Реферат: Решение уравнений в целых числах

Вторая подходящая дробь получается отбрасыванием всех звеньев, начиная с : . Точно так же

и т. д.

В силу способа образования подходящих дробей возникают очевидные неравенства:

; .

Запишем k-ю подходящую дробь  в виде        ,

и найдем закон образования числителей и знаменателей подходящих дробей, Преобразуем первые подходящие дроби , , :

; , ;

; ; ;

;

;

Отсюда получаем:

; .

Применяя индукцию, докажем, что соотношения того же вида

                                        ,                                             (7).

выполняются для всех .

Действительно, пусть равенства (7) выполняются для некоторого . Из определения подходящих дробей непосредственно следует, что при замене в выражении  величины  на  перейдет в . Согласно индукционному предположению

.

Заменяя здесь  на , получим:

.

Отсюда, так как , следует, что

, .

Таким образом, из выполнения равенств (7) для некоторого  следует выполнение их для  Но для  равенства (7) - выполняется и, следовательно, их справедливость установлена для всех .

Покажем теперь, что разность соседних подходящих дробей  удовлетворяет соотношению

                                                            .                                            (8)

Действительно,

.

Пользуясь формулами (7), преобразуем числитель полученной дроби:

.

Выражение, стоящее в скобках, получается из исходного заменой  на . Повторяя такие же преобразования для получающихся выражений, получим, очевидно, цепь равенств:

Отсюда следует, что

Если разложение  в цепную дробь имеет  звеньев, то п-я подходящая дробь  совпадает с . Применяя равенство (8), при  получим

                                                                                                                   (9)

Вернемся теперь к решению уравнения

                                                         ,                                                (10)

Перепишем соотношение (9) в виде .

Приводя к общему знаменателю и отбрасывая его, получим

Умножим это соотношение на . Тогда

Отсюда следует, что пара чисел ,

                                               , ,                                      (11)

является решением уравнения (10) и согласно теореме все решения этого уравнения имеют вид

,             

Полученный результат полностью решает вопрос о нахождении всех целочисленных решений уравнения первой степени с двумя неизвестными. Перейдем теперь к рассмотрению некоторых уравнений второй степени.

3. ПРИМЕРЫ УРАВНЕНИЙ ВТОРОЙ СТЕПЕНИ С ТРЕМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ

П р и м е р I. Рассмотрим уравнение второй степени с тремя неизвестными:

                                                                                                                             (12)

Геометрически решение этого уравнения в целых числах можно истолковать как нахождение всех пифагоровых треугольников, т. е. прямоугольных треугольников, у которых и катеты , и гипотенуза  выражаются целыми числами.

Обозначим через  общий наибольший делитель чисел  и : . Тогда

, ,

и уравнение (12) примет вид

.

Отсюда следует, что  делится на  и, значит,  кратно : .

Теперь уравнение (12) можно записать в виде

;

сокращая на , получим

.

Мы пришли к уравнению того же вида, что и исход­ное, причем теперь величины  и  не имеют общих делителей, кроме 1. Таким образом, при решении уравнения (12) можно ограничиться случаем, когда  и  взаимно просты. Итак, пусть . Тогда хотя бы одна из величин  и  (например, ) будет нечетной. Перенося  в правую часть уравнения (12), получим

                                                 ; .                                           (13)

Обозначим через  общий наибольший делитель выражений  и . Тогда

                                                        , ,                                                  (14)

где  и  взаимно просты.

Подставляя в (13) значения  и , получим

.

Так как числа  и  не имеют общих делителей, то полученное равенство возможно только в том случае, когда  и  будут полными квадратами:

, .

Но тогда

и

                                                                                                                                    (15)

Найдем теперь  и  из равенств (14). Сложение этих равенств дает:

                                         ; .                                (16)

Вычитая второе из равенств (14) из первого, получим

                                         ;                                  (17)

В силу нечетности  из (15) получаем, что ,  и  также нечетны. Более того, , так как иначе из равенств

 и

следовало бы, что величины  и  имеют общий делитель , что противоречит предположению об их взаимной простоте. Числа и  связаны с взаимно простыми числами  и  равенствами

,

и в силу этого сами взаимно просты; , так как , что ясно из равенств (14).

Подставляя в равенства (15) - (17) , получим формулы:

                                                     , , ,                                     (18)

дающие при нечетных взаимно простых  и   все свободные от общих делителей тройки целых положительных чисел , , , удовлетворяющие уравнению (12). Простой подстановкой ,  и  в уравнение (12) легко проверить, что при любых и  числа (18) удовлетворяют этому уравнению.

Для начальных значений  и  формулы (18) приводят к следующим часто встречающимся равенствам:

Как уже было сказано, формулы (18) дают только те решения уравнения

,

в которых числа ,  и  не имеют общих делителей. Все остальные целые положительные решения-этого уравнения получаются умножением решений, содержащихся в формулах (18), на произвольный общий множитель .

Тем же путем, каким мы получили все решения уравнения (12), могут быть получены и все решения других уравнений того же типа.

П р и м е р  II.  Найдем все решения уравнения

                                                                                                                           (19)

в целых положительных попарно взаимно простых числах , , .

Заметим, что если , ,  есть решение уравнения (19) и , ,  не имеют общего делителя, отличного от 1, то они и попарно взаимно просты. Действительно, если  и  кратны простому числу , то из равенства

следует, так как его левая часть - целое число, что  кратно . То же самое будет, если  и  или  и  делятся на .

Заметим, что  должно быть числом нечетным для того, чтобы общий наибольший делитель , ,  был равен 1. Действительно, если  четно, то левая часть уравнения (19) будет четным числом и, значит, z также будет четным. Но  и  будут тогда кратны 4. Отсюда следует, что  должно делиться на 4, другими словами, что  тоже должно быть четным числом. Значит, если  четно, то все числа , ,  должны быть четными. Итак, в решении без общего отличного от 1 делителя  должно быть нечетным. Отсюда уже следует, что и  должно быть тоже нечетным. Перенося  в правую часть, мы получаем:

.

Но  и  имеют общим наибольшим делителем 2. Действительно, пусть их общий наибольший делитель будет . Тогда

, ,

где  и  - целые числа. Складывая и вычитая эти равенства, мы будем иметь:

,.

Но  и  нечетны и взаимно просты. Поэтому общий наибольший делитель  и  будет 2. Отсюда следует, что .

Итак, или , или  нечетно. Поэтому или

числа

 и

взаимно просты, или взаимно просты числа

 и .

В первом случае из равенства

следует, что

, ,

а во втором случае из равенства

следует

, ,

где  и  целые,  - нечетное число и , . Решая эти две системы уравнений относительно  и  и находя , мы получаем или

, ,  или

, , ,

где  нечетно. Объединяя эти две формы представления решения , ,  мы получаем общую формулу

Страницы: 1, 2, 3