Реферат: Решение уравнений в целых числах

Реферат: Решение уравнений в целых числах

СОДЕРЖАНИЕ:

ВВЕДЕНИЕ

Мой курсовой проект посвящен одному из наиболее интересных разделов теории чисел - решению уравнений в целых числах.

Решение в целых числах алгебраических уравнений с целыми коэффициентами более чем с одним неизвестным представляет собой одну из труднейших проблем теории чисел.

Проблема решения уравнений в целых числах решена до конца только для уравнений второй степени с двумя неизвестными. Отметим, что для уравнений любой степени с одним неизвестным она не представляет сколько-нибудь существенного интереса, так как эта задача может быть решена с помощью конечного числа проб. Для уравнений выше второй степени с двумя или более неизвестными весьма трудна не только задача нахождения всех решений в целых числах, но даже и более простая задача установления существования конечного или бесконечного множества таких решений.

В своем проекте я постаралась изложить некоторые основные результаты, полученные в теории; решения уравнений в целых числах. Теоремы, формулируемые в нем, снабжены доказательствами в тех случаях, когда эти доказательства достаточно просты.

1. УРАВНЕНИЯ С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ

Рассмотрим уравнение первой степени с одним неизвестным

Пусть коэффициенты уравнения  и  - целые числа. Ясно, что решение этого уравнения

будет целым числом только в том случае, когда  нацело делится на . Таким образом, уравнение (1) не всегда разрешимо в целых числах; так, например, из двух уравнений  и  первое имеет целое решение , а второе в целых числах неразрешимо.

С тем же обстоятельством мы встречаемся и в случае уравнений, степень которых выше первой: квадратное уравнение  имеет целые решения , ; уравнение  в целых числах неразрешимо, так как его корни ,иррациональны.

Вопрос о нахождении целых корней уравнения n-ой степени с целыми коэффициентами

решается легко. Действительно, пусть  - целый корень этого уравнения. Тогда

Из последнего равенства видно, что  делится  без остатка; следовательно, каждый целый корень уравнения (2) является делителем свободного члена уравнения. Для нахождения целых решений уравнения надо выбрать те из делителей , которые при подстановке в уравнение обращают его в тождество. Так, например, из чисел 1, -1, 2 и -2, представляющих собой все делители свободного члена уравнения

только -1 является корнем. Следовательно это уравнение, имеет единственный целый корень . Тем же методом легко показать, что уравнение

в целых числах неразрешимо.

Значительно больший интерес представляет решение в целых числах уравнении с многими неизвестными.

2. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ С ДВУМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ

Рассмотрим уравнение первой степени с двумя неизвестными

где  и  - целые числа, отличные от нуля, а  - произвольное целое. Будем считать, что коэффициенты  и  не имеют общих делителей, кроме единицы. Действительно, если общий наибольший делитель этих коэффициентов  отличен от единицы, то справедливы равенства , ; уравнение (3) принимает вид

и может иметь целые решения только в том случае, когда  делится на . Таким образом, в случае  - все коэффициенты уравнения (3) должны делиться нацело на , и, сокращая (3) на , придем к уравнению

коэффициенты которого  и  взаимно просты.

Рассмотрим сначала случай, когда . Уравнение (3) перепишется так:

Решая это уравнение относительно, получим

Ясно, что  будет принимать целые значения в том и только в том случае, когда  делится на  без остатка. Но всякое целое , кратное , можно записать в виде

где  принимает произвольные целые значения . Подставим это значение  в предыдущее уравнение, тогда

и мы получаем формулы, содержащие все целые решения уравнения (3'):

Перейдем теперь к случаю .

Покажем, прежде всего, что для нахождения всех целых решений уравнения (3) достаточно найти какое-нибудь одно его решение, т. е. найти такие целые числа, , для которых

Т е о р е м а I. Пусть а и b взаимно просты и  - какое-нибудь решение уравнения

Тогда формулы

при  дают все решения уравнения (3).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть  - произвольное решение уравнения (3). Тогда из равенств

получаем

Так как  - целое число и числа  и  взаимно просты, то  должно нацело делиться на , т. е.  имеет вид

где  - целое. Но тогда

и получаем

Таким образом доказано, что всякое решение  имеет вид (4). Остается еще проверить, что всякая пара чисел , получаемая по формулам (4) при целом , будет решением уравнения (3). Чтобы провести та кую проверку, подставим величины ,  в левую часть уравнения (3):

но так как  -решение, то  и, следовательно, , т.е.  - решение уравнения (3), чем теорема полностью доказана.

Итак, если известно одно решение уравнения , то все остальные решения найдутся из арифметических прогрессий, общие члены которых имеют вид:

,        .

3аметим, что в случае, когда , найденные раньше формулы решений

могут быть получены из только что выведенных формул , , если выбрать , что можно сделать, так как значения ,  являются, очевидно, решением уравнения

Как же найти какое-нибудь одно решение  уравнения (3) в общем случае, когда . Начнем с примера.

Пусть дано уравнение

Преобразуем отношение коэффициентов при неизвестных.

Прежде всего, выделим целую часть неправильной дроби ;        

Правильную дробь  заменим равной ей дробью .

Тогда получим . Проделаем такие же преобразования с полученной в знаменателе неправильной дробью .

Теперь исходная дробь примет вид:

Повторяя те же рассуждения для дроби  получим .

Выделяя целую часть неправильной дроби, придем к окончательному результату:

Мы получили выражение, которое называется конечной цепной или непрерывной дробью. Отбросив последнее звено этой цепной дроби - одну пятую, превратим получающуюся при этом новую цепную дробь в простую и вычтем ее из исходной дроби :

,   .

Приведем полученное выражение к общему знаменателю и отбросим его, тогда

.

Из сопоставления полученного равенства с уравнением  следует, что ,  будет решением этого уравнения и согласно теореме все его решения будут содержаться в прогрессиях ,         .

Полученный результат наводит на мысль о том, что и в общем случае для нахождения решения уравнения  надо разложить отношение коэффициентов при неизвестных в цепкую дробь, отбросить ее последнее звено и проделать выкладки, подобные тем, которые были проведены выше.

Для доказательства этого предположения будут нужны некоторые свойства цепных дробей.

Рассмотрим несократимую дробь . Обозначим через  частное и через  остаток от деления а на b. Тогда получим: , .

Пусть, далее,  - частное и  - остаток от деления  на  Тогда , ; точно так же

Величины , ,… называются неполными частными. Приведенный выше процесс образования неполных частных называется алгоритмом Евклида. Остатки от деления , ,…удовлетворяют неравенствам

т. е. образуют ряд убывающих неотрицательных чисел.

Так как количество неотрицательных целых чисел, не превосходящих b, не может быть бесконечным, то на некотором шаге процесс образования неполных частных оборвется из-за обращения в ноль очередного остатка r. Пусть  - последний отличный от нуля остаток в ряде (5); тогда  и алгоритм Евклида для чисел a и b примет вид

                                                                                                                     (6)

Перепишем полученные равенства в виде

Заменяя значение  в первой строке этих равенств соответствующим значением из второй строки значение  - выражением из третьей, строки и т. д., получим разложение  в цепную дробь:

Выражения, получающиеся из цепной дроби при отбрасывании всех ее звеньев, начиная с некоторого звена, назовем подходящими дробями. Первая: подходящая дробь  получится при отбрасывании всех звеньев, начиная с :      .

Страницы: 1, 2, 3