Преподавание алгебраического материала в начальной школе

Выбор начальных элементов математики как учебного предмета по существу

реализует эти общие положения. При этом предполагается, что, знакомясь с

числом, ребенок одновременно раскрывает для себя исходные особенности

количественных отношений. Счет и число - основа всего последующего усвоения

математики в школе.

Однако есть основания полагать, что эти положения, справедливо выделяя

особое и фундаментальное значение числа, вместе с тем неадекватно выражают

его связь с другими математическими понятиями, неточно оценивают место и

роль числа в процессе усвоения математики. Из-за этого обстоятельства, в

частности проистекают некоторые существенные недостатки принятых программ,

методик и учебников по математике. Необходимо специально рассмотреть

действительную связь понятия о числе с другими понятиями.

Многие общематематические понятия, и в частности понятия соотношения

эквивалентности и порядка, систематически рассматриваются в математике

независимо от числовой формы. Эти понятия не теряют своего независимого

характера на их основе можно описывать и изучать частный предмет - разные

числовые системы, понятия о которых сами по себе не покрывают смысла и

значения исходных определений. Причем в истории математической науки общие

понятия развивались именно в той мере, в какой "алгебраические операции",

известный пример которых доставляют четыре действия арифметики, стали

применяться к элементам совершенно не "числового" характера.

В последнее время делаются попытки развернуть в преподавании этап

введения ребенка в математику. Эта тенденция находит свое выражение в

методических руководствах, а также в некоторых экспериментальных учебниках.

Так, в одном американском учебнике, предназначенном для обучения детей 6 -

7 лет ([19]) , на первых страницах вводятся задания и упражнения,

специально тренирующие детей в установлении тождественности предметных

групп. Детям показывается прием соединения множеств, - при этом вводится

соответствующая математическая символика. Работа с числами опирается на

элементарные сведения о множествах.

Можно по-разному оценивать содержание конкретных попыток реализации

этой тенденции, но сама она, на наш взгляд, вполне правомерна и

перспективна.

На первый взгляд понятия "отношение", "структура", "законы композиции"

и др., имеющие сложные математические определения, не могут быть связаны с

формированием математических представлений у маленьких детей. Конечно, весь

подлинный и отвлеченный смысл этих понятий и их место в аксиоматическом

построении математики как науки есть объект усвоения уже хорошо развитой и

"натренированной" в математике головы. Однако некоторые свойства вещей,

фиксируемые этими понятиями, так или иначе проступают для ребенка уже

сравнительно рано: на это имеются конкретные психологические данные.

Прежде всего следует иметь в виду, что от момента рождения до 7 - 10

лет у ребенка возникают и формируются сложнейшие системы общих

представлений об окружающем мире и закладывается фундамент содержательно-

предметного мышления. Причем на сравнительно узком эмпирическом материале

дети выделяют общие схемы ориентации в пространственно-временных и причинно-

следственных зависимостях вещей. Эти схемы служат своеобразным каркасом той

"системы координат", внутри которой ребенок начинает все глубже овладевать

разными свойствами многообразного мира. Конечно, эти общие схемы мало

осознаны и в малой степени могут быть выражены самим ребенком в форме

отвлеченного суждения. Они, говоря образно, являются интуитивной формой

организации поведения ребенка (хотя, конечно, все более и более

отображаются и в суждениях).

В последние десятилетия особенно интенсивно вопросы формирования

интеллекта детей и возникновения у них общих представлений о

действительности, времени и пространстве изучались известным швейцарским

психологом Ж. Пиаже и его сотрудниками. Некоторые его работы имеют прямое

отношение к проблемам развития математического мышления ребенка, и поэтому

нам важно рассмотреть их применительно к вопросам конструирования учебной

программы.

В одной из своих последних книг ([17]) Ж. Пиаже приводит

экспериментальные данные о генезисе и формировании у детей (до 12 - 14 лет)

таких элементарных логических структур, как классификация и сериация.

Классификация предполагает выполнение операции включения (например, А + А'

= В) и операции, ей обратной (В - А' = А). Сериация - это упорядочение

предметов в систематические ряды (так, палочки разной длины можно

расположить в ряд, каждый член которого больше всех предыдущих и меньше

всех последующих).

Анализируя становление классификации, Ж.Пиаже показывают, как от ее

исходной формы, от создания "фигурной совокупности", основанной лишь на

пространственной близости объектов, дети переходят к классификации,

основанной уже на отношении сходства ("нефигурные совокупности"), а затем к

самой сложной форме - к включению классов, обусловленному связью между

объемом и содержанием понятия. Автор специально рассматривает вопрос о

формировании классификации не только по одному, но и по двум-трем

признакам, о формировании у детей умения изменять основание классификации

при добавлении новых элементов. Аналогичные стадии авторы находят и в

процессе становления сериации.

Эти исследования преследовали вполне определенную цель - выявить

закономерности формирования операторных структур ума и прежде всего такого

их конституирующего свойства как обратимость, т.е. способности ума

двигаться в прямом и обратном направлении. Обратимость имеет место тогда,

когда "операции и действия могут развертываться в двух направлениях, и

понимание одного из этих направлений вызывает ipso facto [в силу самого

факта] понимание другого" ([17], стр. 15).

Обратимость, согласно Ж. Пиаже, представляет фундаментальный закон

композиции, свойственный уму. Она имеет две взаимодополняющие и несводимые

формы: обращение (инверсия или отрицание) и взаимность. Обращение имеет

место, например, в том случае, когда пространственное перемещение предмета

из А в В можно аннулировать, переводя обратно предмет из В в А, что в итоге

эквивалентно нулевому преобразованию (произведение операции на обратную

есть тождественная операция, или нулевое преобразование).

Взаимность (или компенсация) предполагает тот случай, когда, например,

при перемещении предмета из А в В предмет так и остается в В, но ребенок

сам перемещается из А в В и воспроизводит начальное положение, когда

предмет находился против его тела. Движение предмета здесь не аннулировано,

но оно компенсировалось путем cоответствующего перемешения собственного

тела - и это уже другая форма преобразования, нежели обращение ([17], стр.

16).

В своих работах Ж. Пиаже показал, что эти преобразования возникают

вначале в форме сенсо-моторных схем (с 10 - 12 мес.). Постепенная

координация чувственно-двигательных схем, функциональная символика и

языковое отображение приводят к тому, что через ряд этапов обращение и

взаимность становятся свойствами интеллектуальных действий (операций) и

синтезируются в единой операторной структуре (в период с 7 до 11 и с 12 до

15 лет). Теперь ребенок может координировать все перемещения в одно по двум

системам отсчета сразу - одна мобильная, другая неподвижная.

Ж. Пиаже считает, что психологическое исследование развития

арифметических и геометрических операций в сознании ребенка (особенно тех

логических операций, которые осуществляют в них предварительные условия)

позволяет точно соотнести операторные структуры мышления со структурами

алгебраическими, структурами порядка и топологическими ([17], стр. 13).

Так, алгебраическая структура ("группа") соответствует операторным

механизмам ума, подчиняющимся одной из форм обратимости - инверсии

(отрицанию). Группа имеет четыре элементарных свойства: произведение двух

элементов группы также дает элемент группы; прямой операции соответствует

одна и только одна обратная; существует операция тождества;

последовательные композиции ассоциативны. На языке интеллектуальных

действий это означает:

. координация двух систем действия составляет новую схему, присоединяемую к

предыдущим;

. операция может развиваться в двух направлениях;

. при возвращении к исходной точке мы находим ее неизменной;

. к одной и той же точке можно прийти разными путями, причем сама точка

остается неизменной.

Факты "самостоятельного" развития ребенка (т.е. развития, независимого

от прямого влияния школьного обучения) показывают несоответствие порядка

этапов геометрии и этапов формирования геометрических понятий у ребенка.

Последние приближаются к порядку преемственности основных групп, где

топология является первой. У ребенка, по данным Ж. Пиаже, вначале

складывается интуиция топологическая, а затем он ориентируется в

направлении проективных и метрических структур. Поэтому, в частности, как

отмечает Ж. Пиаже, при первых попытках рисования ребенок не различает

квадратов, окружностей, треугольников и других метрических фигур, но

прекрасно различает фигуры открытые и закрытые, положение "вне" или

"внутри" по отношению к границе, разделение и соседство (не различая до

поры до времени расстояния) и т.д. ([17], стр. 23).

Рассмотрим основные положения, сформулированные Ж. Пиаже,

применительно к вопросам построения учебной программы. Прежде всего,

исследования Ж. Пиаже показывают, что в период дошкольного и школьного

детства у ребенка формируются такие операторные структуры мышления, которые

позволяют ему оценивать фундаментальные характеристики классов объектов и

их отношений. Причем уже на стадии конкретных операций (с 7 - 8 лет)

интеллект ребенка приобретает свойство обратимости, что исключительно важно

для понимания теоретического содержания учебных предметов, в частности

математики.

Эти данные говорят о том, что традиционная психология и педагогика не

учитывали в достаточной мере сложного и емкого характера тех стадий

умственного развития ребенка, которые связаны с периодом от 2 до 7 и от 7

до 11 лет.

Рассмотрение результатов, полученных Ж. Пиаже, позволяет сделать ряд

существенных выводов применительно к конструированию учебной программы по

математике. Прежде всего фактические данные о формировании интеллекта

ребенка с 2 до 11 лет говорят о том, что ему в это время не только не

"чужды" свойства объектов, описываемые посредством математических понятий

"отношение - структура" но последние сами органически входят в мышление

ребенка.

Традиционные программы не учитывают этого обстоятельства. Поэтому они

не реализуют многих возможностей, таящихся в процессе интеллектуального

развития ребенка.

Материалы, имеющиеся в современной детской психологии, позволяют

положительно оценивать общую идею построения такого учебного предмета, в

основе которого лежали бы понятия об исходных математических структурах.

Конечно, на этом пути возникают большие трудности, так как еще нет опыта

построения такого учебного предмета. В частности, одна из них связана с

определением возрастного "порога", с которого осуществимо обучение по новой

программе. Если следовать логике Ж. Пиаже, то, видимо, по этим программам

можно учить лишь тогда, когда у детей уже полностью сформировались

операторные структуры (с 14 - 15 лет). Но если предположить, что реальное

математическое мышление ребенка формируется как раз внутри того процесса,

который обозначается Ж. Пиаже как процесс складывания операторных структур,

то эти программы можно вводить гораздо раньше (например, с 7 - 8 лет),

когда у детей начинают формироваться конкретные операции с высшим уровнем

обратимости. В "естественных" условиях, при обучении по традиционным

программам формальные операции, возможно, только и складываются к 13 - 15

годам. Но нельзя ли "ускорить" их формирование путем более раннего введения

такого учебного материала, усвоение которого требует прямого анализа

математических структур?

Представляется, что такие возможности есть. К 7 - 8 годам у детей уже

в достаточной мере развит план мыслительных действий, и путем обучения по

соответствующей программе, в которой свойства математических структур даны

"явно" и детям даются средства их анализа, можно быстрее подвести детей к

уровню "формальных" операций, чем в те сроки, в которые это осуществляется

при "самостоятельном" открытии этих свойств.

При этом важно учитывать следующее обстоятельство. Есть основания

полагать, что особенности мышления на уровне конкретных операций,

приуроченном Ж. Пиаже к 7 - 11 годам, сами неразрывно связаны с формами

организации обучения, свойственными традиционной начальной школе. Это

обучение (и у нас, и за рубежом) ведется на основе предельно эмпирического

содержания, зачастую вообще не связанного с понятийным (теоретическим)

отношением к объекту. Такое обучение поддерживает и закрепляет у детей

мышление, опирающееся на внешние, прямым восприятием уловимые признаки

вещей.

Таким образом, в настоящее время имеются фактические данные,

показывающие тесную связь структур детского мышления и общеалгебраических

структур, хотя "механизм" этой связи далеко не ясен и почти не исследован.

Наличие этой связи открывает принципиальные возможности (пока лишь

возможности!) для построения учебного предмета, развертывающегося по схеме

"от простых структур - к их сложным сочетаниям". Одним из условий

реализации этих возможностей является изучение перехода к

опосредствованному мышлению и его возрастных нормативов. Указанный способ

построения математики как учебного предмета сам может быть мощным рычагом

формирования у детей такого мышления, которое опирается на достаточно

прочный понятийный фундамент.

1.3 Проблема происхождения алгебраических понятий и ее значение для

построения учебного предмета

Разделение школьного курса математики на алгебру и арифметику, конечно

же, условно. Переход от одного к другому происходит постепенно. В школьной

практике смысл этого перехода маскируется тем, что изучение дробей

фактически происходит без развернутой опоры на измерение величин - дроби

даются как отношения пар чисел (хотя формально важность измерения величин в

методических руководствах признается). Развернутое введение дробных чисел

на основе измерения величин неизбежно приводит к понятию действительного

числа. Но последнего как раз обычно и не происходит, так как учащихся долго

держат на работе с рациональными числами, а тем самым задерживают их

переход к "алгебре".

Иными словами, школьная алгебра начинается именно тогда, когда

создаются условия для перехода от целых к действительным числам, к

выражению результата измерения дробью (простой и десятичной - конечной, а

затем бесконечной).

Причем исходным может быть знакомство с операцией измерения, получение

конечных десятичных дробей и изучение действий над ними. Если учащиеся уже

владеют такой формой записи результата измерения, то это служит

предпосылкой для "забрасывания" идеи о том, что число может выражаться и

бесконечной дробью. И эту предпосылку целесообразно создавать уже в

пределах начальной школы.

Если понятие дробного (рационального) числа изъять из компетенции

школьной арифметики, то граница между нею и "алгеброй" пройдет по линии

различия между целым и действительным числами. Именно оно "рубит" курс

математики на две части. Здесь не простое различие, а принципиальный

"дуализм" источников - счета и измерения.

Следуя идеям Лебега относительно "общего понятия числа", можно

обеспечить полное единство преподавания математики, но лишь с момента и

после ознакомления детей со счетом и целым (натуральным) числом. Конечно,

сроки этого предварительного ознакомления могут быть разными (в

традиционных программах для начальной школы они явно затянуты), в курс

начальной арифметики можно даже вносить элементы практических измерений

(что имеет место в программе), - однако все это не снимает различия

оснований у арифметики и "алгебры" как учебных предметов. "Дуализм"

исходных пунктов препятствует и тому, чтобы в курсе арифметики по-

настоящему "приживались" разделы, связанные с измерением величин и

переходом к подлинным дробям. Авторы программ и методисты стремятся

сохранить устойчивость и "чистоту" арифметики как школьного учебного

предмета. Указанное различие источников является основной причиной

преподавания математики по схеме - сначала арифметика (целое число), затем

"алгебра" (действительное число).

Эта схема кажется вполне естественной и незыблемой, к тому же она

оправдывается многолетней практикой преподавания математики. Но есть

обстоятельства, которые с логико-психологической точки зрения требуют более

тщательного анализа правомерности этой жесткой схемы преподавания.

Дело в том, что при всем различии этих видов чисел они относятся

именно к числам, т.е. к особой форме отображения количественных отношений.

Принадлежность целого и действительного чисел к "числам" служит основанием

для предположения о генетической производности и самих различий счета и

измерения: у них есть особый и единый источник, соответствующий самой форме

числа. Знание особенностей этой единой основы счета и измерения позволит

более четко представить условия их происхождения, с одной стороны, и

взаимосвязь - с другой.

К чему же обратиться, чтобы нащупать общий корень ветвистого дерева

чисел? Представляется, что прежде всего необходимо проанализировать

содержание понятия величина. Правда, с этим термином сразу связывается

другой - измерение. Однако правомерность подобного соединения не исключает

определенной самостоятельности смысла "величины". Рассмотрение этого

аспекта позволяет сделать выводы, сближающие, с одной стороны, измерение со

счетом, с другой - оперирование числами с некоторыми общематематическими

отношениями и закономерностями.

Итак, что такое "величина" и какой интерес она представляет для

построения начальных разделов школьной математики?

В общем употреблении термин "величина" связан с понятиями "равно",

"больше", "меньше", которые описывают самые различные качества (длину и

плотность, температуру и белизну). В.Ф. Каган ставит вопрос о том, какими

общими свойствами эти понятия обладают. Он показывает, что они относятся к

совокупностям - множествам однородных предметов, сопоставление элементов

которых позволяет применить термины "больше", "равно", "меньше" (например,

к совокупностям всех прямолинейных отрезков, весов, скоростей и т.д.).

Множество предметов только тогда претворяется в величину, когда

устанавливаются критерии, позволяющие установить относительно любых его

элементов А и В, будет ли А равно В, больше В или меньше В. При этом для

любых двух элементов А и В имеет место одно и только одно из соотношений:

А=В, А>В, АВ, АВ.

4) Если А=В и В=С, то А=С.

5) Если А>В и В>С, то А>С.

6) Если А", "В исключает соотношение В>А (АВ, то ВА).

III. Если имеет место А>В, то не имеет места AА2, А2>А3,.., Аn-1>Аn, то А1>Аn.

VI. Если А1В, или

АВ и А=С, то С>В и т.д.).

Постулатами сравнения и теоремами, указывает В.Ф. Каган,

"исчерпываются все те свойства понятий "равно", "больше" и "меньше",

которые в математике с ними связываются и находят себе применение

независимо от индивидуальных свойств того множества, к элементам коего мы

их в различных частных случаях применяем" ([10], стр. 31).

Свойства, указанные в постулатах и теоремах, могут характеризовать не

только те непосредственные особенности объектов, которые мы привыкли

связывать с "равно", "больше", "меньше", но и со многими другими

особенностями (например, они могут характеризовать отношение "предок -

потомок"). Это позволяет встать при их описании на общую точку зрения и

рассматривать, например, под углом зрения этих постулатов и теорем любые

три вида отношений "альфа", "бета", "гамма" (при этом можно установить,

удовлетворяют ли эти отношения постулатам и теоремам и при каких условиях).

Под таким углом зрения можно, например, рассматривать такое свойство

вещей, как твердость (тверже, мягче, одинаковая твердость),

последовательность событий во времени (следование, предшествование,

одновременность) и т.д. Во всех этих случаях соотношения "альфа", "бета",

"гамма" получают свою конкретную интерпретацию. Задача, связанная с

подбором такого множества тел, которое бы имело эти отношения, а также

выявление признаков, по которым можно было бы характеризовать "альфа",

"бета", "гамма", - это есть задача на определение критериев сравнения в

данном множестве тел (практически ее в ряде случаев решить нелегко).

"Устанавливая критерии сравнения, мы претворяем множество в величину", -

писал В.Ф. Каган ([10], стр. 41).

Реальные объекты могут рассматриваться под углом зрения разных

критериев. Так, группа людей может рассматриваться по такому критерию, как

последовательность моментов рождения каждого ее члена. Другой критерий -

относительное положение, которое примут головы этих людей, если их

поставить рядом на одной горизонтальной плоскости. В каждом случае группа

будет претворяться в величину, имеющую соответствующее наименование -

возраст, рост. В практике величиной обычно обозначают как бы не самое

множество элементов, а новое понятие, введенное для различения критериев

Страницы: 1, 2, 3, 4