Курсовая работа: Теорема Силова

Докажем, что c2=e. Действительно, очевидно, что c2≠ c, ac, a2c.

Если было бы c2=a (или c2=a2), то выполняется следующие c3=c2c=ac=d≠e, противоречие с условием, что все элементы группы G имеют либо второй или третий порядок (следовательно, c3=c2c=a2c=f≠e). Таким образом, ни c2, ни c3 не равно e, что противоречит условию. Значит c2=e.

Покажем также, что d2=f2=e, то есть c произвольный элемент не входящий в подгруппу , то d2≠a, a2(f2≠a, a2). Не сложно видеть, что d2=(ac)2≠c (иначе d=ac=b), d2=(ac)2≠ac, d2=(ac)2≠a2c=f (иначе f=a2c=b). Таким образом, d2=(ac)2=e и более того, a3=c2=(ac)(ac)=e.

Известно, что симметрическую группу подстановок S3,можно задать двумя образующими и тремя определяющими соотношениями. Следующим образом S3= где в качестве x можно взять подстановку , а в качестве y: .

Следовательно, мы можем утверждать, что . Таким образом, если G группа и , то G изоморфна либо ℤ6, либо S3.

Далее выпишем все элементы группы A4 и построим таблицу умножения элементов.

Все 4!=24 перестановки из четырёх символов 1, 2, 3, 4 расположим в таком порядке, чтобы каждая последующая перестановка получалась от предыдущей с помощью одной транспозиции (перемены мест двух символов).

Начнём с перестановки 1, 2, 3, 4. Итак,
.

Так как всякая транспозиция меняет четность перестановки, то в полученном ряду все перестановки, взятые через одну, являются четными (они подчеркнуты).

Теперь уже легко составить все искомые четные подстановки достаточно в каждой из них в качестве первой строки записать перестановку (1234), а в качестве второй строки одну из найденных четных перестановок. Итак,

A4=

.

Строим таблицу умножения.

Таблица 1

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5