получить как предел последовательности конечномерных ортогональных проекторов. Заметим вначале, что любое изображение  можно представить в виде предела (в ) должным образом организованной последовательности мозаичных изображений

                            (*)

где  - индикатор множества , принадлежащего измеримому разбиению

            В (*) можно, например, использовать так называемую исчерпывающую последовательность разбиений [], удовлетворяющую следующим условиям

- -  C - измеримо, ;

- N+1-oe разбиение является продолжением N-го, т.е. для любого , найдется i=i(j),, такое, что ;

- минимальная s-алгебра, содержащая все  , совпадает с C.

            Лемма (*). Пусть  - исчерпывающая последователь-ность разбиений X и - то множество из , которое содержит . Тогда для любой C-измеримой функции

и m-почти для всех   [    ].            n

            Воспользуемся этим результатом для построения формы в широком смысле П произвольного изображения . Пусть  - минимальная s-алгебра, относительно которой измеримо , т.е. пусть , где  - прообраз борелевского множества , B - s-алгебра борелевских множеств . Заменим в условиях, определяющих исчерпывающую последовательность разбиений, C на  и выберем эту, зависящую от , исчерпывающую последовательность ( - измеримых) разбиений в лемме (*).

            Теорема (*). Пусть , - исчерпывающая последовательность разбиений  X, причем - минимальная s-алгебра, содержащая все  и П(N) - ортогональный проектор , определенный равенством ,

            Тогда

1) для любого -измеримого изображения   и почти для всех ,             ,

2) для любого изображения  при   (в ), где П - ортогональный проектор на .

            Доказательство. Первое утверждение непосредственно следует из леммы (*) и определения . Для доказательства второго утверждения заметим, что, так как A(N+1) - продолжение разбиения A(N), N=1,2,..., то последовательность проекторов П(N), N=1,2,..., монотонно неубывает:  и потому сходится (поточечно) к некоторому ортогональному проектору П. Так как  - множество всех -измеримых изображений и их пределов (в ), а в силу леммы (*) для любого -измеримого изображения

 , то для любого изображения  и для любого  , ибо -измеримо, N=1,2,...           n

            Вопрос о том, каким образом может быть построена исчерпывающая последовательность разбиений, обсуждается в следующем пункте.

            Заданы векторы f1,...,fq, требуется определить разбиение , на множествах которого наилучшее приближение принимает соответственно значенния f1,...,fq. Рассмотрим задачу приближения цветного изображения f(×), в которой задано не разбиение  поля зрения X, а векторы  в , и требуется построить измеримое разбиение поля зрения, такое, что цветное изображение  - наилучшая в  аппроксимация f(×). Так как

,              (14*)

то в Ai следует отнести лишь те точки , для которых , =1,2,...,q, или, что то же самое, =1,2,...,q. Те точки, которые согласно этому принципу могут быть отнесены к нескольким множествам, должны быть отнесены к одному из них по произволу. Учитывая это, условимся считать, что запись

     ,           (14)

означает, что множества (14) не пересекаются и .

            Чтобы сформулировать этот результат в терминах морфологического анализа, рассмотрим разбиение , в котором

                          (15)

и звездочка указывает на договоренность, принятую в (14). Определим оператор F, действующий из  в  по формуле , , i=1,...,q. Очевидно, F всегда можно согласовать с (14) так, чтобы включения  и , i=1,...,q, можно было считать эквивалентными. [8]

            Теорема 2.     Пусть   - заданные векторы Rn. Решение задачи

наилучшего в  приближения изображения f(×) изображениями  имеет вид , где  - индикаторная функция множества . Множество  определено равенством (15). Нелинейный оператор , как всякий оператор наилучшего приближения удовлетворяет условию F2=F, т.е. является пректором.

            Замечание 2. Если данные задачи доступны лишь в черно-белом варианте, то есть заданы числа , i=1,...,q, которые можно считать упорядоченными согласно условию , то, как показано в [3], искомое разбиение X состоит из множеств

где , и имеет мало общего с разбиением (14).

            Замечание 3. Выберем векторы fi, i=1,..,q  единичной длины: , i=1,...,q. Тогда

.                 (16)

            Множества (16) являются конусами в Rn , ограниченными гиперплоскостями, проходящими через начало координат. Отсюда следует, что соответствующее приближение  изображения f(×) инвариантно относительно произвольного преобразования последнего, не изменяющего его цвет (например ), в частности, относительно образования теней на f(×).

            Замечание 4. Для любого заданного набора попарно различных векторов  оператор F, приведенный в теореме 2, определяет форму изображения, принимающего значения  соответственно на измеримых множествах  (любого) разбиения X. Всякое такое изображение является неподвижной (в ) точкой F: , если , все они изоморфны между собой. Если некоторые множества из  - пустые, или нулевой меры, соответствующие изображения имеют более простую форму.

            Иначе говоря, в данном случае формой изображения  является множество всех изображений, принимающих заданные значения  на множествах положительной меры  любого разбиения X, и их пределов в .

            Теоремы 1 и 2 позволяют записать необходимые и достаточные условия наилучшего приближения изображения f(×) изображениями , в котором требуется определить как векторы , так и множества  так, чтобы

.                         

            Следствие 1.

            Пусть Di ,i=1,...,N, - подмножества Rn (15), П - ортогональный проектор (13), , где . Тогда необходимые и достаточные условия  суть следующие: , где , .

            Следующая рекуррентная процедура, полезная для уточнения приближений, получаемых в теоремах 1,2, в некоторых случаях позволяет решать названную задачу. Пусть  - исходные векторы в задаче (14*),  - соответствующее оптимальное разбиение (14), F(1)- оператор наилучшего приближения и  - невязка. Воспользовавшись теоремой 1, определим для найденного разбиения  оптимальные векторы . Согласно выражению (13) , и соответствующий оператор наилучшего приближения П(1) (13) обеспечит не менее точное приближение f(×), чем F(1): . Выберем теперь в теореме 2 , определим соответствующее оптимальное разбиение  и построим оператор наилучшего приближения F(2). Тогда . На следующем шаге по разбиению  строим  и оператор П(3) и т.д.

            В заключение этого пункта вернемся к вопросу о построении исчерпывающего -измеримого разбиения X, отвечающего заданной функции . Выберем произвольно попарно различные векторы из f(X) и построим по формуле (15) разбиение Rn . Для каждого q=1,2,... образуем разбиение E(N(q)), множества , j=1,...,N(q), которого образованы всеми попарно различными пересечениями  множеств из . Последовательность соответствующих разбиений X , i=1,...,N(q), q=1,2...  -измеримы и  является продолжением

5.2. Приближение изображениями, цвет которых постоянен на подмножествах разбиения  поля зрения X.

            Задано разбиение , требуется определить цвет и распределение яркостей наилучшего приближения на каждом Ai,i=1,...,N.

            Для практики, как уже было отмечено, большой интерес представляет класс изображений (5), цвет которых не изменяется в пределах некоторых подмножеств поля зрения, и задачи аппроксимации произвольных изображений изображениями такого класса.

            Запишем изображение (5) в виде

                                                                (17)

где  .

            Пусть A1,...,AN - заданное разбиение X,  - индикаторная функция Ai, i=1,...,N. Рассмотрим задачу наилучшего в  приближения изображения  изображениями (17), не требуя, чтобы

                       (18)

            Речь идет о задаче аппроксимации произвольного изображения  изображениями, у которых яркость может быть произвольной функцией из , в то время, как цвет должен сохранять постоянное значение на каждом из заданных подмножеств A1,...,AN  поля зрения X, (см. Лемму 3).

            Так как 

то минимум S (19) по   достигается при

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5