|
Курсовая работа: Теорема СиловаИз таблицы 1 видим, что элементами второго порядка будут:
и, кроме того, эти элементы попарно перестоновочны. Заметим, что в A4 нет элементов шестого порядка. Действительно, a1=a1a1a1=e элемент третьего порядка, a2=a2a2a2=e элемент третьего порядка, a3=a3a3a3=e элемент третьего порядка, a4=a4a4a4=e элемент третьего порядка, a6=a6 a6 a6=e элемент третьего порядка, a7=a7a7a7=e элемент третьего порядка, a10=a10a10a10=e элемент третьего порядка, a11=a11a11a11=e элемент третьего порядка. Из приведенных вычислений следует, что в группе A4 нет элемента шестого порядка. Следовательно, искомая подгруппа A4 не изоморфна циклической группе ℤ6. Заметим также, что в группе подстановок S3 существуют элементы второго порядка, но они не перестановочны. В самом деле, выпишем все элементы симметрической группы. S3=. Построим их таблицу умножения. Таблица 2
Несложно видеть, что элементы s1, s3, и s5 будут элементами второго порядка, но они как видно из таблицы 2 не перестановочны, и, следовательно, никакая подгруппа группы A4 не изоморфна группе S3. Утверждение доказано. 1.3 Нормальные подгруппы. Классы сопряженных элементов Если левостороннее разложение группы G по подгруппе H совпадает с правосторонним, то H называют нормальной подгруппой группы G (нормальный делитель, инвариантная подгруппа) и обозначается . Для любого элемента gÎG будет выполняться равенство Hg=gH , (1) то есть подгруппа H будет перестановочна с каждым элементом группы G. Пусть H – нормальная подгруппа G. Определим умножение смежных классов формулой: aH·bH=abH (2) Ясно, что условие (1) равносильно условию g–1Hg=H. Говорят, что элемент, а сопряжен с элементом b посредствам элемента g, если . Часто используют степенные обозначения . Теорема 1.3.1. Множество всех смежных классов группы G по нормальной подгруппе H относительно умножения (2) является группой, которая называется факторгруппой группы G по H и обозначается G/H. Доказательство. 1) Ассоциативность умножения классов вытекает из ассоциативности умножение элементов группы. Пусть g1, g2, g3 ÎG, тогда (g1H×g2H)·g3H = (g1g2)H·g3H = g1g2g3H = g1(g2g3)H= =g1H (g2g3)H = g1H·(g2H·g3H). 2) Единицей в G/H будет смежный класс eH=H, так как HaH=eH·aH=eaH=aH. Аналогично aH·H=aH. 3) (aH)–1=a–1H, так как aH·a–1H=(aa–1)H=eH=H. ■ Покажем, что отношение сопряжения на множестве является отношениями эквивалентности. Очевидно, что всякий элемент a сопряжен с самим собой, так как a=e–1ae. Кроме того, если элемент G сопряжен с элементом a, то есть b=g–1ag, то a=gbg–1. Следовательно, отношение сопряженности симметрично. Наконец, если b=g1–1ag1, c=g2–1bg2, то c=(g1g2)–1a(g1g2), то есть отношение сопряженности элементов транзитивно. Отсюда следует, что всякая группа G распадается на непересекающиеся множества сопряженных между собой элементов или, как говорят, на классы сопряженных элементов. ■ 1.4 Нормализатор множества в группе. Центр группып.1. В отличие от смежных классов. Классы сопряженных элементов не все равномощны. При вычисление их мощностей решающую роль играет понятие нормализатора. Пусть M – подмножество, H – подгруппа группы G. Нормализатором множества M в подгруппе H называется множество: NH(M)=, которое, как легко проверить, является подгруппой в H. Если не указано, в какой подгруппе H берется нормализатор, то это означает, что он берется во всей группе G. Очевидно, подгруппа тогда и только тогда нормальна в группе, когда её нормализатор совпадает со всей группой. Теорема 1.4.1. Если M – подмножество, H – подгруппа группы G, то мощность класса подмножеств, сопряженных с M элементами из H, равна индексу В частности, . Доказательство. Отобразим множества Mx, xÎH, на правые смежные классы группы H по подгруппе N=NH(M), полагая (Mx)φ=Nx для xÎH. Отображение φ однозначно, так как из Mx=My следует Nx=Ny. Отображение φ переводит разные элементы в разные , так как из Nx=Ny следует Mx=My. Наконец, φ – отображение на, так как каждое Nx имеет прообраз Mx. ■ Пусть M – подмножество, H – подгруппа группы G. Мы назвали нормализатором M в H совокупность тех элементов из H, которые перестановочны с множеством M в целом. Можно рассмотреть также множество тех элементов из H, которые перестановочны с M поэлементно, то есть CH(M)=. Это множество называется централизатором множества M в подгруппе H. Если M состоит из одного элемента, то, конечно, его нормализатор и централизатор в H совпадают. Если не указано, в какой подгруппе H берется централизатор, то это означает, что он берется во всей группе G. Централизатор всей группы G называется её центром и обозначается Z(G), Z(G)=. Очевидно, что группа тогда и только тогда абелева, если она совпадает со своим центром. Ясно, что единица е всегда лежит в центре. Если других центральных элементов группа не содержит, то она называется группа с тривиальным центром. Заметим ещё, что любая подгруппа центра нормальна в группе. Теорема 1.4.2. Пусть , где p – простое число. Тогда центр Z(G) группы G нетривиальный, то есть содержит неединичные элементы. Доказательство. Ранее было показано (см. 3), что любая группа G разбивается на не пересекающие классы сопряженных элементов. Среди классов будут одноэлементные образованные элементами центра, причем их число неравно нулю, так как единица е группы G образуют одноэлементный класс. Пусть число элементов центра равно t. Все элементы, не принадлежащие центру Z(G), порождают классы сопряженных элементов. Обозначим , классы сопряженных элементов содержащие более одного элемента. Число элементов в каждом таком классе есть индекс централизатора любого элемента класса (по теореме 1.4.1. учитывая, что нормализатор и централизатора одного элемента совпадают): . Следовательно, по теореме Лагранжа , где . Тогда , из этого равенства следует, что t делиться на p и так как , то таким образом централизатор Z(G) группы G нетривиален. ■ Далее докажем одно несложное утверждение которое понадобиться в дальнейшем. Предложение 1.4.3. Фактор группа некоммутативной группы G по её центру Z(G) не может быть циклической. Доказательство (от противного). Действительно, если G/Z(G) циклическая, то в смежном классе по Z являющимися образующим элементом этой циклической группы. Выберем некоторый элемент а. Подгруппа, порождающая этим элементом вместе с элементами из Z(G) совпадает со всей группой G. Из перестановочности между собой названных элементов следует коммутативность самой группы G –противоречие с условием. ■ Из доказанной выше теоремы 1.4.2 и предложения 1.4.3 вытекает следующее утверждение. Теорема 1.4.4. Любая группа G порядка p2, где p – простое число, коммутативна. Доказательство (от противного). Пусть G – не коммутативная группа, так как G является p-группой (конечная группа P является p-группой, если ), то её центр не единичен, то есть . Рассмотрим G/Z(G). Порядок G/Z(G) равен p по теореме Лагранжа, следовательно, G/Z(G) – циклическая (см. следствие 2 теоремы Лагранжа) – противоречие с предложением 1.4.3. Таким образом G – коммутативна. ■ п.2. Рассмотрим конструкцию, позволяющую по заданным группам строить новые группы. Одна из самых простых, но важных конструкций состоит в следующем. Пусть A, B – группы, легко проверить, что множество всех упорядоченных пар (a, b) где , с бинарной операцией является группой. Она называется прямым произведением (внешним) групп A и B. При аддитивной записи групп, естественно говорить о прямой сумме . Теорема 1.4.5. Пусть G – группа с нормальными подгруппами A и B. Если и AB=G, то . Доказательство. Из равенства AB=G следует, что любой элемент записывается в виде g=ab, где . Пусть ещё G=a1b1, . Тогда , и . Следовательно, и мы пришли к выводу, что запись однозначна. Далее, так как то коммутатор ; так как , то , то есть, получаем и, стало быть . Определим теперь отображение φ из . Полагая для любого . Проверим закон сохранения операции. Согласно выше сказанному: |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Рефераты бесплатно, реферат бесплатно, курсовые работы, реферат, доклады, рефераты, рефераты скачать, рефераты на тему, сочинения, курсовые, дипломы, научные работы и многое другое. |
||
При использовании материалов - ссылка на сайт обязательна. |