Курсовая работа: Теорема Силова

Максимальная по вложению p-подгруппа конечной группы G называется силовской p-подгруппой группы G. Из доказанной теоремы вытекает в частности, что силовские p-подгруппы конечной группы, это в точности подгруппы порядка pt где pt – максимальная степень p делящий порядок группы.

Теорема 2.2.1. (вторая теорема Силова)

(Сопряженность) Все силовские p – подгруппы группы G сопряжены.

Доказательство. Пусть P – силовская подгруппа, если , где НОД(p,m)=1, то . Пусть, Δ как и раньше класс подгрупп, сопряженных с P элементами из G. Покажем, что если Q симметрическая p – подгруппа, то QÎΔ. Из теоремы 1.4.1. имеем

Δ=.

По теореме Лагранжа, получаем

ΔΔΔ, НОД(Δ,p), откуда Δ и, следовательно, разобьем Δ на подклассы подгрупп сопряженных между собой элементами из Q: Δ=Δ1È∆2…È∆k

Если подгруппа SÎΔi, то Δ, .

Следовательно,  Δ.

Отсюда так как НОД(Δ, то существует i такое что  и Δi={S}. Таким образом, Sq=S и, значит, . Тогда по предложению 1.5.5.  подгруппа группы G, . Применяя теорему 1.5.6 (об изоморфизме) получаем: . Откуда получаем . Следовательно, по теореме Лагранжа порядок G делиться , но t – максимальная степень числа p, поэтому α=0 и . Отсюда следует  и значит Q=S (так как ). И так Δ, что и требовалось доказать.

Теорема 2.2.2. (третья теорема Силова)

(Количество) Количество силовских p-подгрупп группы G сравнимо с 1 по модулю p и делит порядок G.

Доказательство. Пусть P – силовская p-подгруппа, Δ – класс всех подгрупп сопряженных с p элементами из G.

По теореме 2.2.1. (вторая теорема Силова) Δ совпадает с множеством всех силовских p-подгрупп так как

Δ, по теореме Лагранжа

Δ, то есть порядок G делиться на порядок Δ.

Разобьем Δ на подклассы подгрупп сопряженных между собой элементами из P: Δ={P}ÈΔ1È…ÈΔs, если подгруппа RÎΔ, то |Δ|=и, следовательно, |Δi|=, . Если  Δi={R} и . В силу предложения 1.5.5. получаем что RP=PR подгруппы группы G и .

Далее по теореме 1.5.6. (об изоморфизме) получаем , следовательно,  так как t – максимальная степень числа p, то n=0, отсюда следует . Противоречие с тем что , поэтому  и, следовательно, имеем:

|Δ|=, таким образом, порядок |Δ |=1 (mod p). Теорема доказана. ■

Теорема 2.2.3. Справедливо следующее утверждение:

i)  Силовская р-подгруппа Р группы G нормальна в G тогда и только тогда, когда она единственна.

ii)  Конечная группа G порядка  является прямым произведением своих силовских -подгрупп  в точности тогда, когда все эти подгруппы нормальны в G.

Доказательство: (i) Все силовские подгруппы, отвечающие данному простому делителю р порядка , по второй теореме Силова сопряжены. Условие единственности Р означает, что  для любого элемента  то есть .

(ii) Докажем вначале

Необходимость. Пусть , где  – силовские подгруппы группы G. Тогда в силу теоремы 1.4.5  нормальна в G как любой прямой множитель.

Достаточность. Пусть теперь  нормальна в G и , то есть каждая силовская подгруппа  единственна в G. Заметим, во первых, что если ,  ,  и, следовательно, x=e. Стало быть,  отсюда для любых ,  учитывая, что .

. С другой стороны, так как , то

, отсюда следует,  то есть элементы  и  перестановочны.

Пусть единичный элемент  записан в виде , где – элемент порядка . Обозначив  и воспользовавшись перестановочностью , получим

 (1)

Учитывая, что  – это порядок элемента . Из последнего равенства (1) получаем , так как  и  взаимно просто, то . Это верно при любом j, и, значит равенство  возможно лишь при .

С другой стороны каждый элемент  порядка ,  записывается в виде,

, , . (2)

Достаточно положить , где показатели определяются условиями

, .

Предположим теперь, что х допускает другую запись в виде произведения – элементов , то есть справедливо равенство .

Домножим обе части равенства справа на , получим

В силу перестановочности  и  будем иметь

как было показано выше, влечет равенства , то есть

Таким образом, каждый элемент группы G записывается и притом единственным образом в виде (2), то есть смотри  4 п. 2  ■

2.3 Описание групп порядка pq

Теорема Силова часто дает весьма существенную информацию о данной конечной группе, а группы не очень большие позволяет описать полностью.

Пусть , p и q простые числа.

1.  Рассмотрим первый случай, когда p=q, то есть порядок . Тогда по теореме 1.4.4. G – абелева.

2.  Пусть p и q по-прежнему простые числа, но  p<q.

Тогда в группе G по первой теореме Силова существует силовские подгруппы порядка p и q, которые по следствию 2. теоремы Лагранжа будут являться циклическими.

Пусть – силовские p- и q- подгруппы соответственно. По третьей теореме Силова число силовских q- подгрупп в G равно

 и делит pq. Откуда следует, что  и подгруппа – единственна. В силу теоремы 2.2.3. (i): . Аналогично число силовских p-подгрупп равно и делит pq. Здесь возможно два случая:  и .

а) Силовская – единственна, тогда она нормальна в G. Применяя туже теорему 2.2.3., но уже пункт (ii), получаем, что . По теореме 1.1.3. , следовательно,  таким образом, в этом случае . ■

в) 1+kp=q, то есть имеется q силовских p-подгрупп. Из условия 1+kp=q следует  или . В силу второй теоремы силова подгруппы  и  сопряжены. Пусть

                                                                               (1)

Если r=1, то  или ba=ab. Из последнего равенства следует, что  и значит, как и выше . Пусть  и r>1 тогда выясним, какое может быть r удовлетворяющее равенству (1). Из равенства (1) индукцией по x получаем , откуда

,                                                 (2)

для всех целых x, y.

При x=p, y=1 из равенства (2) будем иметь вид  так как , то получаем  или . Известно, что если элемент х группы G имеет порядок n, то  тогда и только тогда когда . Следовательно, , то есть  или .

Кроме того, из равенства (2) можно получить более общую формулу умножения. Домножим равенство (2) слева на ах:  далее полученное равенство домножаем слева az:  из полученного равенства умножаем, справа на элемент bt получаем

                                                          (3)

Обратно покажем, что если ,  и r не сравнимо с 1 по (mod q) то формула (3) определяет неабелеву группу порядка pq.

Таким образом с помощью теоремы Силова мы описали все возможные типы групп порядка pq, при условии, что p<q их оказалось два – абелев и неабелев, причем второй существует только при условии .

2.4 Примеры силовских подгрупп

Пример 1. Если порядок n аддитивной группы кольца вычетов ℤn имеет каноническое разложение , то, как в  3 ℤn разлагается в прямое произведение своих силовских p-подгрупп, которые являются циклическими подгруппами , то есть

.

Пример 2. Рассмотрим обще линейную группу над конечными полями GF(q) из q элементов. Напомним, что общей линейной группой GLn(q) называется группа всех обратимых матриц порядка n над полем GF(q). Унитриугольную подгруппу UTn(q) группы GLn(q) составляют все матрицы с нижним нулевым углом и единицами на главной диагонали.

Пусть – простое число, m, n – целые числа  и . Покажем, что UTn(q) – силовская р-подгруппа группы GLn(q). Для этого подсчитаем порядки этих групп.

Выясним, какие последовательности из n элементов поля GF(q) могут быть первой строкой невырожденной матрицы. Очевидно, любые кроме нулевой,  то есть всего таких последовательностей qn–1 штук. Если первая строка выбрана, то в качестве второй строки можно

взять любую не пропорциональную первой. Таких строк qn–q. Если две первые строки уже выбраны, то в качестве третьей можно взять любую строку, не зависящую линейно от первых двух, это даст qn-q2 возможностей и так далее. Значит

,

так как условные элементы матрицы из UTn(q) пробегают независимо друг от друга все поле, а всего условных мест С2n, то . Преобразуем выражение

.

Вынесем из второй скобки равенства – q, из третьей – q2 и из n – qn-1, получим

.

Учитывая, что  окончательно получаем,

.

В свою очередь так как, , но .

Теперь из сравнения порядков групп GLn(q) и UTn(q) видем, что UTn(q) силовская p-подгруппа в GLn(q).

Заключение

В процессе выполнения данной дипломной работы были выполнены все поставленные задачи, тем самым цель работы достигнута.

В первой главе были собраны вспомогательные понятия и теоремы, используемые в дипломной работе.

Во второй главе доказываются теоремы Силова и дается описание групп порядка pq.

Материалы данной дипломной работы могут быть использованы при чтении спецкурсов посвященных как теории групп вообще, так и отдельным её разделам.

Список литературы

1.  Варпаховский Ф.Л. и др. Алгебра. Группы, кольца, поля. Векторные и евклидовы пространства. Линейные отображения. – Учебное пособие. – М.: Просвещение, 1978 .

2. Каргополов М.И, Мерзляков Ю.И. Основы теории групп. – М.: Наука,

1982.

3. Кострикин А.И. Введение в алгебру. Часть I. Основы алгебры. – Учебник для вузов. – М.: Физико-математичекая литература, 2001.

4. Кострикин А.И. Введение в алгебру. Часть III. Основные структуры алгебры. – Учебник для вузов. – М.: Физико-математичекая литература,

2001.

5. Кострикин А.И. Сборник задач по алгебре. – Учебник для вузов. – М.: ФИЗМАЛИТ, 2001.

6. Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. – Учеб. пособие для педагогических институтов. – М.: Высш. школа, 1979.

7. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. – М.: Наука, 1965.

8. Курош А.Г. Теория групп. – М.: Гостехиздат, 1953.

9. Ларин С.В. Лекции по теории групп. – Красноярск, 1994.

10. Ленг С. Алгебра. – М.: Мир, 1968.

11. Ляпин Е.С. и др. Упражнения по теории групп. – М.: Наука, 1967.

12. Нечаев В.А Задачник–практикум по алгебре. – М.: Просвещение, 1983.

13. Фадеев Д.К. Лекции по алгебре. – Учебное пособие для вузов. – М.:

Наука, 1984.

14. Холл М. Теория групп. – М.: ИЛ, 1962.