Курсовая работа: Теорема Силова

Это отображение является сюрьективным, ибо G=AB. Более того, отображение φ является взаимно однозначным так как если ab=a1b1 при ,  то, как это мы показали, выше a1=a, b1=b и, следовательно,  таким образом φ – удовлетворяет всем свойствам изоморфного отображения групп. ■

Группу G, удовлетворяющую условиям теоремы 1.4.5 принято называть (внутренним) прямым произведением своих подгрупп A, B. Отличие от внешнего прямого произведения состоит в том, что G содержит в качестве прямых множителей сами группы A, B, а не просто их изоморфные копии , .

Последние определение прямого произведения (внутреннего). Можно заменить следующим ему эквивалентным. Группа G есть прямое произведение своих подгрупп , если

1)  Элементы из любых двух подгрупп Hi и Hj, , перестановочны между собой.

2)  Всякий элемент g и G однозначно записываются в виде произведения

где ,                                         

1.5 Теоремы о гомоморфизмах

Пусть G – группа и P – другая группа. Пусть каждому элементу aÎG сопоставлен некоторый элемент из S, то есть, дано отображение G и S. Отображение φ называется гомоморфным или гомоморфизмом G в S, если произведение элементов из G соответствует произведение их образов, то есть

φ(a1a2)=φ(a1)φ(a2), где φ(a) – образ aÎG при отображение φ.

Предложение 1.5.1. Гомоморфным образом φ(G) группы G является группой. Образом единицы группы G является единица образа, и взаимно обратным элементом G соответствуют взаимно обратные образы.

Доказательство. φ(ab)=φ(a)φ(b) означает, что произведение двух элементов из φ(G)Îφ(G). Ассоциативность следует из ассоциативности в G и S. Равенство φ(a)=φ(1a)=φ(1)φ(a) показывает, что φ(1) есть левая единица для φ(G). А φ(а–1)φ(а)=φ(а–1а)=φ(1) показывает, что φ(а–1) есть левый обратный элемент для φ(а) в φ(G). Это достаточно для заключения, что φ(G) есть группа (так как φ(а)=φ(а 1)=φ(а)φ(1) и φ(а)φ(а–1)=φ(аа–1)=φ(1)). ■

Гомоморфизм G в S, при котором различным элементам из G сопоставляется различные элементы в S.

Всякое изоморфное отображение группы G на себя называется автоморфизмом. Если в группе G выбран некоторый элемент а, то отображение, переводящее всякий элемент х этой группы в элемент

а–1ха, то есть трансформирование всей группы элементов а, будет автоморфизмом группы G. Действительно, из а–1ха=а–1ya следует x=y, то есть отображение взаимно однозначно. Равенство х=а–1(аха–1)а

показывает, что при этом отображении всякий элемент группы будет образом некоторого элемента. Из соотношения a–1xa· a–1ya=a–1(xy)a

следует изоморфизм рассматриваемого отображения. Такой автоморфизм группы G называется её внутренним автоморфизмом.

Пусть φ – гомоморфное отображение группы G на группу S. Множество всех элементов из G, имеющих один и тот же образ хÎS, называется полным прообразом элемента х и обозначается φ–1(х). Полный прообраз единицы группы S называется ядром гомоморфизма.

Предложение 1.5.2. Ядро гомоморфизма φ группы G на группу S является нормальной подгруппой группы G.

Доказательство. Введем обозначение H для ядра. Если aÎH, то

a–1ÎH, ибо

φ(a–1)=(φ(a))–1=1. Если aÎH и bÎH, то abÎH, ибо φ(ab)=φ(a)φ(b)=1·1=1. Наконец, если aÎH и cÎG, то c–1acÎH, ибо

φ(c–1ac)=φ(c)–1φ(a)φ(c)=φ(c)–11φ(c)=1. ■

Предложение 1.5.3. В условиях предложения 1.5.2. полные прообразы элементов из S является классами смежности по ядру гомоморфизма.

Доказательство. Если a и b принадлежат одному классу смежности по H, то b=za при zÎH, тогда φ(b)=φ(z)·φ(a)=1·φ(a)=φ(a). Обратно, если φ(a)=φ(b), то φ(ab-1)=1, так что ab-1ÎH, aÎHb и bÎHb. ■

Теорема 1.5.4. (первая теорема о гомоморфизме) Гомоморфный образ группы изоморфен её факторгруппе по ядру гомоморфизма.

Доказательство. Между образами при гомоморфизме и элементами факторгруппы имеется взаимно однозначное соответствие, в силу предложения 1.5.3. Оно сохраняется при умножении, ибо

φ((Ha)·(Hb))=φ(Ha)·φ(Hb).

Остается доказать любая ли нормальная подгруппа может быть принята за ядро гомоморфизма. Ответ положительный, так как отображение группы G на факторгруппу G/H по нормальной подгруппе H, заключающиеся в том, что каждому элементу группы G сопоставляется содержащий его класс смежности, есть гомоморфизм, и его ядро совпадает с H (это следует из определения умножение классов смежности как элементов факторгруппы). ■

Предложение 1.5.5. H и K подгруппы группы G и , тогда  является подгруппой группы ,  и .

Доказательство. Пусть  причем  тогда рассмотрим (hk)–1= k-1h-1 (по одному из основных свойств группы):

, причем , так как  поэтому,  таким образом, для каждого элемента  существует обратный .

Пусть , причем ,  тогда

 где  и поэтому , то есть условие замкнутости выполняется, таким образом, в силу предложения 1.1.1. можем считать, что HK является подгруппой группы G.

Кроме того, так как для любого  , то Hk=kH, следовательно, HK=KH. Далее для любого элемента  имеем . Откуда . ■

Теорема 1.5.6 (об изоморфизме). Пусть G – группа и H и K две его подгруппы. Причём  тогда  и .

Доказательство. Покажем что подгруппа  нормальна в K . Тогда для : , так как  и ,  и по условию , следовательно,  для любого k из K и значит . Кроме, того, по предыдущему предложению имеем HK=KH подгруппа группы G и .

Существует сюръективный гомоморфизм , сопоставленный каждому  смежный класс  группы  по подгруппе H. Несложно видеть  является ядром гомоморфизма, таким образом, по теореме 1.5.4. получаем:

. ■

Глава II. Теоремы Силова

2.1 Первая теорема Силова

Лемма 2.1.1. Пусть G конечная абелева группа порядка m и p –простое число, делящее m. Тогда G содержит подгруппу порядка p.

Для доказательства данного утверждения нам потребуется некоторые дополнительные понятия.

Пусть G – определена как и выше и a – некоторый элемент группы G натуральное число m такое, что am=e называется показателем элемента a. Среди показателей минимальным является порядок элемента a. ■

Лемма 2.1.2. Все показатели элемента делится на его порядок.

Доказательство. Пусть n – порядок элемента a, то есть an=e, m>0 другой показатель элемента. Тогда по теореме о деление с остатком получаем m=nq+r, 0≤r≤n-1 и am=anq+r=(an)q∙ar=e∙ar=ar, так как 0≤r≤n-1 то r может равняться только нулю и поэтому m=nq и, очевидно, m делится n. Лемма доказана. ■

Показатель группы G называется такое натуральное число m, что xm=e для любого xÎG. Порядок группы принадлежит и числу его показателей.

Теперь возвратимся к доказательству Леммы 2.1.1. По условию леммы порядок группы G делиться на p. Если n делиться p, то в силу доказанного выше, в G существует элемент x такой что  делиться на p. Пусть , sÎℤ, тогда xs≠e xps=(xs)p=e, то есть элемент xs имеет порядок p. И, следовательно, порожденная им циклическая подгруппа <x> тоже будет иметь порядок p. Лемма 2.1.1. доказана. ■

Теорема 2.1.3 ( первая теорема Силова). Пусть G – конечная группа порядка n, p – простое число. Тогда

a) (Существование) Для каждой степени pα (α≥1) делящий n, в G существует подгруппа порядка pα.

b) (Вложение) Если pα делит порядок G, то каждая подгруппа порядка

pα–1из G вложена в некоторую подгруппу порядка pα из G.

Доказательство. а) Доказательство проведем индукцией по n.

1.  При n=1 теорема очевидна (очевидна также теорема n=2, n=3).

2.  Предположим, что теорема верна для всех групп порядков меньше n.

Далее рассмотрим два случая:

(i)  Если Z центр группы G и порядок Z делиться на p. Тогда по лемме 2.1.1. так как Z – абелева группа и его порядок, делиться на p, то в Z существует подгруппа порядка p. То есть существует zÎZ такое, что , но любая подгруппа центра является нормальной подгруппой, следовательно . Рассмотрим фактор группу .

По теореме 1.2.1 (Лагранжа)  или

 и, следовательно, порядок  делиться на  поэтому по индукционному предположению в  существует подгруппа  порядка , тогда полный прообраз подгруппы , подгруппа P в группе G, по теореме 1.2.1. (Лагранжа) будем иметь порядок :  следовательно, P – искомая подгруппа. (i) – доказано.

(ii)  Порядок k центра Z не делиться на p, то есть НОД(k, p)=1, тогда разобьем G на классы сопряженных элементов. Класс одноэлементен если состоит из элементов центра. Пусть , тогда , где  – не одноэлементные классы сопряженных элементов обозначим . Следовательно,  так как по условию  и НОД(k, p)=1, то хотя бы одно из чисел  также должно быть взаимно просто с p.

По теореме 1.4.1. получаем, что если ,то мощность класса сопряженных с g элементов:

,

учитывая что  – взаимно просто с p по теореме Лагранжа получаем, что  делиться на рα по индукционному предложению так как порядок NG(g) меньше порядка G, то в NG(g) содержится подгруппа порядка pα. Вместе с (ii) доказано и а).

b) Пусть  и порядок . Обозначим Δ – класс подгрупп сопряженных с P элементами из группы G. Рассмотрим два случая.

(i)  Порядок Δ и P взаимно просты, то есть НОД(Δ,P)=1 по теореме 1.4.1. Δ= в силу теоремы Лагранжа, получаем:  и,  следовательно, Δотсюда следует, так как порядок G делится на ,  и НОД(Δ,)=1, то  поэтому по пункту а): существует подгруппа  группы , . Откуда получаем, что полный прообраз подгруппы подгруппа H имеет

pα-1·p=pα и .

(ii) 

(iii)  Порядок Δ делиться на p.

Пусть Δ={P}ÈΔ1È…ÈΔm, Δ – это разбиение на подклассы подгрупп сопряженных с P. Если порядок Δ=m+1, то

Δ=,

Δ=

(Обозначим Δ1 – подклассы подгрупп сопряженных с P1, Δ2 – подклассы подгрупп сопряженных с P2 и т. д.). Тогда если QiÎΔi, то

Δ= – по теореме 1.4.1. так как по теореме Лагранжа

, то Δi =pα, где 0≤α≤α-1.

Откуда Δ= и по условию порядок Δ делиться на p. Следовательно, должно существовать i – такое, что αi=0 и Δi=1, значит, в подклассе Δi лежит только одна подгруппа. Пусть Δi={Q}, тогда для любого pÎP: p–1Pp=Q то есть P нормализует Q и . Далее применяя предложение 1.5.5 получаем, что PQ подгруппа группы G, причем . Применяя теорему 1.5.6. (об изоморфизме) имеем . Отсюда по теореме Лагранжа следует . Учитывая, что Q сопряжено с P получаем: , где β >0 (так как если β=0, то  и, следовательно , что неверно).

Сейчас применим к подгруппе PQ внутренний, автоморфизм группы G, который пересекает подгруппу Q в Qg=P. Получаем, что образ подгруппы PQ при этом автоморфизме будет являться подгруппа.

,

причем P будет являться нормальной подгруппой группы P’P. Рассмотрим фактор группу P'P/P, , >0. Следовательно, P'P/P существует, по пункту а) подгруппа  порядка p. Тогда полный прообраз подгруппы  подгруппа H и будет являться искомой подгруппой порядка . Пункт b) теоремы доказан полностью. ■

2.2 Вторая и третья теорема Силова

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5