Дипломная работа: Моделирование конкурентоспособности товара на современном рынке

Практические задачи оптимизации, которые сводятся к математическим моделям вида: , , где множество допустимых значений определяется ограничениями-равенствами или ограничениями-неравенствами  или , при -заданному множеству индексов, то они называются задачами математического программирования.

Если функции и - нелинейные и все управляемые переменные неотрицательны, то это задача нелинейного программирования. В нашей задаче существует особенность целевой функции – она является дробно-линейной функцией, а значит, мы рассматриваем задачу дробно-линейного программирования.

Такая задача сводится к задаче линейного программирования. Существует несколько наиболее часто используемых методов для решения задач линейного программирования, к ним относится графический метод, симплекс-таблица и различные разновидности симплекс-метода.

Графический метод неприменим из-за количества управляемых переменных, их слишком много. Допустимым множеством  будет являться многогранник в мерном пространстве. Основная черта – наглядность – теряется.

Затруднения использования симплекс-метода связанны не только с той же проблемой, что у графического метода, к ней еще прибавляется сложность приведения к каноническому виду, представления в симплекс-таблицах.

Изменение управляемых переменных задано дискретным рядом значений, а значит, можем классифицировать поставленную задачу, как дискретную задачу оптимизации.

Часто применимый для таких задач метод ветвей и границ.

3.3 Метод оптимизации для решения поставленной задачи

Наиболее часто встречающийся, распространенный метод для решения такого типа задач – метод ветвей и границ.

3.3.1 Общее описание метода ветвей и границ

Метод применяется для решения разнообразных задач дискретной оптимизации. Его идея состоит в последовательном разбиении допустимого множества  исходной задачи

, ,  – дискретно                   

на взаимно непересекающихся подмножествах  (этот процесс называется ветвлением) и получении оценок снизу (границ)  значений целевой функции  на этих подмножествах (). При выполнении определенных условий процесс ветвления завершается и решение задачи на одном из подмножеств  оказывается решением исходной задачи . Сказанное выше и объясняет название метода.

Схему поиска решения методом ветвей и границ в каждом конкретном случае можно наглядно представить в виде некоторого дерева, состоящего из множества вершин и соединяющих их ветвей.

Примеры деревьев:

Начальной вершине 0 соответствует исходное допустимое множество  или исходная задача (1), а любой другой вершине  – подмножество , полученное в результате ветвления, или подзадача :

, .                   

Если при ветвлении из каждой вершины происходит разбиение соответствующего ей множества на две части, то схема метода изображается бинарным деревом.

Процесс ветвления из данной вершины  не производится, если выполнено одно из условий:

.    Граница  найдена точно: , т.е. получено решение  подзадачи . Будем говорить, что в этом случае вместо оценки решения в вершине  найдено полное решение , соответствующее этой вершине.

.    Множество  является пустым.

.    Из полученных до этого полных решений найдется такое , что граница  удовлетворяет неравенству

.                       

В данном случае дальнейший поиск решения исходной задачи на подмножестве  не имеет смысла, и говорят, что вершина  «убита» вершиной . В самом деле, из  следует, что , т.е. минимальное значение  функции  на  не может быть меньше, чем в уже найденной точке .

Вершины, удовлетворяющие одному из условий  – , назовем прозондированными. Непрозондированные вершины, из которых ветвление еще не произведено, будем называть активными, а совокупность всех таких вершин – активным множеством .

Процесс ветвления продолжается до тех пор, пока остается хотя бы одна активная вершина, т.е. . По окончании процедуры ветвления можно указать решение исходной задачи  – это то из найденных полных решений , для которого значение  минимально.

Из описания метода ветвей и границ ясно, что для его применения существенным является выполнение только следующих двух условий:

·  Известно правило ветвления, т.е. разбиения множества допустимых решений, представляемого вершиной, на несколько попарно непересекающихся подмножеств.

·  Имеется алгоритм получения нижней границы целевой функции на любом допустимом множестве.

Поэтому метод ветвей и границ можно использовать для решения не только целочисленной задачи линейного программирования, но и многих других задач, для которых выполняются указанные условия.

3.3.2 Особенности метода в поставленной задаче

Применим метод к нашей задаче:

Технологические возможности сырья не беспредельны, а значит улучшать значения параметров, можно только до определенного периода. Скажем также и о том, что получить результат при первых же поступлениях средств невозможно, из разумных соображений. Для нововведений и разработок требуется и / или время, и / или вложения в новые технологии, и / или затраты на работы технологов. Отсюда представим некоторую значимую часть дискретных зависимостей «улучшение реальных характеристик продукции» т.е. управляемых переменных , ,  от «вложенных в данный параметр средств» .Таблица11.

Вложение средств в нормативные параметры необходимо, только если значение характеристик на данный момент не соответствует нормам и ГОСТ.

Ранее представлено условие , т.е. израсходовать определенную сумму на повышение конкурентоспособности продукции нашей фирмы. Но сделаем допущение: стремление этой функции к  подчеркнет тот факт, что в наших экономических интересах потратить как можно меньше средств.

. Это приведет к тому, что ветвление из вершины  будет бесконечным. Вспомнив значения таблицы 11, мы примем это допущение, т. к. ограничение ветвления будет достигаться за счет естественного ограничения характеристик продукции.

В задаче требуется найти распределение средств, которые необходимо выделить предприятию, чтобы коэффициент конкурентоспособности был как можно больше .

На каждом шаге, мы будем получать новые значения характеристик товара, согласно дискретной зависимости. Нам необходимо в каждом случае просчитать новый коэффициент конкурентоспособности и сравнить его с коэффициентами товаров других фирм. Если не принять никаких ограничений, то метод превратится в перебор возможных решений.

Но мы можем ввести ограничение, которое сократит число возможных решений и сделает нашу задачу более корректной с экономической точки зрения. Нам, фирме D, достаточно будет если коэффициент конкурентоспособности станет больше максимального коэффициента представленных на рынке товаров: . Поэтому мы отбрасываем все те вершины, которые встретятся, в дальнейшем, на конкретном уровне, после выполнения этого условия.

Так же, мы «убиваем» вершины не за счет ограничений снизу / сверху допустимых подмножеств (теория метода ветвей и границ), а за счет условия рациональности принятия решения в экономике: «зачем платить больше, если можно заплатить меньше». С математической точки зрения это выглядит так: если значения параметров ,  или  не изменяются при увеличении значений , то «убиваются» все вершины с одинаковыми значениями характеристик товара, кроме той, на которую мы затратим меньше средств.

Эти ограничения исключают заведомо бесперспективные вершины, т.е. сокращают перебор возможных решений.

Возможно, например, использование следующего правила ветвления. Будем считать, что в первую очередь просматриваются распределения средств на технические характеристики с максимальной значимостью  и каждому варианту соответствует ветвь дерева поиска, исходящая из вершины 0. Затем из полученных вершин производится ветвление по распределению средств с меньшей значимостью . В дальнейшем, когда мы закончим с техническими параметрами, перейдем на экономические. Так же, сначала по распределению средств с максимальной значимостью , и затем по мере уменьшения. Средства на нормативные параметры мы будем выделять, только при условии несоответствия нормам. В случае нашей фирмы D, в этом нет необходимости.

Ограничения так же будут обусловлены технологическими и экономическими особенностями продукции.

3.4 Решение

Воспользовалась программой, написанной в среде MATLAB, и нашла оптимальное решение поставленной задачи.

Затрата средств в размере: 174 у. е.

45 у. е. – выделено для понижения коэффициента теплопроводности;

26 у. е. – для понижения значения объемного водопоглощения;

19 у. е. – для увеличения срока эксплуатации;

11 у. е. – для расширения диапазона прочности;

33 у. е. – для снижения стоимости продукции;

40 у. е. – для уменьшения стоимости доставки.

К вопросу об устойчивости решения можно сказать, что малые изменения значений характеристик не ведут к серьезным изменениям коэффициента конкурентоспособности.

3.5 Текст программы

clear;

clc;

close all;

конкурентоспособность программа листинг коэффициент

%ФИРМА A

%ТЕХНИЧЕСКИЕ ПАРАМЕТРЫ

P_tex_1_A = 0.026; %коэффициент теплопроводности,    Вт/м*К

P_tex_2_A = 0.015; %объемное водопоглащение, %

P_tex_3_A = 30; %срок эксплуатации, лет

P_tex_4_A1 = -200; %нижняя граница диапозона рабочих       температур, градус

P_tex_4_A2 = 150; %верхняя граница диапозона рабочих       температур, градус

P_tex_4_A = P_tex_4_A2 – P_tex_4_A1; % прочность     (диапозон рабочих температур)

%ЭКОНОМИЧЕСКИЕ ПАРАМЕТРЫ

P_ek_1_A = 90; %стоимость продукции, руб./кг

P_ek_2_A = 10; %стоимость доставки, руб./кг

%НОРМАТИВНЫЕ ПАРАМЕТРЫ

P_norm_1_A = 1; %экологическая безопастность

P_norm_2_A = 1; %горючесть (ГОСТ)

%ФИРМА B

%ТЕХНИЧЕСКИЕ ПАРАМЕТРЫ

P_tex_1_B = 0.027; %коэффициент теплопроводности,    Вт/м*К

P_tex_2_B = 0.04; %объемное водопоглащение, %

P_tex_3_B = 25; %срок эксплуатации, лет

P_tex_4_B1 = -250; %нижняя граница диапозона рабочих       температур, градус

P_tex_4_B2 = 180; %верхняя граница диапозона рабочих        температур, градус

P_tex_4_B = P_tex_4_B2 – P_tex_4_B1; % прочность               (диапозон рабочих температур)

%ЭКОНОМИЧЕСКИЕ ПАРАМЕТРЫ

P_ek_1_B = 110; %стоимость продукции, руб./кг

P_ek_2_B = 20; %стоимость доставки, руб./кг

%НОРМАТИВНЫЕ ПАРАМЕТРЫ

P_norm_1_B = 1; %экологическая безопастность

P_norm_2_B = 1; %горючесть (ГОСТ)

%ФИРМА C

%ТЕХНИЧЕСКИЕ ПАРАМЕТРЫ

P_tex_1_C = 0.025; %коэффициент теплопроводности,    Вт/м*К

P_tex_2_C = 0.03; %объемное водопоглащение, %

P_tex_3_C = 32; %срок эксплуатации, лет

P_tex_4_C1 = -100; %нижняя граница диапозона рабочих       температур, градус

P_tex_4_C2 = 150; %верхняя граница диапозона рабочих        температур, градус

P_tex_4_C = P_tex_4_C2 – P_tex_4_C1; % прочность               (диапозон рабочих температур)

%ЭКОНОМИЧЕСКИЕ ПАРАМЕТРЫ

P_ek_1_C = 95; %стоимость продукции, руб./кг

P_ek_2_C = 20; %стоимость доставки, руб./кг

%НОРМАТИВНЫЕ ПАРАМЕТРЫ

P_norm_1_C = 0; %экологическая безопастность

P_norm_2_C = 1; %горючесть (ГОСТ)

%ФИРМА D

%ТЕХНИЧЕСКИЕ ПАРАМЕТРЫ

P_tex_1_D = 0.028; %коэффициент теплопроводности,    Вт/м*К

P_tex_2_D = 0.02; %объемное водопоглащение, %

P_tex_3_D = 22; %срок эксплуатации, лет

P_tex_4_D1 = -100; %нижняя граница диапозона рабочих       температур, градус

P_tex_4_D2 = 100; %верхняя граница диапозона             рабочих температур, градус

P_tex_4_D = P_tex_4_D2 – P_tex_4_D1; % прочность (диапозон рабочих температур)

%ЭКОНОМИЧЕСКИЕ ПАРАМЕТРЫ

P_ek_1_D = 99; %стоимость продукции, руб./кг

P_ek_2_D = 15; %стоимость доставки, руб./кг

%НОРМАТИВНЫЕ ПАРАМЕТРЫ

P_norm_1_D = 1; %экологическая безопастность

P_norm_2_D = 1; %горючесть (ГОСТ)

%значимость параметров

alfa_tex_1 = 0.5;

alfa_tex_2 = 0.25;

alfa_tex_3 = 0.2;

alfa_tex_4 = 0.05;

alfa_ek_1 = 0.7;

alfa_ek_2 = 0.3;

% наименьшее значение теплопроводности – наилучшее

P_tex_1 = [P_tex_1_A P_tex_1_B P_tex_1_C P_tex_1_D];

P_tex_ideal_1 = min (P_tex_1);

q_tex_1_A = P_tex_ideal_1 / P_tex_1_A;

q_tex_1_B = P_tex_ideal_1 / P_tex_1_B;

q_tex_1_C = P_tex_ideal_1 / P_tex_1_C;

q_tex_1_D = P_tex_ideal_1 / P_tex_1_D;

% наименьшее значение водопоглощения – наилучшее

P_tex_2 = [P_tex_2_A P_tex_2_B P_tex_2_C P_tex_2_D];

P_tex_ideal_2 = min (P_tex_2);

q_tex_2_A = P_tex_ideal_2 / P_tex_2_A;

q_tex_2_B = P_tex_ideal_2 / P_tex_2_B;

q_tex_2_C = P_tex_ideal_2 / P_tex_2_C;

q_tex_2_D = P_tex_ideal_2 / P_tex_2_D;

% наибольшее значение срока эксплуатации – наилучшее

P_tex_3 = [P_tex_3_A P_tex_3_B P_tex_3_C P_tex_3_D];

P_tex_ideal_3 = max (P_tex_3);

q_tex_3_A = P_tex_3_A / P_tex_ideal_3;

q_tex_3_B = P_tex_3_B / P_tex_ideal_3;

q_tex_3_C = P_tex_3_C / P_tex_ideal_3;

q_tex_3_D = P_tex_3_D / P_tex_ideal_3;

% наибольшее значение прочности – наилучшее

P_tex_4 = [P_tex_4_A P_tex_4_B P_tex_4_C P_tex_4_D];

P_tex_ideal_4 = max (P_tex_4);

q_tex_4_A = P_tex_4_A / P_tex_ideal_4;

q_tex_4_B = P_tex_4_B / P_tex_ideal_4;

q_tex_4_C = P_tex_4_C / P_tex_ideal_4;

q_tex_4_D = P_tex_4_D / P_tex_ideal_4;

%расчет группового технического параметра

I_tex_A = q_tex_1_A * alfa_tex_1 +

+ q_tex_2_A * alfa_tex_2 +

+ q_tex_3_A * alfa_tex_3 +

+ q_tex_4_A * alfa_tex_4;

I_tex_B = q_tex_1_B * alfa_tex_1 +

+ q_tex_2_B * alfa_tex_2 +

+ q_tex_3_B * alfa_tex_3 +

+ q_tex_4_B * alfa_tex_4;

I_tex_C = q_tex_1_C * alfa_tex_1 +

+ q_tex_2_C * alfa_tex_2 +

+ q_tex_3_C * alfa_tex_3 +

+ q_tex_4_C * alfa_tex_4;

I_tex_D = q_tex_1_D * alfa_tex_1 +

+ q_tex_2_D * alfa_tex_2 +

+ q_tex_3_D * alfa_tex_3 +

+ q_tex_4_D * alfa_tex_4;

% наименьшее значение стоимости товара – наилучшее

P_ek_1 = [P_ek_1_A P_ek_1_B P_ek_1_C P_ek_1_D];

P_ek_ideal_1 = min (P_ek_1);

q_ek_1_A = P_ek_1_A / P_ek_ideal_1;

q_ek_1_B = P_ek_1_B / P_ek_ideal_1;

q_ek_1_C = P_ek_1_C / P_ek_ideal_1;

q_ek_1_D = P_ek_1_D / P_ek_ideal_1;

% наименьшее значение стоимости доставки товара – наилучшее

P_ek_2 = [P_ek_2_A P_ek_2_B P_ek_2_C P_ek_2_D];

P_ek_ideal_2 = min (P_ek_2);

q_ek_2_A = P_ek_2_A / P_ek_ideal_2;

q_ek_2_B = P_ek_2_B / P_ek_ideal_2;

q_ek_2_C = P_ek_2_C / P_ek_ideal_2;

q_ek_2_D = P_ek_2_D / P_ek_ideal_2;

%расчет группового экономического параметра

I_ek_A = q_ek_1_A * alfa_ek_1 +

+ q_ek_2_A * alfa_ek_2;

I_ek_B = q_ek_1_B * alfa_ek_1 +

+ q_ek_2_B * alfa_ek_2;

I_ek_C = q_ek_1_C * alfa_ek_1 +

+ q_ek_2_C * alfa_ek_2;

I_ek_D = q_ek_1_D * alfa_ek_1 +

+ q_ek_2_D * alfa_ek_2;

% наибольшее значение экологической безопасности – наилучшее

P_norm_1 = [P_norm_1_A P_norm_1_B P_norm_1_C P_norm_1_D];

P_norm_ideal_1 = max (P_norm_1);

q_norm_1_A = P_norm_1_A / P_norm_ideal_1;

q_norm_1_B = P_norm_1_B / P_norm_ideal_1;

q_norm_1_C = P_norm_1_C / P_norm_ideal_1;

q_norm_1_D = P_norm_1_D / P_norm_ideal_1;

% наибольшее значение горючести – наилучшее

P_norm_2 = [P_norm_2_A P_norm_2_B P_norm_2_C P_norm_2_D];

P_norm_ideal_2 = max (P_norm_2);

q_norm_2_A = P_norm_2_A / P_norm_ideal_2;

q_norm_2_B = P_norm_2_B / P_norm_ideal_2;

q_norm_2_C = P_norm_2_C / P_norm_ideal_2;

q_norm_2_D = P_norm_2_D / P_norm_ideal_2;

%расчет группового нормативного параметра

I_norm_A = q_norm_1_A * q_norm_2_A;

I_norm_B = q_norm_1_B * q_norm_2_B;

I_norm_C = q_norm_1_C * q_norm_2_C;

I_norm_D = q_norm_1_D * q_norm_2_D;

%КОЭФФИЦИЕНТ КОНКУРЕНТОСПОСОБНОСТИ:

K_A = I_norm_A * I_tex_A / I_ek_A

K_B = I_norm_B * I_tex_B / I_ek_B

K_C = I_norm_C * I_tex_C / I_ek_C

K_D = I_norm_D * I_tex_D / I_ek_D

K = [K_A K_B K_C K_D];

s = [1 2 3 4];

figure;

hold on;

grid on;

axis ([0 5 0 1.1])

plot (s, K, 'r*');

title('KONKURENTOSPOSOBNOST');

xlabel('Firm');

ylabel('K');

Заключение

Проведя свою работу, я решила экономическую задачу: по повышению конкурентоспособности товара при минимизации затрат. Воспользовалась для этого теорией математической оптимизации.

Нашла наиболее оптимальную комбинацию потраченных средств на различные характеристики товара, для вывода его на уровень достаточный, для достойного функционирования фирмы на рынке.

Задача построена на реальных данных современного рынка лакокрасочной продукции. Заказчиком является фирма ЗАО «Химпоставщик-М». Полученным результатом компания удовлетворена и применила данные в разработке финансового плана распределения средств на следующий квартал.

Литература

1. В.В. Лесин, Ю.П. Лисовец. Основы методов оптимизации – М.: Издательство МАИ, 1995. – 344 с.: ил.

2. Гончаров. В.А. Методы оптимизации / В.А. Гончаров. М.: изд. МИЭТ, 2008. 188 с.

3. А.В. Пантелеев, Т.А. Летова. Методы оптимизации в примерах и задачах – 2-е изд., исправл. – М.: Высш. Шк., 2005. – 544 с.: ил.

4. Электронный учебник. Методы оптимизации: http://optimizer.by.ru/branchborder.html

5. Гончров В.А. Курс лекций «Методы Оптимизации»

6. Статья из Internet-журнала Экономика: к.т.н., доц. Е.М. Белым и С.В. Барашковым (УлГУ), совместно с асп. И.А. Курамшиным (УлГУ), при участии И.А. Дюпюи (СПбГУЭФ).