Развитие самостоятельности школьников при обучении математики

Отрезок, соединяющий точку окружности с ее центром. [Радиус.]

Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей

стороны. [Медиана.]

Два созвездия, по форме напоминающие ковш. [Большая Медведица и Малая

Медведица.]

Аппарат для подводного плавания. [Акваланг.]

Утверждение, требующее доказательства. [Теорема.]

График квадратичной функции. [Парабола.]

Цифровая оценка успехов. [Балл.]

Множество точек плоскости, равноудаленных от конца данного отрезка.

[Перпендикуляр, проведенный к середине данного отрезка.]

Угол, смежный с углом треугольника при данной вершине. [Внешний угол.]

Прямоугольник, у которого все стороны равны. [Квадрат.]

Мера веса драгоценных камней. [Карат.]

Часть круга, ограниченная дугой и ее хордой. [Сегмент.]

Направленный отрезок. [Вектор.]

Отношение противолежащего катета к гипотенузе. [Синус.]

Угол, меньший прямого. [Острый.]

Вопросы для второй команды

Отрезок, соединяющий любые две точки окружности. [Хорда.]

Утверждение, не вызывающее сомнений. [Аксиома.] Устройство для запуска

двигателя внутреннего сгорания. [Стартер.]

Вид местности, открывающийся с возвышенного места. [Панорама.]

Самая знаменитая звезда в созвездии Малой Медведицы. [Полярная.]

График линейной функции. [Прямая.] Множество точек пространства,

равноудаленных от данной точки. [Сфера.]

Кусок, часть чего-нибудь. [Осколок.] Сумма длин всех сторон

многоугольника. [Периметр.]

Ромб, у которого все углы прямые. [Квадрат.] Зажим для присоединения,

закрепления проводов. [Клемма.]

Самая большая хорда в круге. [Диаметр.] Простейшее геометрическое

понятие. [Точка.] Часть прямой, ограниченная с одной стороны. [Луч.]

Отношение прилежащего катета к гипотенузе. [Косинус.]

Игра «Счастливый случай»

Вопросы для первой команды

Результат сложения. [Сумма.]

Сколько цифр вы знаете? [Десять.]

Наименьшее трехзначное число. [100.]

Сотая часть числа. [Процент.]

Прибор для измерения углов. [Транспортир.]

Сколько сантиметров в метре? [Сто.]

Сколько секунд в минуте? [Шестьдесят.]

Результат деления. [Частное.]

Сколько лет в одном веке? [Сто.]

Наименьшее простое число. [2.]

Сколько нулей в записи числа миллион? [Шесть.]

Величина прямого угла. [90°.]

Когда произведение равно нулю? [Когда хотя бы один из множителей равен

0.]

График прямой пропорциональности. [Прямая, проходящая через начало

координат.]

Что больше: 2 м или 201 см? [201 см.]

Что меньше: [pic] или 0,5? [[pic]]

Радиус окружности 6 см. Диаметр? [12 см.]

Какую часть часа составляют 20 мин? [1/3.]

Сколько сантиметров составляет 1% метра? [1см.]

Корень уравнения |х| = —1. [Не существует.]

Вопросы для второй команды Результат вычитания. [Разность.]

На какое число нельзя делить? [На 0.]

Наибольшее двузначное число. [99.]

Прибор для построения окружности. [Циркуль.]

Сколько граммов в килограмме? [Тысяча.]

Сколько минут в часе? [Шестьдесят.]

Сколько часов в сутках? [Двадцать четыре.]

Результат умножения. [Произведение.]

Сколько дней в году? [365 или 366.1

Наименьшее натуральное число. [1.]

Сколько нулей в записи числа миллиард? [Девять.]

Величина развернутого угла. [180°.]

Когда частное равно нулю? [Когда делимое равно нулю.]

График обратной пропорциональности. [Гипербола.]

Что больше: 2 дм или 23 см? [23 см.]

4 Что меньше: 0,7 или [pic] [0,7.]

Диаметр окружности 8 м. Радиус? [4 м.]

Какую часть минуты составляют 15 сек? [1/4.]

Найдите 10% тонны. [100 кг.]

Корень уравнения |х| = —7. [Не существует.]

Игра «Третий лишний»

Командам поочередно демонстрируются названия различных объектов. Два

из них имеют какое-то общее свойство, а третий нет. Команды должны быстро

ответить, какой объект не обладает свойством, которое присуще двум другим.

Например:

гектар, сотка, метр;

ярд, тонна, центнер;

конус, квадрат, призма;

треугольник, прямоугольник, ромб;

прямая, отрезок, угол.

Игра «Что? Где? Когда?»

Вопросы

Индийцы называли его «сунья», арабские математики «сифр». Как мы

называем его сейчас? [Нуль.]

Именно этот учебник был первой в России энциклопедией математических

знаний. По нему учился М.В.Ломоносов, называвший его «вратами учености».

Именно в нем впервые на русском языке введены понятия «частное»,

«произведение», «делитель». Назовите учебник и его автора. [«Арифметика»

Л.Ф.Магницкого.]

Это название происходит от двух латинских слов «дважды» и «секу»,

буквально «рассекающая на две части». О чем идет речь? [О биссектрисе.]

Ее знакомство с математикой произошло в 8 лет, так как стены ее

комнаты были оклеены листами с записями лекций по математике профессора

Остроградского. Кто она? [С.В.Ковалевская.]

На могиле этого великого математика был установлен памятник с

изображением шара и описанного около него цилиндра. Почти спустя 200 лет по

этому чертежу нашли его могилу. Кто этот математик? [Архимед.]

В древности такого термина не было. Его ввел в XVII в. французский

математик Франсуа Виет, в переводе с латинского он означает «спица колеса».

Что это? [Радиус.]

В черном ящике лежит предмет, название которого произошло от

греческого слова, означающего в переводе «игральная кость». Термин ввели

пифагорейцы, а используется этот предмет в играх маленькими детьми. Что в

черном ящике? [Куб, кубик.]

Слово, которым обозначается эта фигура, в переводе с греческого

означает «натянутая тетива». Что это? [Гипотенуза.]

Точка, от которой в Венгрии отсчитывают расстояния, отмечена особо. В

этом месте в центре Будапешта стоит памятный знак. Кто или что было

удостоено таких почестей? [Нуль.]

Воины римского консула Марцелла были надолго задержаны у стен города

Сиракузы мощными машинами-катапультами. Их изобрел для защиты своего города

великий ученый Архимед. В черном ящике лежит еще одно изобретение Архимеда,

которое и поныне используется в быту. Что в черном ящике? [Винт Архимеда,

используется в мясорубке.]

Мы, в отличие от египтян, римлян и славян, пользуемся позиционной

системой счисления, в которой всего десять цифр и «ступеньки». Что это за

«ступеньки», перечислите их. [Это разряды, их всего три - единицы, десятки,

сотни.]

Математическая пьеса «Бесплатный обед»

(по мотивам рассказа Я.И.Пврвльмана)

Ведущий. Десять друзей, решив отпраздновать окончание средней школы в

ресторане, заспорили у стола о том, как усесться вокруг него.

Первый друг. Давайте сядем в алфавитном порядке, тогда никому не будет

обидно.

Второй. Нет, сядем по возрасту.

Третий. Нет, нет. Сядем по успеваемости.

Четвертый. Да ну, опять успеваемость, это вам не школа, да и надоело.

Пятый. Тогда я предлагаю сесть по росту, и никаких проблем.

Шестой. Устроим здесь физкультуру не так ли?

Седьмой. Придется тащить жребий.

Восьмой. Ну уж нет.

Девятый. По-моему уже обед остыл.

Десятый. Я сажусь, где придется, и вы, давайте за мной.

Появляется официант. Вы еще не расселись? Молодые друзья мои, оставьте

ваши пререкания. Сядьте за стол, как кому придется, и выслушайте меня.

Все сели как попало.

Официант. Пусть один из вас запишет, в каком порядке вы сейчас сидите.

Завтра вы снова явитесь сюда пообедать и разместитесь уже в ином порядке.

Послезавтра сядете опять по-иному и т.д., пока не перепробуете все

возможные размещения. Когда же придет черед вновь сесть так, как сидите вы

сегодня, тогда - обещаю торжественно — я начну ежедневно угощать вас всех

бесплатно самыми изысканными обедами.

Друзья почти хором. Вот здорово, будем каждый день обедать у вас.

Друзья сидят за столом, выходит вперед ведущий.

Ведущий. Друзьям не пришлось дождаться того дня, когда они стали

питаться бесплатно. И не потому, что официант не исполнил обещания, а

потому что число всех возможных размещений за столом чересчур велико. Оно

равняется ни мало, ни много — 3 628 800. Такое число дней составляет, как

нетрудно сосчитать, почти 10 000 лет! Вам может показаться невероятным,

чтобы 10 человек могли размещаться таким большим числом различных способов.

Проверьте расчет сами.

Возьмите любое трехзначное число. Допустим 475. Сколько еще можно

получить чисел путем перестановки цифр этого трехзначного числа?

Переставляя цифры, получим следующие числа: 475, 457, 745, 754, 547,

574. Всего 6 перестановок.

Добавим четвертую цифру: 4753. Сколько будет тогда перестановок?

4753, 4735, 4573, 4537, 4357, 4375, ...

Если каждую цифру поставить на первое место, то три другие дадут шесть

перестановок, значит, так как у нас всего четыре цифры, то всего получится

4-6=24 перестановки. То есть, когда взяли три цифры, перестановок получили

6, а когда взяли четыре цифры, перестановок оказалось 24. В первом случае

число перестановок равно 1(2(3=6, во втором 1(2(3(4=24. А в нашей сценке

число перестановок равно 1(2(3(4(5(6(7(8(9(10=3628800.

Математическая пьеса «Задача о чашах»

Много лет тому назад очень богатый шах объявил, что хочет разделить

наследство между своими детьми, а того, кто поможет ему в этом, он щедро

вознаградит.

Шах. В трех чашах хранил я жемчуг. Подарю я старшему сыну половину

жемчужин из первой чаши, среднему — одну треть из второй, а младшему только

четверть жемчужин из последней. Затем я подарю старшей дочери 4 лучшие

жемчужины из первой чаши, средней — 6 жемчужин из второй чаши, а младшей

дочери — две жемчужины из третьей чаши. И осталось у меня в первой чаше 38,

во второй — 12, а в третьей — 19 жемчужин. Сколько жемчужин у меня должно

быть в каждой чаше сначала? Хватит ли моего жемчуга для детей и меня?

Ведущий. И вот из разных стран пришли во дворец мудрецы. И первый

мудрец, поклонившись шаху, написал свое решение задачи.

Первый мудрец. Если в первой чаше, о великий шах, останется 38

жемчужин, а подаришь ты старшей дочери 4 жемчужины, то эти 42 жемчужины и

составят половину того, что хранится сейчас в чаше. Ведь вторую половину ты

подаришь старшему сыну? Значит, в первой чаше у тебя должно быть сейчас 84

жемчужины. Во второй чаше должно остаться 12 жемчужин, да 6 ты подаришь

другой дочери. Эти 18 жемчужин составят 2/3 того, что хранится во второй

чаше сейчас. Ведь 1/3 ты пожалуешь среднему сыну. Значит, во второй чаше

должно быть сейчас 27 жемчужин. Ну а в третьей чаше должно остаться 19

жемчужин, да две ты подаришь младшей дочери. Выходит, что 21 жемчужина -

это 3/4 содержимого третьей чаши. Ведь 1/4 ты отдаешь младшему сыну.

Значит, сейчас в третьей чаше должно быть 28 жемчужин.

Во время рассказа первый мудрец записывает решение на доске:

38+4=42 42:1/2=42(2=84, 12+6=18 18:2/3=18-3/2=27, 19+2=21

21:3/4=21(4/3=28.

Шах. Как же ты смог решить такую сложную задачу?

Первый мудрец. Мне помогла арифметика — наука о числах, их свойствах и

правилах вычисления. Это очень древняя наука, ей уже много тысяч лет.

Шах. Твое решение мне понятно, но оно длинное и утомило меня. А что

скажет другой мудрец?

Второй мудрец. О великий шах! Я обозначу число жемчужин в первой чаше

буквой х. Тогда старшему сыну ты подаришь [pic] жемчужин. Если из х вычесть

его половину, да еще 4 жемчужины, что ты подаришь старшей дочери, то

остаток нужно приравнять к 38. Вот какое уравнение я составил:

x-[pic]-4=38.

Решим его. [pic] = 42, а х в два раза больше, т.е. х = 84. Выходит,

что в первой чаше должно быть сейчас 84 жемчужины. А для второй чаши, если

количество жемчужин в ней обозначить через у, получим уравнение

y-[pic]-6=12

Решим его. [pic]у == 18, а теперь 18 разделим на 2 и умножим на 3.

Значит у = 27.

Рассуждая также, составляем уравнение для третьей

чаши:

z-[pic]-2=19, [pic]z =21, z =28.

Следовательно, в третьей чаше должно быть сейчас 28 жемчужин.

Шах. Твое решение мне тоже нравится. И ответы у вас одинаковые. Но

нельзя ли решить это все как-то покороче?

Тогда молча вышел третий мудрец и показал плакат, где написано

следующее:

х — ах — b = с.

Ответ: х= [pic].

Шах. А здесь я ничего не понимаю! И вообще один ответ, а у меня три

чаши!

Третий мудрец. Все три ответа уместились в одном, о великий шах! Ведь

задачи про чаши совершенно одинаковые, лишь числа разные. Я и объединил три

решения в одном, обозначив через х неизвестное число жемчужин, через а -

часть жемчужин, подаренных сыну, через b - число жемчужин, отданных дочери,

а через с — число оставшихся в чаше жемчужин. Теперь можно подставлять

вместо этих букв числа, которые ты задашь в своей задаче, и будут

получаться правильные ответы. Будь у тебя 100 чаш, 100 сыновей, 100

дочерей, одного моего уравнения хватит, чтобы получить все ответы.

Шах. Да, твое решение, оказывается, самое удобное. Как же ты придумал

его?

Третий мудрец. Мне помогла решить эту задачу алгебра, как и второму

мудрецу. В этой науке буквы используются наравне с числами. Под буквой

можно разуметь любое число. Алгебра дает самое короткое, самое общее

решение для многих похожих друг на друга задач.

Игра «Аукцион»

На торги выносятся задания по какой-либо теме, причем учитель заранее

договаривается с ребятами о теме игры. Пусть, например, это будет тема VIII

класса «Действия с алгебраическими дробями».

В игре участвуют 4—5 команд. С помощью кодоскопа на экран проецируется

лот № 1 — пять заданий на сокращение дробей. Первая команда выбирает

задание и назначает ему цену от 1 до 5 баллов. Если цена этой команды выше

тех, что дают другие, она получает это задание и выполняет его. Остальные

задания должны купить другие команды. Если задание решено верно, команде

начисляются баллы — цена этого задания, если неверно, то эти баллы (или

часть их) снимаются. Хочу обратить внимание на одно из достоинств этой

простой игры: при выборе примера учащиеся сравнивают все пять примеров и

мысленно «прокручивают» в голове ход их решения.

Игра «Игрекс»

Эту игру можно проводить по любой теме на уроке или как внеклассное

мероприятие. В классе или в коридоре ставят столы, над которыми написаны

плакаты:

фирма «Поиск», «Бюро добрых услуг», «Школбанк», магазин «Сладкоежка».

Во всех фирмах работают старшеклассники. В игре может участвовать от 3 до 8

команд. Все команды зачисляются в фирму «Поиск» и получают одну или

несколько задач первого уровня, причем каждая задача оценена в 500 игрексов

(игреке — денежная единица, которую придумали ребята для этой игры). Решив

задачи, команда сдает свою работу снова в фирму «Поиск». Руководители фирмы

проверяют работы и оценивают их. На основании этих оценок банк выдает

заработанные командой деньги. Банк также ведет размен денег и выдает

кредит. Получив причитающееся число игрексов за задания первого уровня,

команда приступает к задачам второго уровня и т.д. Если задача не

получается, команда обращается за консультацией в «Бюро добрых услуг»,

заплатив при этом 10% стоимости задачи. Выигрывает та команда, которая

заработает больше игрексов. В конце игры все команды покупают в магазине

«Сладкоежка» на свои игрексы настоящие конфеты.

Приложение 4

Приведем примеры.

1. В IX классе на занятии математического кружка было предложено найти

способ (путь) решения задачи: «Найти уравнение прямой, параллельной прямой

у=2х—3 и проходящей через точку К(—3; 2).

Известная из аналитической геометрии формула у—у0=k(х—х0) учащимся не

сообщалась. Они самостоятельно должны были отыскать путь решения

предложенной задачи.

Решение.

Способ 1. Ученик предложил на прямой у=2х—3 рассмотреть любую точку,

например А (0; —3). Затем в формулах параллельного переноса х'=х+а, у'=у+b

подобрать параметры а и b так, чтобы точка A перешла в точку К. Это будет

перенос: х'=х—3, у'=у+5. Прямую у=2х—3 подвергнем найденному параллельному

переносу: x = x'+3; y = у'— 5;

у'— 5=2 (x'+ 3)—3; у'—5= 2x'+6—3; y'==2x'+8. После отбрасывания штрихов

при переменных получим ответ: y =2x+8.

Способ 2. Ученик предложил воспользоваться известным фактом, что в

уравнениях параллельных прямых угловые коэффициенты равны. Поэтому искомое

уравнение будет вида у=2х+b. Последнему удовлетворяют координаты точки K,

поэтому 2=2((-3)+b, b=8.

Ответ: y==2x+8.

2. В стенгазете математического кружка IX класса было предложено

самостоятельно найти способы решения задачи: «Вычислить расстояние от точки

M (3; 2) до прямой Зх+4y+1=0».

Ученики нашли различные способы решения.

Способ 1. Воспользоваться готовой формулой, найденной учеником в учебнике

по аналитической геометрии для втузов:

[pic]

где Ах+Ву+С=0 — уравнение прямой, a x0 и у0 — координаты заданной точки.

Способ 2. На прямой Зх - 4y + 1 = 0 способом подбора найти две точки,

например A (1; 1) и В (—3; —2). В треугольнике АВМ вычислить длины сторон и

по формуле Герона площадь. Затем найти высоту, проведенную к стороне АВ.

Это и будет искомое расстояние.

Способ 3. Найти уравнение прямой, проходящей через точку М

перпендикулярно данной прямой. Затем вычислить координаты х0 и у0 точки

пересечения этих прямых. Расстояние от точки (3; 2) до точки

(x0; у0) и будет искомым.

Приложение 5

Приведем темы некоторых обзоров.

Тема 1. Координаты и задание фигур на плоскости (IX кл.).

Литература.

1) Гельфанд И. М., Глаголева Е. Г., Кириллов А. А. Метод

координат.— М.: Наука, 1971.

2) Понтрягин Л. С. Знакомство с высшей математикой:

Метод координат.— М.: Наука, 1977.

Тема 2. Задачи на максимум и минимум (X кл.).

Литера т у р а.

1) Нагибин Ф. Ф. Экстремумы.— М.:

Просвещение, 1966.

2) Б е л я е в а Э. С., Монахов В. М. Экстремальные задачи.— М.:

Просвещение, 1977.

Тема 3. Применение математики при решении нематематических

задач (XI кл.).

Литература. 1) Маковецкий П. В. Смотри в корень! — М.: Наука,

1984.

2) Попов Ю. П., Пухначев Ю.В. Математика в образах.— М.: Знание,

1989.

3) Тихонов А. Н., Костомаров Д. П. Рассказы о прикладной

математике.— М.: Наука, 1979.

Приложение 6

1. Между морскими портами А и В регулярно курсируют теплоходы одного и

того же номерного рейса, отправляясь ежедневно в полдень из одного порта и

прибывая ровно в полдень через 7 суток в другой порт. Стоянка в порту —

сутки. Сколько теплоходов своего рейса встретит команда одного из них на

пути от Л до В? Каково наименьшее число теплоходов, необходимых для

бесперебойного обеспечения расписания движений?

2. Найти геометрическое место середин всех хорд окружности, проходящих

через заданную внутри ее точку.

3. Найти геометрическое место оснований перпендикуляров, опущенных из

данной точки М на прямые, проходящие через точку К.

4. Механизм представляет собой равнобедренный треугольник СОК, в

котором равные стороны ОС и ОК являются упругими (несжимаемыми и

нерастяжимыми) стержнями, а сторона КС — резиновый (равномерно растяжимый)

шнур. Какую линию опишет середина стороны КС, если сторону ОК оставить

неподвижной, а сторону ОС вращать вокруг точки О?

Список литературы

1. Под ред. Ю.К. Бабанского. Выбор методов обучения в средней школе. М.,

1981.

2. Бабанский Ю.К. Рациональная организация деятельности учащихся. М.:

Знание 1981г. (Серия «Педагогика и психология»; №3 1981г.)

3. Айзенберг М.И. Обучение учащихся методам самостоятельной работы.

Математика в школе. 1982 №6.

4. Кулько Б.А., Цехместрова Т.Д. Формирование у учащихся умений учиться:

пособие для учителей. – М.: Просвещение, 1989 г.

5. Минскин Е.М. От игры к знаниям. – М.: Просвещение, 1987 г.

6. Сефибеков С.Р. Внеклассная работа по математике. – М.: Просвещение,

1988 г.

7. Пичурин Л.Ф. Воспитание учащихся при обучении математике: книга для

учителя. – М.: Просвещение, 1987 г.

8. Самостоятельная деятельность учащихся при обучении математике

(Формирование умений самостоятельной работы): Сборник статей,

составитель Демидова С.И. – М.: Просвещение, 1990 г.

9. Степанов В.Д. Внеурочная работа по математике в средней школе. – М.:

Просвещение, 1991 г.

10. Веселая математика. Журнал «Математика в школе №6, 1999 г.»

Страницы: 1, 2, 3