Реферат: Статистика

Для определения характеристик выборочной совокупности воспользуемся результатами  предыдущего задания. Так, по ряду распределения определили, что средняя величина капитала составляет Х=758млн. руб., а дисперсия равна 19234.

Для расчета ошибок выборки следует воспользоваться формулами для бесповоротного отбора, так как по условию можно определить численность генеральной совокупности (N).

Средняя ошибка выборки для средней величины (mx)

mx=Ös2/n-1Ñ(1-n/N),

                        где s2 – дисперсия выборочной совокупности;

                               n – численность единиц выборочной совокупности;

                               N – численность генеральной совокупности;

Так как n = 25, что составляет 5% от численности генеральной совокупности, то N=500.

mx=Ö(19234/25-1)Ñ(1-25/500)= Ö761,349=27,59

Предельная ошибка для средней

Dx=tÑmx,

t- коэффициент доверия, принимаемый в зависимости от уровня доверительной вероятности 0,95 и числа степеней свободы  (к) k=n-1 для малой выборки определяется по таблице Стьюдента.

При вероятности Р=0,95 и к=24 значение t=2,0639

Dx=2,0639Ñ27,59=56,9

                                                Доверительный интервал

х-Dx<x<x+Dx;                        758-56,9<x<758+56,9

                                                     701,1<x<814.9

            С вероятностью 0,95 можно гарантировать, что средняя величина капитала в  расчете на один банк по генеральной совокупности будет находиться в пределах от 701,1млн. руб., до 814,9млн. руб.

Долю банков, у которых капитал превышает среднюю величину (W), для выборочной совокупности определим по первичным данным (табл. 1) число таких банков 13, их доля в выборочной совокупности:

W=13/25=0,52

Средняя ошибка доли для бесповоротного отбора:

mx=Ö (w(1-w)/n-1)Ñ[1-n/N];      mx=Ö (0,52Ñ(1-0,52)/25-1)Ñ[1-25/500]

                                                                  mx=Ö0,00988=0,09939

Предельная ошибка Dw=tÑmw. При вероятности 0,95 t=2.

Dw=2Ñ0,09939=0,2

Доверительный интервал

w-Dw<p<w+Dw,

где р - доля единиц по генеральной совокупности

0,52-0,2<p<0,52+0,2

      0,32<p<0,72

Следовательно, с вероятностью 0,95 можно гарантировать, что доля банков, у которых величина капитала больше среднего значения будет находиться пределах от 32% до 72%

Задание №7, 8, 9.

Установить наличие и характер связи между величиной факторного и результативного признаков используя:

                    а) данные групповой таблицы;

                    б) поле корреляции;

                    в) график эмпирической линии регрессии.

    Определить тесноту корреляционной связи, используя линейный коэффициент корреляции, дать оценку его существенности.

Рассчитать параметры и найти уравнение парной регрессии. Дать его экономическую интерпретацию.

Выполнение п. 7,8,9 задания связано с корреляционным анализом.

Корреляционной называют взаимосвязь между факторным и результативным показателем, которая проявляется только «в общем и среднем» при массовом наблюдении фактических данных.

Условиями корректного использования корреляционного метода является однородность совокупности, отсутствие выделяющихся, «аномальных» наблюдений, достаточно большое число единиц совокупности.

Проверка исходных данных на однородность и аномальность наблюдений выполнена ранее.

            При проведении корреляционного анализа решаются следующие вопросы:

-      содержательный анализ исходных данных и установление факторного и результативного показателей;

-      установление факта наличия связи, определение ее направления и формы;

-      измерение степени тесноты связи;

-      расчет параметров регрессионной модели и нахождение аналитического выражения связи (уравнения регрессии);

-      оценка адекватности модели, ее экономическая интерпретация.

Содержательный анализ исходных данных выполнен ранее и установлено, что капитал – факторный признак (Х), прибыль – результативный (Y).

Установление факта наличия связи осуществляется на основе групповой таблицы (табл. 5а) и графическим способом путем изображения поля корреляции и графика эмпирической линии регрессии (рис. 1).

Анализ таблицы 5а свидетельствует о прямой связи между капиталом и прибылью банков.

                                                                                                Таблица 5а

Эмпирическую линию регрессии (рис. 1) строим по данным табл. 5а, принимая за Xi середину интервала, за Yi прибыль в среднем на один банк по каждой группе.

Поле корреляции, имеющее форму вытянутого эллипса, и направление эмпирической линии регрессии свидетельствует также о наличие прямой зависимости между прибылью и капиталом банка.

Предполагая, что зависимость между капиталом и прибылью, имеет линейную форму, определим тесноту связи на основе линейного коэффициента корреляции. Для этого воспользуемся расчетами, выполненными в табл. 4.

r[L1] [L2] =å(Xi-X)(Yi-Y)/nÑsxÑsy; sx=147млн. руб.;       sу=Ö960,85/25=6,2

r=21221,5/(25Ñ147Ñ6.2)=21221.5/22785=0,93

            Значения линейного коэффициента корреляции могут находиться в интервале

                        0<|r|<1

Чем ближе его значение к 1, тем теснее связь.

Значение r = 0,93 свидетельствует о достаточно тесной связи между величиной капитала и прибыли.

Однако, чтобы это утверждать, необходимо дать оценку существенности линейного коэффициента корреляции, что можно выполнить на основе расчета t-критерия Стьюдента.

Tpac=rÖn-2/Ö 1-r2,    tpac=(0,93ÑÖ 25-2)/Ö 1-0,8649=4,46/0,3676=12,1328

tтабл находим по таблице Стьюдента. Для числа степеней свободы  r=n-2=25-2=23 и уровня значимоcти 1% tтабл = 2,8073. 12,1328>2,8073. Следовательно, с вероятностью 0,99 можно утверждать, что в генеральной совокупности существует достаточно тесная зависимость между величиной капитала и прибылью банка.

В случае линейной связи параметры уравнения регрессии

Y=a+bx могут быть найдены решением системы нормальных уравнений:

å Y=na+b åX

å XY=a å x+b å x

или b=rÑ (sу/sх),     а=у-bx;

тогда b=0,93Ñ6,2/147=5,776/174=0,039;  a=12,6-0,039Ñ761=12,6-29,68=-17,08

y=-17,08+0,039x

Коэффициент регрессии b = 0,039 свидетельствует о том, что при увеличение капитала на 1 млн. руб. Прибыль возрастет на 0,039 млн. руб. или на 39 тыс. руб.

По коэффициенту регрессии можно рассчитать коэффициент эластичности (Эi) и b - коэффициент

Эx=bÑ(x/y);  bx=bÑ(sх/sу).

Коэффициент эластичности показывает, на сколько процентов увеличится результативный показатель при увеличение факторного признака на 1%.

b - коэффициент говорит о том, на сколько своих среднеквадратических отклонений изменится результативный показатель при изменении факторного признака на одно свое среднеквадратическое отклонение.

Эх=0,039Ñ761/12,6=2,355 или 2,4

Следовательно, при увеличении капитала на 1%, прибыль увеличится на 2,4%

bх=0,039Ñ174/6,2=1,09

При увеличении капитала на одно свое среднеквадратическое отклонение прибыль увеличится на 1,09 своих среднеквадратических отклонений.

Задание №10.

В п. 10 задания необходимо выполнить анализ динамики прибыли.

Анализ динамики выполняется путем расчета показателей:

1) характеризующих изменение анализируемого показателя по периодам (абсолютный прирост (А), если темп (коэффициент) роста (Тр), темп прироста  (Тпр), абсолютное значение одного процента прироста), которые могут быть рассчитаны цепным методом и базисным. Цепные показатели динамики характеризуют  изменение каждого последующего показателя  с предыдущим, а базисные по сравнению с уровнем, принятым за базу сравнения.

Аi=уi-yi-1;          Ai=yi-y0;

где уi – уровень сравниваемого периода;

       yi-1 – уровень предыдущего периода;

                   y0 – уровень базисного периода.

ТPi=(yi/yi-1)Ñ100;       Tpiб=(yi/y0)Ñ100

Если темпы роста выразить в виде коэффициентов (Кр), то между цепными и базисными будет следующая взаимосвязь:

Кб3/0=уi/y0Ñy2/y1Ñy3/y2

То есть произведение цепных коэффициентов роста за последовательные периоды времени равно базисному за весь период

Tnpi=Tp-100;      Tбазпр=Тpб-100

Абсолютное значение одного процента рассчитывается отношением цепного абсолютного прироста. Пункты роста  (Пр) представляют собой разность базисных темпов роста, выраженных в процентах.

Пpi=Tбpi- Tбpi-1

2) Средних показателей динамики:

Средний уровень ряда для периодических рядов с уровнями, выраженными абсолютными величинами.

Y=å уi/n

Средний абсолютный прирост (D)

D = å Di/n-1

где n – число уровней ряда.

Средний коэффициент роста  (Кр)

Кр=n-1Ö К1ÑК2.....ÑКn-1=Ö YN/Y0

Tp=KpÑ100;

Средний темп прироста Тпр=Тр-100.

По данным о прибыли банка №1 за период IV квартала предыдущего года по IV квартал отчетного года рассчитаем приведенные выше показатели динамики.

Таблица №6

Средний уровень ряда, в данном случае есть смысл рассчитать по показателям прибыли за отчетный год:

Y=21,3+27,4+26,5+28,1/4=25,85 (млн. руб.)

Средняя квартальная величина прибыли за отчетный год составила 25,85 млн. руб.

Средний темп роста:

Кр=4Ö 1,104Ñ0,864Ñ1,092Ñ1,124=4Ö 1,71=1,040; Тр=104%

Средний квартальный темп роста прибыли составил 104%, а темп прироста  4%.

Показатели динамики свидетельствуют о ежеквартальном росте прибыли кроме II квартала отчетного года, когда было допущено снижение на 2,9 млн. руб., что составило 13,6%. В целом за отчетный год прибыль возросла на 3,3 млн. руб., (17,1%)

Задание №11.

Найти прогнозное значение прибыли на первый квартал следующего года, используя метод аналитического выравнивания.

В №11 задания необходимо найти прогнозное значение прибыли на следующий период, то есть 1 квартал следующего года.

Для этого используют метод аналитического выравнивания по прямой.

Y$ =a+bt, где t – порядковый номер периодов времени.

Параметры уравнения тренда “a” и “b” находят решением системы нормальных уравнений прямой:

å y=na+b å t

å ty=a å t+b å t2

Нахождение параметров  значительно упрощается при использовании метода отсчета от условного нуля, тогда å t=0, а система уравнения примет вид:

å y=na

å ty=b å t2

откуда a=å y/n;     b=å ty/ å t2

Расчет параметров уравнения тренда выполнен по данным таблицы №7

Таблица №7.               

 а=101,7/5=20,34               b=5,4/10=0,54

Используя приведенное уравнение, рассчитаем для каждого периода теоретическое значение  для IV квартала предыдущего года:

y$iv=20,34+0,54(-2)=19,26

для I квартала отчетного года

y$i=20,34+0,54(-1)=19,8 и так далее.

Сумма расчетных значений равна сумме фактических значений прибыли, что подтверждает правильность ответов.

Для нахождения прогнозного значения прибыли на I квартал следующего года необходимо в уравнении тренда подставить соответствующее значение t=3.

y$пр =20,34+0,54(3)=21,96 млн. руб.

Это так называемый точечный прогноз. Однако, фактическое значение всегда будет отличаться от этой величины, поэтому находят доверительные интервалы прогноза:

y$пр ± taS/Ö n,

где S – среднее квадратическое отклонение от тренда;

       ta - табличное значение   t – критерия Стьюдента при уровне значимости a;

S=Öå (уi- y$)2/n-m

Где Yi , Y – соответственно фактические и расчетные значения уровней динамического ряда;

n – число уровней ряда;

m – число параметров в уравнении тренда (для прямой m=2);

S=Ö 8,016/5-2=Ö 2,672=1,6

Относительная ошибка уравнения

S/yÑ100=1,6/20,34Ñ100=7,86

ta при уровне значимости 5%, (что соответствует вероятности 0,95) и числе степеней свободы  n – m=3 равно 3,183 (по табл. Стьюдента)

taÑS/Ö n=3,183Ñ(1,6/Ö 5)=2,278

21,96-2,278< y$прогн<21,96+2,278

        19,682< y$прогн<24,238

С вероятностью 0,95 можно утверждать, что прибыль банка №1 в I квартале следующего года будет находиться в пределах от 19,682 млн. руб. до 24,238 млн. руб.

Список использованной литературы:

1.   Ефимова М.Р., Петрова Е.В. Румянцев В.Н. Общая теория статистики: Учебник. – М.: ИНФРА-М, 1988.

2.   Елисеева И.И., Юзбашев М.М. Общая теория статистики. Учебник/под ред. чл. корр. РАН Елисеевой. М.: Финансы и статистика, 1995.

3.   Статистика . Учеб. пособие/ Под ред. А.В. Череховича. – М.: Наука 1997

4.   Статистическое моделирование и прогнозирование. Учеб. пособие/ Под ред. А.Г. Гранберга. – М.: Финансы и статистика, 1990.

Министерство общего и профессионального образования РФ

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ УПРАВЛЕНИЯ

Институт заочного обучения

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА ПО ПРЕДМЕТУ

Статистика

Факультет Финансовый менеджмент

     Проверил ___________________

     Оценка ___ОТЛ______________

Москва 1999 г.

 [L1]

 [L2]