Математическая логика в младших классах

тогда, когда высказывания А и В оба истинны, либо оба ложны. Высказывания

данного вида называют эквиваленцией высказываний А и В и обозначают:

А ( В. Запись читают: а) А равносильно В; б) А тогда и только тогда,

когда В; в) А, если и только, если В.

Если из предложения А следует предложение В, а из предложения В следует

предложение А, то говорят, что предложения А и В равносильны.

Например, эквиваленция «2 = 3 тогда и только тогда, когда 3 < 5» - ?,

потому что ложно высказывание «2 = 3».

Все эти определения можно записать с помощью таблицы, называемой

таблицей истинности.

|А |В |А ? В |А ? В |? |А ( В |В ( А |(А(В) ? (В(А) |

|И |И |И |И |? |И |И |И |

|И |? |? |И | |? |И |? |

|? |И |? |И |И |И |? |? |

|? |? |? |? | |И |И |И |

В математике часто встречаются предложения, содержащие одну или

несколько переменных. Например: Х < 3; Х + У = 8. Эти предложения не

являются высказываниями, т. к. относительно их не имеет смысла вопрос,

истинны они или ложны. Но при подстановке значений переменных эти

предложения в высказывания (истинные или ложные).

Предложения такого вида называния высказывательными формами или

предикатами. Каждая высказывательная форма порождает высказывания одной и

той же формы. Высказывательная форма содержащая одну переменную называется

одноместной, а две двух местной.

И так, высказывательная форма – это предложение с одной или несколькими

переменными, которое обращается в высказывание при подстановке в него

конкретных значений переменных.

Среди всех возможных значений переменной существуют те, которые обращают

высказывательную форму в истинное высказывание. Множество таких значений

переменных называют множеством истинности высказывательной формы. Например,

множеством истинности предиката Х > 5, заданного на множестве

действительных чисел, буде промежуток (5;?).

Обозначим множество истинности высказывательной формы буквой Т. Тогда

согласно определению, всегда Т ( Х.

Также как и высказывания, предикаты бывают элементарные и составные.

Составные образуются из элементарных при помощи логических связок.

Пусть на множестве Х заданны два предиката А(х) и В(х). Предикат

А(х) ( В(х), х ( Х называют импликацией данных предикатов. Он обращается

в ложное высказывание лишь при тех значениях х из множества Х, при которых

предикат А(х) ( В(х) истинен. Говорят что предикат В(х) логически следует

из предиката А(х).

Вообще если на множестве Х заданны два предиката А(х) и В(х) и известно,

что предикат В(х) логически следует из предиката А(х), то предикат В(х)

называют необходимым условием для предиката А(х), а А(х) – достаточным

условием для предиката В(х). Очень часто слова «необходимое условие»

заменяют словами «только тогда», «только в том случае».

Мы выяснили, что при подстановки значений переменных в предикат,

получаем истинное или ложное высказывание. Но это превращение можно

осуществить и другим образом.

Если перед высказывательной формой «число х кратно 5» поставить слово

«всякое», то получится предложение «всякое число х кратно 5». Относительно

этого предложения можно задать вопрос, истинно оно или ложно. Значит

предложение «всякое число х кратно 5» (х ( N) – высказывание, причем

ложное.

Выражение «для всякого х» в логике называется квантором общности по

переменной х и обозначается символом (х.

Высказывание «существует х такое, что …» в логике называется квантором

существования по переменной х и обозначается символом (х.

Наряду со словом «всякий» употребляют слова «каждый», «любой», а вместо

слова «существует» используют слова «некоторые», «найдется», «есть», «хотя

бы один».

Используя слово «некоторый» в обычной речи имеют в виду «по меньшой мере

один, но не все», в математике же слово «некоторые» обозначает «по меньшей

мере один, но может быть, и все». И так, если задана одноместная

высказывательная форма А(х), то чтобы превратить ее в высказывание,

достаточно связать квантором общности или существования содержащуюся в ней

переменную. Если же высказывательная форма содержит несколько переменных,

то перевести ее в высказывание можно, если связать кванторм общности или

существования содержащуюся в ней переменную. Если же высказывательная форма

содержит несколько переменных, то перевести ее в высказывание можно, если

связать квантором каждую переменную. Например, если дана высказывательная

форма «х > у», то для получения высказывания надо связать квантором обе

переменные. Например, ((х)((у) х > у или ((х)((у) х > у.

Одна важно уметь не только переходить от высказывательной формы к

высказыванию с помощью кванторов, но и распознавать высказывания,

содержащие кванторы, и выявлять их логическую структуру.

Часто в высказываниях квантор опускается; например, переместительный

закон сложения чисел записывают в виде равенства а + в = в + а, которое

означает, что для любых чисел а и в справедливо равенство а + в = в + а, то

есть переместительный закон сложения есть высказывание с квантором

общности.

Истинность высказывания с квантором общности устанавливается путем

доказательства. Что бы убедиться в ложности таких высказываний, достаточно

привести контр пример.

Истинность высказывания с квантором существования устанавливается при

помощи конкретного примера. Чтобы убедится в ложности такого высказывания,

необходимо привести доказательство.

Понятия: высказывания, предиката и операции над ними позволяют выяснить

логическую структуру многих утверждений. Этому способствует и использование

при их записи символов, применяемых в логике.

При изучение математики часто приходится рассматривать предложения,

называемые теоремами. Каким бы ни было содержание теоремы, она всегда

представляет собой высказывание, истинность которого устанавливается при

помощи доказательства.

Итак, теорема - это высказывание о том, что из свойства А следует

свойство В. Истинность этого высказывания устанавливается путем

доказательства.

С логической точки зрения теорема представляет собой высказывание вида

А ( В, где А и В – высказывательные формы с одной или несколькими

переменными. Предложение А называют условием теоремы, а предложение В – ее

заключением.

Теоремы из А ( В и В ( А называются обратными друг другу, а теоремы

А ( В и ? ( В называются противоположными друг другу.

Теорему В ( ? называют обратной противоположной. Установлено, что

теорема А ( В и B ( А равносильны, то есть всегда когда истинна теорема

А ( В, будет истинна и теорема В ( А, и наоборот А ( В равносильно B (

А. Полученную равносильность называют законом контр позиции.

В математике кроме теорем используются предложения, называемые правилами

и формулами.

Для того, чтобы теоремой было удобнее пользоваться на практике, ее

формулируют в виде правила и записывают только формулу, опуская все

условия, указанные в теореме. Такие упрощения позволяют быстрее запоминать

правила и формулы.

§ 3. Анализ учебника по математике 2-го класса М. И. Моро.

Изучение числовых выражений во втором классе начинается со страницы 9.

Здесь дети знакомятся с понятием числовые выражения. И для закрепления этой

темы в учебнике предложены следующие упражнения:

1. Прочитай выражения и найди их значения 90 – 4; 38 + 20.

Данное упражнение развивает вычислительные навыки у детей, умение правильно

читать выражения.

2. Запиши выражения и найди их значения:

а) Сумма чисел 2 и 9; 5 и 6.

б) Разность чисел 16 и 7; 14 и 6.

Задание формирует умение записывать числовые выражения и развивает

вычислительные навыки.

3. Сравни выражения 45 – 10 * 45 – 8; 18 + 40 * 18 + 30.

При выполнение данного упражнения у детей развивается логическое мышление.

4. Сумма каких однозначных чисел равна 15, 16, 17?

Данное упражнение развивает логическое мышление, вычислительные навыки,

активизирует мыслительную деятельность.

5. Слагаемые 18 и 80. Найди сумму.

При решении данного задания закрепляются знания таких компонентов как

слагаемые и сумма, умение пользоваться ими.

6. Представь число 8 в виде суммы одинаковых слагаемых.

Развивает логическое мышление учащихся.

7. Составь задачи по выражениям: 2 · 4; 12 : 3.

Развивает логическое мышление.

В учебнике много заданий данных типов, они отрабатывают вычислительные

навыки учащихся, помогают осознать понятие «числовые выражения», но они не

содержат элементов занимательности. А так же, очень мало упражнений

направленных на развитие логического мышления. Поэтому необходимо

использовать дополнительные задания развивающего характера. Это могут быть

следующие задания:

1. Найдется ли среди трех чисел такое, которое является разностью двух

других:

а) 4; 8; 4. б) 2; 4; 4. в) 2; 7; 5. г) 3; 3;

3.

2. Какие из выражений имеют одинаковые значения: 480 + 20; 75 + 25; 294 +

0; 480 – 20; 300 – 200; 294 + 0; 75 – 25; 300 + 200.

В данном задании формируется одновременно два понятия: нахождение значения

выражения и сравнение полученных значений выражений.

3. Реши примеры по следующим программам:

а) 345 -> -> ->

в) 894 -> -> ->

4. Вставь подходящий знак действия «+» или «-», чтобы ответ был верным:

2 + 6 * 2 = 10; 20 – 9 * 7 = 18; 9 + 10 * 3 = 16; 10 – 3 * 4 = 12;

5. Распредели числа 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 на две группы так, чтобы сумма двух

любых чисел в одной группе не был а равна никакому числу второй.

6. Составь выражения:

а) На представление в цирк пошли 12 мальчиков и 15 девочек 2 «А» класса.

Сколько всего детей этого класса пошли в цирк?

б) На арену выбежали 5 пуделей, а болонок – на 3 больше. Сколько болонок

на арене?

Все эти задания не только формируют вычислительные навыки, но и

развивают логическое мышление и все это осуществляется с элементами

занимательности, игры. Задания довольно разнообразны и отличаются друг от

друга.

Далее, на странице 58, вводятся понятия «равенство и неравенство». А для

закрепления данное темы Моро предлагает следующие задания:

1. Составь два верных равенства и два верных неравенства, используя

выражения: 23 + 12; 40 – 16; 12 + 23; 40 – 5.

Выполняя данное упражнение дети хорошо видят отличие равенства от

неравенства. В данном упражнении отрабатываются понятия равенство,

неравенство, развивается логическое мышление.

2. Проверь верны ли следующие записи: 9 · 3 = 27; 16 – 8 =16; 6 + 9 = 9 +

6; 2 · 7 > 2 · 6; 2 · 9 < 9 · 2; 37 + 6 > 37.

Данное упражнение направленно на отработку вычислительных навыков.

3. Вставь вместо звездочек знаки плюс или минус, чтобы получились верные

равенства: 76 * 4 * 7 = 73; 38 * 5 * 6 = 39.

Направленно на развитие вычислительных навыков, развитие логического

мышления.

4. Подбери такие числа, чтобы получились верные равенства или верные

неравенства: 9 · 6 = 6 · ; 8 · 2 > ; 6 : 3 < ; 56 – 8 < .

5. Поставь, где нужно, скобки так, что бы получились верные равенства:

76 – 20 + 5 = 51; 53 – 18 – 15 = 20.

Данное упражнение одновременно отрабатывает знания порядка действий.

6. Запиши неравенство:

а) Произведение чисел 6 и 2 больше их частного.

б) Сумма чисел 36 и 9 меньше разности этих чисел.

Данная в учебнике система упражнений довольно таки разнообразна,

интересна присутствуют упражнения направленные на развитие логического

мышления, на отработку вычислительных навыков, что очень важно в младших

классах. Но не достаточно занимательности, игровой формы. И для повышения

интереса у детей к математике можно использовать следующие задания:

1. Вставь вместо рожиц одну и ту же цифру так, чтобы равенство стало

верным:

1 ( + 3 ( + 5 ( = 111; ( 0 + ( 1 + ( 2 = 273.

2. Переставляя цифры, сделай равенство верным: 7 3 – 2 5 = 5 8.

3. В окошко по очереди показываются числа 3, 7, 6, 4. В каких случаях

получается верное равенство и в каких не верное?

4. Зайцы играют в футбол. Хитрый вратарь решил пропустить в ворота мяч,

который сделает равенство верным: 4 + = 11. Какой заяц забьет гол?

Удастся ли забить гол игроку под номером 9?

5. Из чисел 56, 6, 18 составьте все возможные разности. Какие из этих

разностей не имеют смысла?

6. Назовите все цифры, при подстановке которых вместо звездочки получается

верное неравенство: 3 * 2 > 355; * 68 < 443; 875 > 87 *; 406 < 4 * 7; *68

< 268.

При выполнение данного упражнения закрепляются правила сравнения чисел.

7. Неравенство имеет вид 10 – х < 5. Какие значения может принимать х?

Укажите все значения х, при которых получится:

а) Верное неравенство;

б) Не верное неравенство.

Здесь представлены задания повышенной трудности, но при выполнении

которых происходит более глубокое усвоение темы, также ведется подготовка

к изучению уравнений в частности это происходит при выполнении упражнения

под номером 7. Но так как такие неравенства не вводятся в начальной школе

объяснить его следует более подробно и помочь в случае затруднения.

Так же во втором классе рассматриваются такие темы как: «Порядок

действий в выражениях без скобок» (стр. 83), «Порядок действий в выражениях

со скобками» ( стр. 86) и для закрепления данных тем в учебнике предложены

следующие упражнения:

1. Решение задач путем составления выражений.

2. Составь задачу по выражению: 4 · 6 – 14; ( 12 + 16) : 4.

Данные два задания развивают логическое мышление у учащихся. Учат как

оставлению задачи по выражению, так и обратно, составление выражения по

задачи.

3. Объясни решение: 30 – 4 · 7 = 30 – 28 = 2

17 +

32 : 8 = 17 + 4 = 21

76. - (27 + 9) + 8 = 76 – 36 +8 = 48

49 + 9 · (20 – 17) = 43 +9 · 3 = 43 +27 = 70

Данное задание направленно как на отработку вычислительных навыков, так и

на закрепление знаний правил порядка действий.

4. Вычисли значения выражений: 26 + 24:4; 71 – 16: 2; 10 · (30 – 24); (22

+ 14) : 4.

5. Запиши выражения и вычисли их значения:

а) Из числа 82 вычесть произведение чисел 5 и 7.

б) Разность чисел 31 и 22 умножить на 4.

в) Сумму чисел 9 и 19 разделить на 7.

Данное упражнение хорошо использовать на математических диктантах. Оно

направленно на развитие вычислительных навыков, закрепление таких понятий

как сумма, произведение, разность и частное.

6. Найди значение выражений удобным способом: 15 – (5 + 3); 46 + ( 4+2).

Направленно на развитие логического мышления.

Но данная система упражнений довольно «суха» и ее следует дополнить

заданиями, например, такого типа:

1. Составь программу действий и найди значение выражения. Сделай вывод.

30 – 4 + 21 – 8 = ; 24 : 3 : 2 · 5 = ; 36 : 4 + ( 47 – 39)

· 5 = + = .

Данное упражнение направленно не толь на отработку вычислительных навыков,

а так же оно учит детей делать самостоятельные выводы, рассуждать, то есть

не автоматически выполнять задание, а обдуманно.

2. Составь по схемам выражения и найди их значения. Чем они отличаются друг

от друга? В каком порядке следует выполнять действия, если в выражении

есть скобки?

Задание содержит элемент занимательности, что повышает интерес к выполнению

задания. Развивает внимание ребенка, наблюдательность.

3. Выберете значение выражения 96 – 24 + 12 : 6 из чисел: 90, 74, 70, 14.

4. Выберите выражения значения которых равны 80: 20 + 20 · 2; 95 - 10 + 5;

84 – 12 + 48 : 6; 5 + 90 : 6 · 5.

5. Из схем выбрать те, в которых умножение надо выполнять вторым действием:

а) ( + ( · ( г) ( + (( - ()· (

б) ( · ( + (( + () д) ( : ( · ( : (

в) ( + ( · ( + ( е) ( : ( ( + () · (

Данные упражнения более разнообразны, в них используются элементы

занимательности, они развивают внимание, логическое мышление,

наблюдательность, повышают интерес.

Затем, на странице 129, изучают тему «Выражения с переменными» и

закрепляют при помощи следующего ряда заданий:

1. Прочитай выражение: в – 9. Найди его значение, если в = 20, 18, 12, 9.

В данном задании происходит не только письменное, но и устное знакомство с

выражениями с переменной, то есть при произношении выражения дети

воспринимают не только зрительно, но и при помощи слуховых анализаторов.

2. Заполни таблицу:

|В |0 |1 |2 |3 |4 |5 |

|20·в | | | | | | |

В упражнении дается понятие о переменной, а так же о значениях переменной.

3. Запиши выражение а + в. Вычисли значение выражения, если а = 16, в = 37.

В данном задание вводится выражение с двумя переменными, но оно не

продуктивно тем, что в нем присутствует только одно, из четырех,

арифметическое действие – сложение.

4. Вычисли значения выражения а : с при значениях букв, указанных в

таблице:

|а |23 |34 |84 |0 |36 |36 |

|с |23 |17 |28 |81 |1 |12 |

Данное задание аналогично предыдущему.

То есть, видно, что в учебнике предложены однотипные задания, прием,

необходимо выполнить целых четыре упражнения, чтобы использовать все четыре

арифметических действия, так как формирование вычислительных навыков – это

одна из важнейших задач начальной школы. И поэтому необходимо использовать

более разнообразные и продуктивные задания:

1. Расшифруй фамилию известного писателя сказочника, расположив ответы

примеров в порядке убывания.

|а |0 |66 |87 |102 |200 |

|х | | | | | |

О А Б В Ж

| | | | | |

| | | | | |

Данное задание направленно не только на формирование представлений о

переменных, но кроме этого оно содержит в себе несколько заданий:

расположить в порядке убывания, два арифметических действия, сравнение

чисел. Так же упражнение развивает внимательность и предложено в

занимательной форме, что привлекает детей и вызывает интерес к заданию.

2. Сравни: а + 301 … а + 103; в – 408 … в + 48; с – 206 … с – 260; 97 – х

… 79-х.

Упражнение направленно на развитие логического мышления, так как дети

сравнивают выражение, содержащие переменную, отрабатываются правила

сравнения.

3. Можно ли назвать все числа, которые обращают неравенство в верное: х >

5; y < 15; х + 1 < 1.

Данное задание как и предыдущие, содержат в себе несколько заданий.

во-первых, отрабатывается тема «выражения с переменной», а так же

значение переменной, так как для ответа на поставленный вопрос ребенок

может подставлять различные значения переменной. Во-вторых, необходимо

выполнить сравнение и данное упражнение развивает логическое мышление, так

как ответить на поставленный вопрос можно, не подставляя значения

переменных.

4. Задача: Платье стоит а рублей, а костюм – в рублей. На сколько платье

дешевле костюма?

Решение данной задачи заключается в составление буквенного выражения.

Так же во втором классе изучается тема «Уравнения». И для закрепления

данной темы Моро предлагает следующие задания:

1. Прочти уравнение и реши их: х + 5 = 9; 12 – х = 7; х –3 = 6; 7 + х = 13.

2. Реши уравнения и сделай проверку.

В данных заданиях детям предлагается решить уравнения. Даны простейшие

уравнения без дополнительных заданий, то есть задание направленно только на

закрепление темы, без какой либо занимательности.

3. Найди уравнения и реши их: х – 8 = 9; 5 + 7 = 12; а + 17; 8 + х = 14.

Это задание учит детей отличать уравнения от числовых выражений.

4. Назови уравнения, в которых неизвестное число равно 8: х · 2 = 20; 6 · х

= 48; х : 2 = 5; 40 : х = 5.

Задание развивает не только умение решать уравнения, но и внимательность.

Заданий на данную тему очень мало, они все однообразны, не содержат

элементов занимательности, поэтому их необходимо дополнять:

1. Какими числами можно заменить фигурки: ? + ( = 1 ( : ( = 25

( - ? = 25 ? · ( = 0

(? - 0; ( - 1; ( - 25).

Задание очень хорошо развивает логическое мышление учащихся,

внимательность, а так же содержит элемент занимательности. Его можно

испоьзовать, как подготовительное к изучению темы «Уравнения». Содержит

примеры на все арифметические действия.

2. В записи каких уравнений допущена ошибка? Найди неизвестное делимое:

х : 5 = 3 (ост. 2) с : 2 = 7 (ост. 1)

а : 7 = 4 (ост. 1) р : 6 = 9 (ост. 7)

в : 9 = 2 (ост. 9) к : 3 = 12 (ост. 2)

Данное задание формирует умение не только решать уравнения, но и решать

примеры с остатком.

3. Объясни, почему при любом значении х значение выражения х + 2 больше

значения х.

Задание развивает логическое мышление, формирует вычислительные навыки.

4. Подбери пропущенные числа:

( > ( > ( > ( > (

Задание направленно на формирование умения находить значение переменной.

5. Наташа задумала число, умножила его на два, прибавила 5. Затем она

разделила результат на 7, прибавила 49 и получила 52. Какое число

задумала Наташа?

|Х | |

|· 2 | |

|+5 | |

|: 7 | |

| | |

|+ 49| |

|52 | |

Этот способ помогает детям быстро и правильно решать любые уравнения,

даже длинные, с большим количеством арифметических действий. А так же

присутствует элемент занимательности.

Таким образом, можно сделать вывод о том, что в учебнике Моро второго

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5