Реферат: Решение уравнений в целых числах

, , ,

где  нечетно. Но для того чтобы  и  были целыми числами, необходимо, чтобы  было четным. Полагая  и , мы получим окончательно общие формулы, дающие все решения уравнения (19) в целых положительных без общего делителя, большего 1, числах, , :

                                           , , ,                                    (19')

где  и  положительны, взаимно просты и  нечетно. При этих условиях величины  и  выбираются произвольно, но так, чтобы  было положительно. Формулы (19') действительно дают все решения в целых положительных и взаимно простых числах , , , так как, с одной стороны, мы доказали, что , ,  в этом случае должны представляться по формулам (19'), а с другой стороны, если мы зададим числа  и , удовлетворяющие нашим условиям, то , ,  будут действительно взаимно просты и будут решением уравнения (19).

4. ОБЩИЙ СЛУЧАЙ УРАВНЕНИЯ ВТОРОЙ СТЕПЕНИ С ДВУМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ

В этом пункте мы докажем, что при любом целом положительном  и иррациональном  уравнение

                                                                                                                             (20)

всегда имеет нетривиальное решение, другими словами существует пара целых чисел и ; , которая ему удовлетворяет. Прежде всего, укажем прием, позволяющий разложить в цепную дробь произвольное положительное число. Пусть  - любое положительное число. Тогда всегда существует целое число, которое будет меньше или равно  и больше . Такое целое число носит название целой части  и обозначается . Разность между  и его целой частью называется дробной частью числа  и обозначается . Из определений целой части и дробной части числа  непосредственно следует соотношение между ними, именно:

или

                                                                  .                                                          (21)

Так как дробная часть числа есть разность между положительным числом и наибольшим целым числом, его не превосходящим, то дробная часть числа всегда меньше единицы и неотрицательна. Например, целая часть  есть 5, а дробная его часть есть , целая часть  есть 1, а дробная часть равна ; целая часть  равна 3, а дробная часть равна , и т. д.

Введенное нами определение целой части и дробной части положительного числа  может быть использовано для разложения этого числа в цепную дробь. Положим:

, .

Тогда

.

Так как  всегда меньше единицы, то  всегда больше единицы. Если бы  было само целым числом, то его дробная часть равнялась бы нулю,  было бы равно бесконечности и мы имели бы равенство . Отвлекаясь от этого частного случая, который исключается тем, что мы разлагаем в непрерывную дробь иррациональное число, мы можем утверждать, что  - положительное число, большее единицы. С этим числом  мы поступаем так же, как и с , и пишем равенство

, ,

Продолжая этот процесс, мы получаем ряд равенств:

                                                                                                      (24)

Этот процесс последовательного образования целых чисел , ,,,, в случае, когда , - рациональное число, - другими словами, когда , где  и  - целые положительные числа, - как нетрудно заметить, ничем не отличается по своим результатам от получения неполных частных с помощью алгоритма Евклида (см. формулу (6)). Он должен поэтому оборваться при  рациональном. При  иррациональном этот процесс должен быть бесконечным. Действительно, если бы при каком-нибудь  было целым числом, то- отсюда следовало бы, что было бы рациональным, что в свою очередь влекло бы за собой рациональность  и т. д. и, наконец, рациональность . Из формул (23), делая последовательные замены, исключая ,,, мы получим цепную дробь

(24)

которую, так как  можно взять сколь угодно большим, можно записывать и в форме бесконечной цепной дроби

Т е о р е м а III. При любом целом положительном  и иррациональном  уравнение (20)

имеет нетривиальное решение, , .

Рассмотрим уравнение общего вида,

                                                                                                                           (25)

где  - целое,  - целое число,  - иррациональное число. При  это уравнение всегда имеет бесчисленное множество решений в целых числах  и . При произвольных  и  такое уравнение может вообще не иметь решений.

П р и м е р. Покажем, что уравнение

                                                                                                                           (26)

вообще не разрешимо в целых числах  и . Заметим, прежде всего, что квадрат нечетного числа при Делений на 8 всегда дает в остатке 1. Действительно, так как всякое нечетное число а может быть записано в форме , где  - целое число, то

                              ,                        (27)

где  - целое число в силу того, что или , или  должно быть четным числом. Далее, если  - решение уравнения (27),. то  и  не могут быть числами одинаковой четности. Если бы  и  были одновременно четными или нечетными, то  было бы четным числом и не могло быть равно 1. Если же  нечетно, а  четно, то при делении на  давало бы в остатке 1,  делилось бы на 4 и  при делении на 4 давало бы в остатке 1. Это невозможно, так как при делении на 4 правая часть тривиально дает в остатке  или . Наконец, если  четно, а  нечетно, то  делится на 4,  на основании (26) может быть записано в форме

и, значит, при делении на 4 дает в остатке 1. Поэтому  при делении на 4 должно опять давать в остатке 1, что, как мы уже видели, невозможно. Поэтому не существует целых чисел  и , которые могли бы удовлетворять уравнению (26).

Не останавливаясь на вопросе, при каких условиях, наложенных на и , уравнение (25) будет иметь решение, - вопросе трудном и разрешимом с помощью общей теории квадратических иррациональностей в алгебраической теории чисел, - мы остановимся на случае, когда уравнение (25) имеет нетривиальные решения. По-прежнему нетривиальным решением мы будем называть решение , если . Итак, пусть уравнение (25) имеет нетривиальное решение ; другими словами, пусть

                                                                                                                         (28)

Рассмотрим при том же  уравнение

                                                                                                                             (29)

Это уравнение имеет бесчисленное множество решений в целых числах при  и иррациональном , и любое такое его решение  будет:

, ,

Так как  решение уравнения (29)

.

Равенство (28) в свою очередь может быть переписано в форме

.

Перемножая почленно эти два последних равенства, мы получаем

                                                                                    (30)

Но

и совершенно так же

.

Воспользовавшись этими двумя равенствами, мы можем переписать равенство (30) в форме

или в форме

.

Этим мы доказали, что если  - решение уравнения (25), то этому уравнению будет удовлетворять и пара чисел :

                                                      , ,                                            (31)

где  - любое решение уравнения (29). Таким образом, мы доказали, что если уравнение (25) имеет хотя бы одно решение, то оно имеет их бесчисленное множество.

Нельзя, конечно, утверждать, что формулами (31) даются все решения уравнения (25). В теории алгебраических чисел доказывается, что все решения уравнения (25) в целых числах можно получить, взяв некоторое конечное и определенное зависящее от  и  число решений этого уравнения и размножив их с помощью формул (31). Уравнение (25) при А отрицательном или равном квадрату целого числа может иметь не более конечного числа решений. Решение самых общих уравнений второй степени с двумя неизвестными в целых числах, уравнений вида

                                                                                        (32)

где числа А, В, С, D, Е и F - целые, сводится с помощью замен переменных к решению уравнений вида (25) с положительным или отрицательным А. Поэтому характер поведения решений, если они существуют, такой же, как и у уравнения типа (25). Подводя итог всему изложенному, мы можем теперь сказать, что уравнение второй степени с двумя неизвестными типа (32) может не иметь решений в целых числах, может иметь их только в конечном числе и, наконец, может иметь бесконечное множество таких решений, причем эти решения берутся тогда из конечного числа обобщенных геометрических прогрессий, даваемых формулами (31).

ПРОГРАММА №1 (УРАВНЕНИЯ С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ)

n – степень многочлена;

a – коэффициент при x;

c – свободный член уравнения;

d – делитель свободного члена;

w – вспомогательная переменная

для возведения d в степень

аргумента;

x – сумма возведенных d

в степень аргумента

умноженных на a

program matan_1;

uses crt;

var i,n,c,j,k,x,w,q,p:integer; a,d:array[1..100] of integer;

BEGIN

writeln ('введите степень многочлена');

readln (n);

for i:=1 to n+1 do begin

if i=n+1 then begin writeln ('введите свободный коэффициент');

read (c);end;

if i<>n+1 then begin Writeln ('введите коэффициент при x^',n-i+1);

readln (a[i]); end;end;

w:=1;

for j:=1 to c do begin

    if c/j= (c div j) then begin d[j]:=-j;

    k:=n;

         for i:=1 to n do begin

              for q:=1 to k do

              w:=w*d[j];

              x:=x+w*a[i];

              k:=k-1;w:=1;end;

    if x+c=0 then begin p:=p+1;

writeln('целый корень уравнения =',d[j]);end;

end; x:=0;end;

for j:=1 to c do begin

    if c/j= (c div j) then begin d[j]:=j;

    k:=n;

         for i:=1 to n do begin

              for q:=1 to k do

              w:=w*d[j];

              x:=x+w*a[i];

              k:=k-1;w:=1;end;

    if x+c=0 then begin p:=p+1;

writeln('целый корень уравнения =',d[j]);end;

end; x:=0;end;

if p=0 then writeln ('данное уравнение в целых числах неразрешимо');

readln;readln;

END.

ПРОГРАММА №2 (Уравнения первой степени с двумя неизвестными)

program matan_2;

var p,q,t,n,i,k,x,y,w,r,s,d:integer; a,b,c:array[1..1000]of integer;

BEGIN

writeln('вв. при х'); readln(p);

writeln('вв. при y'); readln(q);

writeln('вв. c'); readln(t);

if p<0 then x:=-p else x:=p; if q<0 then y:=-q else y:=q;

n:=0;n:=0;k:=1;

for i:=1 to 10 do begin

if k<>0 then begin n:=n+1;

   for i:=n to n do begin

       a[i]:=x; b[i]:=y;

       c[i]:=x div y;

       x:=x-c[i]*y;

       k:=k+1;n:=0;r:=r+1;

     if (x<y) and (x<>1) then begin w:=y; y:=x; x:=w;end else k:=0;

   end;

end;end;

x:=p;y:=q;

for i:=1 to r do begin

a[i]:=x; b[i]:=y;

       c[i]:=x div y;

       x:=x-c[i]*y;a[i]:=1;b[i]:=1;

      if (x<y) and (x<>1) then begin w:=y; y:=x; x:=w;end;

end;

for i:=r downto 1 do begin

b[r]:=0;

b[i]:=c[i]*b[i]+a[i];

if i>1 then b[i-1]:=b[i];

if i>2 then a[i-2]:=b[i-1];

end;

if (p*b[1]+q*a[1]+t)=0 then begin

writeln('корни уравнения x=',b[1],'y=',a[1]);

writeln ('все его решения будут содержаться в прогрессиях');

writeln('x=',b[1],'+',q,'*','t');

writeln('y=',a[1],'+',p,'*','t');end;

readln;

END.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Сравнивая поведение и характер решений уравнений второй степени с двумя неизвестными в целых числах с поведением решений уравнений первой степени, мы можем установить одно весьма существенное обстоятельство. Именно, если решения уравнения первой степени, когда они существуют, образуют арифметические прогрессии, то решения уравнения второй степени, когда их имеется бесконечно много, берутся из конечного числа обобщенных геометрических прогрессий. Другими словами, в случае второй степени пары целых чисел, которые могут быть решениями уравнения, встречаются значительно реже, чем пары целых чисел, которые могут быть решениями уравнения первой степени. Это обстоятельство не случайно. Оказывается, что уравнения с двумя неизвестными степени выше второй, вообще говоря, могут иметь только конечное число решений. Исключения из этого правила крайне редки.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:

1. Гельфонд А.О. Решение уравнений в целых числах. -4-е изд. –

М.: Наука, 1983. – 64 с. – (Популярные лекции по математике).