Преподавание алгебраического материала в начальной школе

сравнения (наименование величины). Так возникают понятия "объем", "вес",

"электрическое напряжение" и т.д. "При этом для математика величина вполне

определена, когда указаны множество элементов и критерии сравнения", -

отмечал В.Ф. Каган ([10], стр. 47).

В качестве важнейшего примера математической величины этот автор

рассматривает натуральный ряд чисел. С точки зрения такого критерия

сравнения, как положение, занимаемое числами в ряду (занимают одно место,

следует за..., предшествует), этот ряд удовлетворяет постулатам и поэтому

представляет собой величину. По соответствующим критериям сравнения

совокупность дробей также претворяется в величину.

Таково, по В.Ф. Кагану, содержание теории величины, играющей важнейшую

роль в деле обоснования всей математики.

Работая с величинами (отдельные их значения целесообразно фиксировать

буквами), можно производить сложную систему преобразований, устанавливая

зависимости их свойств, переходя от равенства к неравенству, выполняя

сложение (и вычитание), причем при сложении можно руководствоваться

коммутативным и ассоциативным свойствами. Так, если дано соотношение А=В,

то при "решении" задач можно руководствоваться соотношением В=А. В другом

случае при наличии соотношений А>В, В=С можно заключить, что А>С. Поскольку

при а>b существует такое с, что а=b+с, то можно найти разность а и b (а-

b=с), и т.д. Все эти преобразования можно выполнить на физических телах и

других объектах, установив критерии сравнения и соответствие выделенных

отношений постулатам сравнения.

Приведенные выше материалы позволяют заключить, что и натуральные, и

действительные числа одинаково прочно связаны с величинами и некоторыми их

существенными особенностями. Нельзя ли эти и другие свойства сделать

предметом специального изучения ребенка еще до того, как вводится числовая

форма описания отношения величин? Они могут послужить предпосылками для

последующего развернутого введения числа и его разных видов, в частности

для пропедевтики дробей, понятий координат, функции и других понятий уже в

младших классах.

Что может быть содержанием этого начального раздела? Это знакомство с

физическими объектами, критериями их сравнения, выделяющими величину, как

предмет математического рассмотрения, знакомство со способами сравнения и

знаковыми средствами фиксации его результатов, с приемами анализа общих

свойств величин. Это содержание нужно развернуть в относительно подробную

программу преподавания и, главное, связать ее с теми действиями ребенка,

посредством которых он может этим содержанием овладеть (конечно, в

соответствующей форме). Вместе с тем нужно экспериментальным, опытным путем

установить, могут ли дети 7 лет усвоить эту программу, и какова

целесообразность ее введения для последующего преподавания математики в

начальных классах в направлении сближения арифметики и начальной алгебры.

До сих пор наши рассуждения носили теоретический характер и были

направлены на выяснение математических предпосылок построения такого

начального раздела курса, который знакомил бы детей с основными

алгебраическими понятиями (до специального введения числа).

Выше были описаны основные свойства, характеризующие величины.

Естественно, что детям 7 лет бессмысленно читать "лекции" относительно этих

свойств. Необходимо было найти такую форму работы детей с дидактическим

материалом, посредством которой они смогли бы, с одной стороны, выявить в

окружающих их вещах эти свойства, с другой - научились бы фиксировать их

определенной символикой и проводить элементарный математический анализ

выделяемых отношений.

В этом плане программа должна содержать, во-первых, указание тех

свойств предмета, которые подлежат освоению, во-вторых, описание

дидактических материалов, в-третьих, - и это с психологической точки зрения

главное - характеристики тех действий, посредством которых ребенок выделяет

определенные свойства предмета и осваивает их. Эти "составляющие" образуют

программу преподавания в собственном смысле этого слова.

Конкретные особенности этой гипотетической программы и ее

"составляющих" имеет смысл излагать при описании процесса самого обучения и

его результатов. Здесь представляется схема данной программы и ее узловые

темы.

Тема I. Уравнивание и комплектование объектов (по длине, объему, весу,

составу частей и другим параметрам).

Практические задачи на уравнивание и комплектование. Выделение

признаков (критериев), по которым одни и те же объекты могут быть уравнены

или укомплектованы. Словесное обозначение этих признаков ("по длине", по

весу" и т.д.).

Эти задачи решаются в процессе работы с дидактическим материалом

(планками, грузами и т.д.) путем:

- выбора "такого же" предмета,

- воспроизведения (построения) "такого же" предмета по выделенному

(указанному) параметру.

Тема II. Сравнение объектов и фиксация его результатов формулой

равенства-неравенства.

1. Задачи на сравнение объектов и знаковое обозначение результатов

этого действия.

2. Словесная фиксация результатов сравнения (термины "больше",

"меньше", "равно"). Письменные знаки ">", "B.

Буква как знак, фиксирующий непосредственно данное, частное значение

объекта по выделенному параметру (по весу, по объему и т.д.).

5. Невозможность фиксации результата сравнения разными формулами.

Выбор определенной формулы для данного результата (полная дизъюнкция

отношений больше - меньше - равно).

Тема III. Свойства равенства и неравенства.

1. Обратимость и рефлексивность равенства (если А=Б, то Б=А; А=А).

2. Связь отношений "больше" и "меньше" в неравенствах при

"перестановках" сравниваемых сторон (если А>Б, то ББ, если АВ, а БB; тo АВ, а В=С; узнать

отношение между А и С).

Тема IV. Операция сложения (вычитания).

1. Наблюдения за изменениями объектов по тому или иному параметру (по

объему, по весу, по длительности и т.д.). Изображение увеличения и

уменьшения знаками "+" и "-" (плюс и минус).

2. Нарушение ранее установленного равенства при соответствующем

изменении той или иной его стороны. Переход от равенства к неравенству.

Запись формул типа:

если А=Б, если А=Б,

то А+К>Б; то А-КБ,

но А+К=Б+К.

4. Решение разнообразных задач, требующих применения операции сложения

(вычитания) при переходе от равенства к неравенству и обратно.

Тема V. Переход от неравенства типа АБ,

то A+х=Б; то А-x=B.

2. Определение значения х. Подстановка этого значения в формулу

(знакомство со скобками). Формулы типа

АВ если А>В

и М=D, и К>Е, и Б=Г,

тo A+M=Б+D; то А+К>В+E; то А+-Б>В+-Г.

2. Возможность представления значения величины суммой нескольких

значений. Подстановка типа:

А=Б,

Б=Е+К+М,

А=E+К+М.

3. Решение разнообразных задач, требующих учета свойств отношений, с

которыми дети познакомились в процессе работы (многие задачи требуют

одновременного учета нескольких свойств, сообразительности при оценке

смысла формул; описание задач и решения приведены ниже).

Такова программа, рассчитанная на 3,5 - 4 мес. первого полугодия. Как

показывает опыт экспериментального обучения, при правильном планировании

уроков, при усовершенствовании методики преподавания и удачном выборе

дидактических пособий весь изложенный в программе материал может быть

полноценно усвоен детьми за более короткий срок (за 3 месяца).

Как строится наша программа дальше? Прежде всего дети знакомятся со

способом получения числа, выражающим отношение какого-либо объекта как

целого (той же величины, представленной непрерывным или дискретным

объектом) к его части. Само это отношение и его конкретное значение

изображается формулой А/К=n, где n - любое целое число, чаще всего

выражающее отношение с точностью до "единицы" (лишь при специальном подборе

материала или при сосчитывании лишь "качественно" отдельных вещей можно

получить абсолютно точное целое число). Дети с самого начала "вынуждены"

иметь в виду, что при измерении или сосчитывании может получиться остаток,

наличие которого нужно специально оговаривать. Это первая ступенька к

последующей работе с дробным числом.

При такой форме получения числа нетрудно подвести детей к описанию

объекта формулой типа А=5k (если отношение было равно "5"). Вместе с первой

формулой она открывает возможности для специального изучения зависимостей

между объектом, основанием (мерой) и результатом счета (измерения), что

также служит пропедевтикой для перехода к дробным числам (в частности, для

понимания основного свойства дроби).

Другая линия развертывания программы, реализуемая уже в I классе, -

это перенесение на числа (целые) основных свойств величины (дизъюнкции

равенства-неравенства, транзитивности, обратимости) и операции сложения

(коммутативности, ассоциативности, монотонности, возможности вычитания). В

частности, работая на числовом луче, дети могут быстро претворить

последовательность чисел в величину (например, отчетливо оценивать их

транзитивность, выполняя записи типа 32; найти

отношение между левой и правой частями формулы при 8+1-4...6+3-2; в случае

неравенства привести это выражение к равенству (вначале нужно поставить

знак "меньше", а затем приплюсовать к левой части "двойку").

Таким образом, обращение с числовым рядом как с величиной позволяет по

новому формировать сами навыки сложения-вычитания (а затем умножения-

деления).

Глава II. Методические рекомендации к изучению алгебраического

материала в начальной школе

2.1 Обучение в начальной школе с точки зрения потребностей средней

школы

Как известно, при изучении математики в 5-м классе существенная часть

времени отводится на повторение того, что дети должны были усвоить в

начальной школе. Это повторение практически во всех существующих учебниках

занимает 1,5 учебной четверти. Такая ситуация сложилась неслучайно. Ее

причина – недовольство учителей математики средней школы подготовкой

выпускников начальной школы. В чем же причина такого положения? Для этого

была проанализированы пять наиболее известных сегодня учебников математики

начальной школы. Это учебники М.И. Моро, И.И. Аргинской, Н.Б. Истоминой,

Л.Г. Петерсон и В.В. Давыдова ([2], [5], [9], [14], [16]).

Анализ этих учебников выявил несколько негативных моментов, в большей

или меньшей степени присутствующих в каждом из них и отрицательно влияющих

на дальнейшее обучение. Прежде всего это то, что усвоение материала в них в

большей мере основано на заучивании. Ярким примером этого служит заучивание

таблицы умножения. В начальной школе ее запоминанию уделяется много сил и

времени. Но за время летних каникул дети ее забывают. Причина такого

быстрого забывания в механическом заучивании. Исследования Л.С. Выготского

показали, что осмысленное запоминание гораздо более эффективно, чем

механическое, а проведенные впоследствии эксперименты убедительно

доказывают, что материал попадает в долговременную память, только если он

запомнен в результате работы, соответствующей этому материалу.

Способ эффективного усвоения таблицы умножения был найден еще в 50-х

годах. Он состоит в организации определенной системы упражнений, выполняя

которые, дети сами конструируют таблицу умножения. Однако не в одном из

рассмотренных учебников этот способ не реализован.

Другим негативным моментом, влияющим на дальнейшее обучение, является

то, что во многих случаях изложение материала в учебниках математики

начальной школы построено таким образом, что в дальнейшем детей придется

переучивать, а это, как известно, гораздо труднее, чем учить. Применительно

к изучению алгебраического материала примером может служить решение

уравнений в начальной школе. Во всех учебниках решение уравнений основано

на правилах нахождения неизвестных компонентов действий.

Несколько иначе это сделано лишь в учебнике Л.Г. Петерсон, где,

например, решение уравнений на умножение и деление строится на соотнесении

компонентов уравнения со сторонами и площадью прямоугольника и в итоге

также сводится к правилам, но это правила нахождения стороны или площади

прямоугольника. Между тем, начиная с 6-го класса детей учат совершенно

другому принципу решения уравнений, основанному на применении тождественных

преобразований. Такая необходимость переучивания приводит к тому, что

решение уравнений является достаточно сложным моментом для большинства

детей.

Анализируя учебники, мы столкнулись еще и с тем, что при изложении

материала в них зачастую имеет место искажение понятий. Например,

формулировка многих определений дается в виде импликаций, тогда как из

математической логики известно, что любое определение – это эквиваленция. В

качестве иллюстрации можно привести определение умножения из учебника И.И.

Аргинской: "Если все слагаемые в сумме равны между собой, то сложение можно

заменить другим действием – умножением". (Все слагаемые в сумме равны между

собой. Следовательно, сложение можно заменить умножением.) Как видно, это

импликация в чистом виде. Такая формулировка не только неграмотна с точки

зрения математики, не только неправильно формирует у детей представление о

том, что такое определение, но она еще и очень вредна тем, что в

дальнейшем, например, при построении таблицы умножения авторы учебников

используют замену произведения суммой одинаковых слагаемых, чего

представленная формулировка не допускает. Такая неправильная работа с

высказываниями, записанными в виде импликации, формирует у детей неверный

стереотип, который будет с большим трудом преодолеваться на уроках

геометрии, когда дети не будут чувствовать разницы между прямым и обратным

утверждением, между признаком фигуры и ее свойством. Ошибка, когда при

решении задач используется обратная теорема, в то время как доказана только

прямая, является очень распространенной.

Другим примером неправильного формирования понятий является работа с

отношением буквенного равенства. Например, правила умножения числа на

единицу и числа на нуль во всех учебниках даются в буквенном виде: а х 1 =

а, а х 0 = 0. Отношение равенства, как известно, является симметричным, а

следовательно, подобная запись предусматривает не только то, что при

умножении на 1 получается то же число, но и то, что любое число можно

представить как произведение этого числа и единицы. Однако словесная

формулировка, предложенная в учебниках после буквенной записи, говорит

только о первой возможности. Упражнения по этой теме также направлены

только на отработку замены произведения числа и единицы этим числом. Все

это приводит не только к тому, что предметом сознания детей не становится

очень важный момент: любое число можно записать в виде произведения, – что

в алгебре при работе с многочленами вызовет соответствующие трудности, но и

к тому, что дети в принципе не умеют правильно работать с отношением

равенства. К примеру, при работе с формулой разность квадратов дети, как

правило, справляются с заданием разложить разность квадратов на множители.

Однако те задания, где требуется обратное действие, во многих случаях

вызывают затруднения. Другой яркой иллюстрацией этой мысли служит работа с

распределительным законом умножения относительно сложения. Здесь также,

несмотря на буквенную запись закона, и его словесная формулировка, и

система упражнений отрабатывают только умение открывать скобки. В

результате этого вынесение общего множителя за скобки в дальнейшем будет

вызывать значительные трудности.

Весьма часто в начальной школе, даже когда определение или правило

сформулировано верно, обучение стимулирует опору не на них, а на нечто

совершенно другое. Например, при изучении таблицы умножения на 2 во всех

рассмотренных учебниках показан способ ее построения. В учебнике М.И. Моро

это сделано так:

| 2 х 2 |2 + 2 |

|2 х 3 |2 + 2 + 2 |

|2 х 4 |2 + 2 + 2 + 2 |

|2 х 9 |2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 |

При таком способе работы дети очень быстро подметят закономерность

получающегося числового ряда.

Уже после 3–4 равенств они перестанут складывать двойки и начнут

записывать результат, основываясь на подмеченной закономерности. Таким

образом, способ конструирования таблицы умножения не станет предметом их

сознания, результатом чего будет являться непрочное ее усвоение.

При изучении материала в начальной школе опора делается на предметные

действия и иллюстративную наглядность, что ведет к формированию

эмпирического мышления. Конечно, без подобной наглядности вряд ли можно

совсем обойтись в начальной школе. Но она должна служить лишь иллюстрацией

того или иного факта, а не основой для формирования понятия. Применение

иллюстративной наглядности и предметных действий в учебниках нередко

приводит к тому, что "размывается" само понятие. Например, в методике

математики для 1–3-х классов М.И. Моро говорится, что детям приходится

выполнять деление, раскладывая предметы на кучки или делая рисунок на

протяжении 30 уроков. За подобными действиями теряется сущность операции

деления как действия, обратного умножению. В результате деление усваивается

с наибольшим трудом и значительно хуже, чем другие арифметические действия.

При обучении математике в начальной школе нигде не идет речь о

доказательстве каких-либо утверждений. Между тем, помня о том, какую

трудность будет вызывать обучение доказательству в средней школе, начинать

готовить к этому нужно уже в начальных классах. Причем сделать это можно на

вполне доступном для младших школьников материале. Таким материалом,

например, могут служить правила деления числа на 1, нуля на число и числа

на само себя. Дети вполне в состоянии доказать их, используя определение

деления и соответствующие правила умножения.

Материал начальной школы также допускает и пропедевтику алгебры –

работу с буквами и буквенными выражениями. Большинство учебников избегает

использование букв. В результате четыре года дети работают практически

только с числами, после чего, конечно, очень трудно приучать их к работе с

буквами. Однако обеспечить пропедевтику такой работы, научить детей

подстановке числа вместо буквы в буквенное выражение можно уже в начальной

школе. Это сделано, например, в учебнике Л.Г. Петерсон.

Говоря о недостатках обучения математике в начальной школе, мешающих

дальнейшему обучению, необходимо особо подчеркнуть тот факт, что зачастую

материал в учебниках изложен без взгляда на то, как он будет работать в

дальнейшем. Очень ярким примером этого является организация усвоения

умножения на 10, 100, 1000 и т.д. Во всех рассмотренных учебниках изложение

этого материала построено так, что оно неизбежно приводит к формированию в

сознании детей правила: "Чтобы умножить число на 10, 100, 1000 и т.д.,

нужно справа к нему приписать столько нулей, сколько их в 10, 100, 1000 и

т.д." Это правило является одним из тех, которые очень хорошо усваиваются в

начальной школе. И это приводит к большому числу ошибок при умножении

десятичных дробей на целые разрядные единицы. Даже запомнив новое правило,

дети часто автоматически при умножении на 10 приписывают к десятичной дроби

справа нуль. Кроме того, следует отметить, что и при умножении натурального

числа, и при умножении десятичной дроби на целые разрядные единицы, по сути

дела, происходит одно и то же: каждая цифра числа сдвигается вправо на

соответствующее количество разрядов. Поэтому нет смысла учить детей двум

отдельным и совершенно формальным правилам. Гораздо полезнее научить их

общему способу действий при решении подобных заданий.

2.1 Сравнение (противопоставление) понятий на уроках математики

Действующая программа предусматривает изучение в I классе лишь двух

действии первой ступени — сложения и вычитания. Ограничение первого года

обучения лишь двумя действиями есть, по существу, отход от того, что было

уже достигнуто в учебниках, предшествовавших ныне действующим: ни один

учитель никогда не жаловался тогда на то, что умножение и деление, скажем,

в пределах 20 непосильно для первоклассников. Достойно внимания еще и то,

что в школах других стран, где обучение начинается с 6 лет, к первому

учебному году относят начальное знакомство со всеми четырьмя действиями

арифметики. Математика опирается прежде всего на четыре действия, и чем

раньше они будут включены в практику мышления школьника, тем устойчивее и

надежнее будет последующее развертывание курса математики.

Справедливости ради надо отметить, что в первых вариантах учебников М.

И. Моро для I класса предусматривалось умножение и деление. Однако делу

помешала случайность: авторы новых программ настойчиво держались за одну

«новинку» — охват в I классе всех случаев сложения и вычитания в пределах

100 (37+58 и 95—58 и т. п.). Но, поскольку времени на изучение такого

расширенного объема сведений не хватило, было решено сдвинуть умножение и

деление полностью на следующий год обучения.

Итак, увлечение линейностью программы, т. е. чисто количественным

расширением знаний (те же самые действия, но с большими числами), заняло то

время, которое ранее отводилось на качественное углубление знаний (изучение

Страницы: 1, 2, 3, 4