Реферат: Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений

Реферат: Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений

Пытьев Ю.П.

Московский государственный университет, Москва, Россия

1. Введение

            Хорошо известно, что изображения одной и той же сцены, полученные при различных условиях освещения и(или) измененных[1] оптических свойствах объектов могут отличаться радикально. Это обстоятельство порождает значительные трудности в прикладных задачах анализа и интерпретации изображений реальных сцен, в которых решение должно не зависеть от условий регистрации изображений. Речь идет, например, о задачах выделения неизвестного объекта на фоне известной местности, известного объекта на произвольном фоне при неконтролируемых условиях освещения, о задаче совмещения изображенний одной и той же сцены, полученных в различных спектральных диапазонах и т.д.

            Методы морфологического анализа, разработанные более десяти лет тому назад, [1-5], для решения перечисленных задач, были в основном ориентированы для применения к черно-белым изображениям[2] и оказались достаточно эффективными, [5-11].

            Между тем, по меньшей мере два обстоятельства указывают на целесообразность разработки морфологических методов анализа цветных изображений. Во-первых, в задаче обнаружения и выделения объекта последний, как правило, прежде всего цветом отличается от фона. Во-вторых, описание формы изображения в терминах цвета позволит практически устранить эффект теней и влияние неопределенности в пространственном распределении интенсивности спектрально однородного освещения.

2. Цвет и яркость спектозонального изображения.

   Рассмотрим некоторые аспекты теории цвета так называемых многоспектральных (спектрозональных, [13]) изображений, аналогичной классической колориметрии [12]. Будем считать заданными n детекторов излучения со спектральными чувствительностями  j=1,2,...,n, где l(0,¥) - длина волны излучения. Их выходные сигналы, отвечающие потоку излучения со спектральной плотностью e(l)0, lÎ(0,¥), далее называемой излучением, образуют вектор , w(×)=. Определим суммарную спектральную чувствительность детекторов , lÎ(0,¥), и соответствующий суммарный сигнал  назовем яркостью излучения e(×). Вектор  назовем цветом излучения e(×). Если  цвет e(×) и само излучение назовем черным. Поскольку равенства  и  эквивалентны, равенство  имеет смысл и для черного цвета, причем в этом случае  - произвольный вектор, яркость оторого равна единице. Излучение e(×) назовем белым и его цвет обозначим  если отвечающие ему выходные сигналы всех детекторов одинаковы:

.

Векторы  , и   , , удобно считать элементами n-мерного линейного пространства . Векторы fe, соответствующие различным излучениям e(×), содержатся в  конусе .  Концы векторов  содержатся в множестве , где Ï - гиперплоскость .

            Далее предполагается, что всякое излучение  , где E - выпуклый конус излучений, содержащий вместе с любыми излучениями  все их выпуклые комбинации (смеси)  Поэтому векторы  в  образуют выпуклый конус , а векторы .

            Если то и их аддитивная смесь . Для нее

                  .                                             (1)

Отсюда следует

            Лемма 1. Яркость fe и цвет  je любой аддитивной смеси e(×) излучений e1(×),...,em(×), m=1,2,... определяются яркостями и цветами слагаемых.

            Подчеркнем, что равенство , означающее факт совпадения яркости и цвета излучений e(×) и , как правило, содержит сравнительно небольшую информацию об их относительном спектральном составе. Однако замена e(×) на  в любой аддитивной смеси излучений не изменит ни цвета, ни яркости последней.

            Далее предполагается, что вектор w(×) таков, что в E можно указать базовые излучения , для которых векторы , j=1,...,n, линейно независимы. Поскольку цвет таких излучений непременно отличен от черного, их яркости будем считать единичными, , j=1,...,n. В таком случае излучение  характеризуется лишь цветом , j=1,...,n.

            Для всякого излучения e(×) можно записать разложение

,                                                                      (1*)

в котором  - координаты  в базисе ,

или, в виде выходных сигналов детекторов излучения, - , где , , - выходной сигнал i-го детектора, отвечающий j-ому излучению ej(×), i, j=1,...,n. Матрица  - стохастическая, поскольку ее матричные элементы как яркости базовых излучений  неотрицательны и , j=1,...,n. При этом яркость  и вектор цвета , , j=1,...,n, (конец которого лежит в Ï) определяются координатами aj и цветами излучений , j=1,...,n, и не зависят непосредственно от спектрального состава излучения e(×).

            В ряде случаев белое излучение естественно определять исходя из базовых излучений, а не из выходных сигналов детекторов, считая белым всякое излучение, которому в (1*) отвечают равные координаты: .

            Заметим, что слагаемые в (1*), у которых aj<0,[3] физически интерпретируются как соответствующие излучениям, "помещенным" в левую часть равенства (1*) с коэффициентами -aj>0: . В такой форме равенство (1*) представляет “баланс излучений”.

            Определим в  скалярное произведение  и векторы , биортогонально сопряженные с : , i,j=1,...,n.

            Лемма 2. В разложении (1*) ,  j=1,...,n, . Яркость , где , причем вектор y ортогонален гиперплоскости Ï, так как , i,j=1,...,n.

            Что касается скалярного проиведения , то его естественно определять так, чтобы выходные сигналы детекторов  были координатами  fe в некотором ортонормированном базисе . В этом базисе конус . Заметим, что для любых векторов  и, тем более, для , [4].

            Пусть Х - поле зрения, например,  ограниченная область на плоскости R2, или на сетке ,  спектральная чувствительность j-го детектора излучения, расположенного  в точке  ;   - излучение, попадающее в точку . Изображением назовем векторнозначную функцию

                                                                           (2**)

            Точнее, пусть Х - поле зрения, (Х, С, m) - измеримое пространство Х с мерой m, C - s-алгебра подмножеств X. Цветное (спектрозональное) изображение определим равенством

   ,                                                                     (2)

в котором почти для всех , , - m-измеримые функции на поле зрения X, такие, что

 .

Цветные изображения образуют подкласс функций  лебеговского класса  функций . Класс цветных изображений обозначим LE,n.

            Впрочем, для упрощения терминологии далее любой элемент  называется цветным изображением, а условие

                                                                   (2*)

условием физичности изображений f(×).

            Если f(×) - цветное изображение (2), то , как нетрудно проверить, - черно-белое изображение [2], т.е. , . Изображение  , назовем черно-белым вариантом цветного изображения f(×), а цветное изображение , f(x)0, xÎX - цветом изображения f(×). В точках множества Â={xÎX: f(x)=0} черного цвета j(x), xÎÂ, - произвольные векторы из , удовлетворяющие условию: яркость j(x)=1. Черно-белым вариантом цветного изображения f(×) будем также называть цветное изображение b(×), имеющее в каждой точке Х ту же яркость, что и f(×), b(x)=f(x), xÎX, и белый цвет, b(x)=b(x)/b(x)=b, xÎX.

3. Форма цветного изображения.

            Понятие формы изображения призвано охарактеризовать форму изображенных объектов в терминах характерности изображений, инвариантных относительно определенного класса преобразований изображения, моделирующих меняющиеся условия его регистрации. Например, довольно часто может меняться освещение сцены, в частности, при практически неизменном спектральном составе может радикально изменяться распределение интенсивности освещения сцены. Такие изменения освещения в формуле (2**) выражаются преобразованием , в котором множитель k(x) модулирует яркость изображения  в каждой точке при неизменном распределении цвета. При этом в каждой точке у вектора f(x) может измениться длина, но направление останется неизменным.

            Нередко изменение распределения интенсивности освещения сопровождается значительным изменением и его спектрального состава, но - пространственно однородным, одним и тем же в пределах всей изображаемой сцены. Поскольку между спектром излучения e и цветом j нет взаимно однозначного соответствия, модель сопутствующего преобразования изображения f(x) в терминах преобразования его цвета j(×). Для этого определим отображение A(×):, ставящее в соответствие каждому вектору цвета подмножество поля зрения в точках которого изображение , имеет постоянный цвет .

            Пусть при рассматриваемом изменении освещения и, соответственно, ; предлагаемая модель преобразования изображения состоит в том, что цвет  преобразованного изображения должен быть также постоянным на каждом множестве A(j), хотя, вообще говоря, - другим, отличным от j. Характекрным в данном случае является тот факт, что равенство  влечет . Если  - самое детальное изображение сцены, то, вообще говоря, на различных множествах A(j¢) и A(j) цвет изображения  может оказаться одинаковым[5].

Как правило, следует учитывать непостоянство оптических характеристик сцены и т.д. Во всех случаях форма изображения должна быть инвариантна относительно преобразования из выделенного класса и, более того, должна определять изображение с точностью до произвольного преобразования из этого класса.

            Для определения понятия формы цветного изображения f(×) на   удобно ввести частичный порядок p , т.е. бинарное отношение, удовлетворяющее условиям: 1), 2) , , то , ; отношение p должно быть согласованным с определением цветного изображения (с условием физичности), а именно, , если . Отношение p интерпретируется аналогично тому, как это принято в черно-белой морфологии[2], а именно,  означает, что изображения f(×) и g(×) сравнимы по форме, причем форма  g(×)  не сложнее, чем форма f(×).      Если  и , то f(×) и g(×) назовем совпадающими по форме (изоморфными), f(×) ~ g(×). Например, если f(×) и g(×) - изображения одной и той же сцены, то g(×), грубо говоря, характеризует форму изображенных объектов не точнее (подробнее, детальнее), чем f (×), если .

            В рассматриваемом выше примере преобразования изображений , если между множествами A(j), и A¢(j¢), существует взаимно-однозначное соответствие, т.е., если существует функция , такая, что A¢(j¢(j))= A(j),, причем, если . В этом случае равенства  и  эквивалентны,  и  изоморфны и одинаково детально характеризуют сцену, хотя и в разных цветах.

            Если же  не взаимно однозначно, то A¢(j¢)=U A(j) и . В этом случае равенство  влечет  (но не эквивалентно) ,  передает, вообще говоря, не все детали сцены, представленные в .

            Пусть, скажем, g(×) - черно-белый вариант f(×), т.е. g(x)=f(x) и g(x)/g(x)=b, xÎX. Если преобразование  - следствие изменившихся условий регистрации изображения, то, естественно, . Аналогично, если f(×), g(×) - изображения одной и той же сцены, но в g(×), вследствие неисправности выходные сигналы некоторых датчиков равны нулю, то . Пусть  F - некоторая полугруппа преобразований , тогда для любого преобразования FÎF , поскольку, если некоторые детали формы объекта не отражены в изображении f(×), то они, тем более, не будут отражены в g(×).

            Формой  изображения f(×) назовем множество изображений , форма которых не сложнее, чем форма f`(×), и их пределов в (черта символизирует замыкание в ). Формой изображения f(×) в широком смысле назовем минимальное линейное подпространство , содержащее  . Если считать, что  для  любого изображения , то это будет означать, что отношение p непрерывно относительно сходимости в   в том смысле, что .

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5