Реферат: Синтез оптимальных уравнений

то в этой форме принцип максимума будет справедлив без каких бы то ни было предположений о функции ω, т. е. принцип максимума станет весьма удобным и широко применимым необходимым условием оптимальности.

§ 3.  Пример. Задача синтеза

7.   Пример применения принципа максимума. В этом пункте мы разберём один пример вычисления оптимальных процессов. Именно, рассмотрим управляемый объект, упомянутый в п. 3 (см. уравнения (1.1)), при условии, что сила трения и упругая сила отсутствуют (т. е. b=0, k=0), масса m равна единице (m=1), а управляющий параметр подчинён ограничениям |u|≤1. Иначе говоря, мы рассматриваем материальную точку G массы m=1 (см. рис. 10), свободно и без трения движущуюся по горизонтальной прямой и снабжённую двигателем, развивающим силу u, где |u|≤1. Согласно (1.1) уравнения движения этого объекта имеют вид:

                                                                                            (1.29)

─1≤u≤1.                                                                                               (1.30)

Для этого объекта рассмотрим задачу о быстрейшем попадании в начало координат (0, 0) из заданного начального состояния x0=(x01, x02). Иначе говоря, будем рассматривать задачу об оптимальном быстродействии в случае, когда конечным положением служит точка x1=(0, 0). Механически это означает, что материальную точку, имеющую заданное положение x01 и заданную начальную скорость x02, мы хотим за кратчайшее время привести в начало отсчёта с нулевой скоростью (т. е. добиться того, чтобы точка пришла в начало отсчёта и остановилась там).

Функция H в рассматриваемом случае имеет вид

H=ψ1x2+ψ2u                                                                                         (1.31)

(см. (1.29) и (B)). Далее, для вспомогательных переменных ψ1, ψ2 мы получаем систему уравнений . Из этой системы уравнений находим:       ψ1=d1;  ψ2= ─d1t+d2, где d1, d2 ─ постоянные интегрирования. Далее, в силу соотношения максимума (D) мы находим, учитывая (1.31) и (1.30):

u(t)= +1, если ψ2(t)>0;   u(t)= ─1, если ψ2(t)<0.

Иначе говоря, u(t)=sign ψ2(t)=sign (─ d1t + d2). Отсюда следует, что каждое оптимальное управление u(t), t0≤t≤t1, является кусочно-постоянной функцией, принимающей значения  и имеющей не более двух интервалов постоянства (ибо линейная функция ─d1t + d2 не более одного раза меняет знак на отрезке t0≤t≤t1).

Для отрезка времени, на котором u1, мы имеем (в силу системы (1.29)) , откуда находим

x1=1/2(x2)2+c.                                                                                       (1.32)

Таким образом, кусок фазовой траектории, для которого u1, представляет собой дугу параболы (1.32). Семейство парабол (1.32) показано на рис. 13 (они получаются друг из друга сдвигом в направлении оси x1). По этим параболам фазовые точки движутся снизу вверх (ибо = u1, т. е. ).

Аналогично для отрезка времени, на котором u ─1, мы имеем, откуда находим

x1= ─1/2(x2)2 + c’.                                                                                (1.33)

Семейство парабол (1.33) (также получающихся друг из друга сдвигом в направлении оси x1) показано на рис. 14. По параболам (1.33) фазовые точки движутся сверху вниз (ибо )

Как было указано выше, каждое оптимальное управление u(t) является кусочно-постоянной функцией, принимающей значения  и имеющей не более двух интервалов постоянства. Если управление u(t) сначала, в течение некоторого времени, равно +1, а затем равно ─1, то фазовая траектория состоит из двух кусков парабол (рис. 15), примыкающих друг к другу, причём второй из этих кусков лежит на той из парабол (1.33), которая проходит через начало координат (ибо искомая траектория должна вести в начало координат). Если же, наоборот, сначала u= ─1, а затем u= +1, то мы получаем фазовую траекторию, изображённую на рис. 16. На рис. 15, 16 надписаны на дугах парабол соответствующие значения управляющего параметра u.

На рис. 17 изображено всё семейство полученных таким образом фазовых траекторий (здесь AO ─ дуга параболы x1=1/2(x2)2, расположенная в нижней полуплоскости; BO ─ дуга параболы x1= ─1/2(x2)2, расположенная в верхней полуплоскости).

Итак, согласно принципу максимума только изображённые на рис. 17 траектории могут быть оптимальными, причём видно, что из каждой точки фазовой плоскости исходит только одна траектория, ведущая в начало координат, которая может быть оптимальной (т. е. задание начальной точки x0 однозначно определяет соответствующую траекторию).

8.   Проблема синтеза оптимальных управлений. Посмотрим на разобранный в предыдущих пунктах пример с несколько иной точки зрения. Найденное выше решение оптимальной задачи можно истолковать следующим образом. Обозначим через v(x)= +1 ниже линии AOB и на дуге AO, v(x)= ─1 выше линии AOB и на дуге BO. Тогда (см. 17) на каждой оптимальной траектории значение u(t) управляющего параметра (в произвольный момент времени t) равно v(x(t)), т. е. равно значению функции v в той точке, в которой в момент t находится движущаяся фазовая точка, пробегающая оптимальную траекторию u(t)=v(x(t)). Это означает, что, заменив в системе (1.29) величину u функцией v(x), мы получим систему

                                                                                  (1.34)

решение которой (при произвольном начальном состоянии x0) даёт оптимальную фазовую траекторию, ведущую в начало координат. Иначе говоря, система (1.34) представляет собой систему дифференциальных уравнений (с разрывной правой частью) для нахождения оптимальных траекторий, ведущих в начало координат.

Рассмотренный пример показывает, что решение задачи об оптимальных управлениях естественно ожидать в следующей форме. Будем решать оптимальную задачу в общей постановке:

(см. п. 3), рассматривая всевозможные начальные состояния и каждый раз предписывая в качестве конечного состояния начало координат O фазового пространства. Тогда (насколько можно судить по разобранному выше примеру) существует такая функция v(x), заданная в фазовом пространстве V принимающая значения в области управления U, что уравнение

                                                                                  (1.35)

определяет все оптимальные траектории, ведущие в начало координат. Иначе говоря, оптимальное управление оказывается естественным искать не в форме u=u(t), а в форме u=v(x), т. е. искомое оптимальное управление в каждый момент зависит лишь от того, в какой точке пространства находится в данный момент фазовая точка.

Функцию v(x), дающую уравнение оптимальных траекторий в форме (1.35), называют синтезирующей функцией, а задачу нахождения синтезирующей функции ─ задачей синтеза оптимальных управлений. В разобранном примере синтезирующая функция была кусочно-непрерывной (даже кусочно-постоянной).

Г л а в а II

ЛИНЕЙНЫЕ ОПТИМАЛЬНЫЕ БЫСТРОДЕЙСТВИЯ

§ 4.  Линейная задача оптимального управления

9.   Формулировка задачи. Ниже будут подробно изучены управляемые объекты, движение которых описывается линейными дифференциальными уравнениями относительно величин x1,…,xn, u1,…,ur, т. е. уравнениями вида

 i=1,2,…,n,                                                (2.1)

где aiα и biβ ─ некоторые постоянные коэффициенты.

Одним из наиболее важных для приложений является случай, когда каждая из величин u1,u2,…,ur в уравнениях (2.1) представляет собой отдельный управляющий параметр, область изменения которого не зависит от значений остальных управляющих параметров и задаётся неравенствами

 β=1,…,r.                                                                     (2.2)

Как было указано выше (см. п. 4), эти неравенства определяют r-мерный параллелепипед.

В дальнейшем при рассмотрении объектов вида (2.1) будет предполагаться, что управляющий параметр u=(u1, u2,…, ur) может меняться в замкнутой области управления U, представляющей собой выпуклый многогранник (лежащий в пространстве переменных u1, u2,…, ur).

Для того чтобы записать уравнения (2.1) в векторной форме, мы введём в рассмотрение матрицы

                             (2.3)

элементами которых являются коэффициенты aiα, biβ, входящие в уравнения (2.1). Как обычно, результат применения матрицы A к вектору x=(x1, x2,…, xn) мы будем обозначать символом Ax, т. е. y=Ax есть n-мерный вектор, координаты которого определяются формулами

                                                                      (2.4)

Аналогично для любого r-мерного вектора u=(u1, u2,…, ur) через Bu обозначается вектор, i-я координата которого равна  Таким образом, матрица A определяет линейное отображение координатного n-мерного пространства снова в n-мерное пространство, а матрица B определяет отображение r-мерного пространства в n-мерное.

Пользуясь матрицами A и B, мы можем теперь записать уравнения (2.1) в векторной форме:

                                                                                          (2.5)

Пусть u(t)=(u1, u2,…, ur) ─ произвольное допустимое (в смысле п. 4) управление, заданное на некотором отрезке t0≤t≤t1, и x0=(x10,…, xn0) ─ некоторая точка фазового пространства. Обозначим θ1, θ2,…, θk все точки, в которых хотя бы одна из функций  u1(t), u2(t),…, ur(t) терпит разрыв, причём занумеруем эти точки таким образом, что t0<θ1<θ2<…<θk<t1. Подставив функции u1(t), u2(t),…, ur(t) в правые части системы (2.1),мы придём к системе уравнений

                                               (2.6)

или в векторной форме,

                                                                                      (2.7)

Систему (2.7) мы рассмотрим сначала для значений t, удовлетворяющих неравенствам t0≤t≤θ1. На этом отрезке изменения аргумента существуют такие функции x1(t),…, xn(t), определённые и непрерывные на всём отрезке t0≤t≤θ1, которые, рассматриваемые на интервале t0<t<θ1, являются решениями системы (2.6) и, кроме того, удовлетворяют начальным условиям x1(t0)=x10, x2(t0)=x20,…, xn(t0)=xn0 (согласно сведениям из дифференциальных уравнений (см. книгу Л.С. Понтрягина «Обыкновенные дифференциальные уравнения», «Наука», М., 1965 (стр. 23, 24 и 168-172))).

Теперь мы можем рассмотреть систему (2.6) на отрезке θ1≤t≤θ2, воспользовавшись точкой γ1=(x1(θ1),…, xn(θ1), θ1) в качестве начального значения. На отрезке θ1≤t≤θ2 снова существует решение с начальным значением γ1. Это решение мы снова обозначим через x(t)=(x1(t),…, xn(t)). Теперь функция x(t) построена на отрезке t0≤t≤θ2 и непрерывна на всём этом отрезке (и, в частности, в «точке сопряжения» θ1;). Воспользовавшись, далее, новым начальным значением γ2=(x1(θ2),…, xn(θ2), θ2), мы продолжим эту функцию x(t) на отрезок θ2≤t≤θ3 и т. д. В конце концов мы определим x(t) на всём отрезке t0≤t≤t1.

Полученная функция x(t)=(x1(t),…, xn(t)) непрерывна на всём отрезке t0≤t≤t1 и является на нём кусочно-дифференцируемой; именно, во всех точках интервала t0<t<t1, кроме θ1, θ2,…, θk, функция x(t) непрерывно дифференцируема (и удовлетворяет системе (2.6)). Построенную функцию мы будем называть решением системы (2.6) (или уравнения (2.7)), соответствующим управлению u(t), при начальном условии x1(t0)=x10, x2(t0)=x20,…, xn(t0)=xn0. Наконец, мы будем говорить, что допустимое управление u(t), t0≤t≤t1, переводит фазовую точку из состояния x0 в состояние x1 (в силу закона движения (2.1) или (2.5)), если соответствующее ему решение x(t) системы (2.1), удовлетворяющее начальному условию x(t0)=x0, приходит в момент t1 в точку x1, т. е. удовлетворяет также «конечному» условию x(t1)=x1.

Теперь можно уточнить постановку задачи.

Линейной задачей оптимального управления мы будем называть задачу об отыскании оптимальных быстродействий в случае, когда выполнены следующие три условия:

1 )   уравнения движения объекта линейны (см. (2.1) или (2.5));

2 )   предписанное конечное состояние x1 совпадает с началом координат (0, 0,…, 0) n-мерного фазового пространства переменных x1, x2,…,xn;

3 )   область управления U является r-мерным выпуклым многогранником в r-мерном пространстве (u1, u2,…, ur), причём начало координат этого пространства принадлежит многограннику U, но не является его вершиной.

Заметим, что начало координат xi=0, i=1,…,n, является положением равновесия системы

                                                                      (2.8)

получающейся из системы (2.1) отбрасыванием управлений (т. е. получающейся из (2.1) при u1=u2=…=ur=0). Таким образом, условие 2) означает, что ищется управление, переводящее объект из заданного начального состояния x0 в положение равновесия.

10.    Принцип максимума. В пункте 6 мы сформулировали необходимое условие оптимальности, называемое принципом максимума. Данный пункт посвящён принципу максимума в случае линейной задачи оптимального управления. Вначале укажем те упрощения в формулировке принципа максимума, которые возникают в этом частном случае (т. е. в случае линейной задачи оптимального управления).

Заметим, прежде всего, что функция H (см. формулу (B) на стр. 10) принимает вид

                (2.9)

(Здесь в правой части записаны скалярные произведения; например, ψAx есть скалярное произведение векторов ψ и Ax.)

Далее, рассмотрим систему дифференциальных уравнений для вспомогательных переменных ψ1, ψ2,…, ψn (см. формулу (C) на стр. 10). Мы имеем

Следовательно, система уравнений для вспомогательных переменных принимает вид

                                                                      (2.10)

т. е. представляет собой так называемую сопряжённую систему (по отношению к линейной системе (2.8)). В векторной форме система (2.10) записывается в виде

                                                                                         (2.11)

где

─ матрица, получающаяся из матрицы A транспонированием (т. е. заменой строк столбцами).

Так как в правой части соотношения (2.9) первое слагаемое совсем не зависит от u, то при написании соотношения (D) (см. стр. 11) достаточно рассмотреть лишь второе слагаемое. Таким образом, соотношение (D) принимает в рассматриваемом случае вид

                                                                    (2.12)

для любого момента τ, t0≤τ≤t1.

Наконец, соотношение (E) (стр. 11) становится просто ненужным, так как в рассматриваемом случае оно всегда выполняется. Действительно, так как x(t1)=(0, 0,…, 0) (условие 2) на стр. 15), то в H(ψ(t1), x(t1), u(t1)) первое слагаемое обращается в нуль (см. (2.9)). Второе же слагаемое, в силу (2.12), заведомо неотрицательно, ибо при u1=…=ur=0 (эта точка, в силу условия 3) на стр.15, принадлежит многограннику U) мы имеем ψ(τ)Bu=0, а потому максимальное значение выражения ψ(τ)Bu неотрицатнльно. Итак, соотношение H(ψ(t1), x(t1), u(t1))³0 для линейной оптимальной задачи всегда выполнено.

Сказанное можно резюмировать следующим образом. Пусть u(t), t0£t£t1, - допустимое управление, переводящее объект (2.5) из заданного начального состояния x0 в положение равновесия (0, 0,…, 0). Будем говорить, что управление u(t) удовлетворяет принципу максимума, если существует такое нетривиальное решение y(t) уравнения (2.11), для которого выполняется условие максимума (2.12) (в каждый момент времени t, t0£t£t1). Для оптимальности управления u(t) необходимо, чтобы оно удовлетворяло принципу максимума. Это и есть та упрощённая формулировка принципа максимума, к которой мы приходим в случае линейной задачи оптимального управления.

11.    Принцип максимума — необходимое и достаточное условие оптимальности. Замечательным фактом является то, что в случае линейной задачи оптимального управления принцип максимума представляет собой не только необходимое, но и достаточное условие оптимальности. Однако факт этот имеет место не для произвольной линейной задачи — имеются малосущественные исключения. Поэтому мы наложим на линейную задачу некоторое ограничение, называемое условием общности положения. Сформулируем это условие:

Условие общности положения: если w — вектор, параллельный произвольному ребру многогранника U, то вектор Bw не принадлежит никакому собственному инвариантному подпространству относительно преобразования A. Невыполнение условия общности положения означает, что хотя бы для одного ребра многогранника U векторы Bw, ABw, A2Bw,…, An-1Bw линейно зависимы, т. е. определитель n-го порядка, составленный из координат этих векторов, обращается в нуль. Однако всюду в дальнейшем условие общности положения предполагается (если не оговорено противное) выполненным.

Теперь перейдём к теореме, упоминавшейся в начале этого пункта.

Т е о р е м а 2.1. Пусть u(t), t0£t£t1, — допустимое управление, переводящее объект из заданного начального состояния x0 в положение равновесия (0, 0,…, 0). Для оптимальности управления u(t) необходимо и достаточно, чтобы оно удовлетворяло принципу максимума.

12.    Основные теоремы о линейных оптимальных быстродействиях.

Т е о р е м а 2.2. Для каждого нетривиального решения y(t) уравнения (2.11) соотношение (2.12) однозначно определяет допустимое управление u(t); при этом оказывается, что функция u(t) кусочно-постоянна и её значениями являются лишь вершины многогранника U.

Каждую точку разрыва оптимального управления мы будем называть точкой переключения.

Т е о р е м а 2.3. Предположим, что многогранник U является r-мерным параллелепипедом (2.2) и что все собственные значения матрицы A=(aij), составленной из коэффициентов уравнений (2.1), действительны. Тогда в оптимальном управлении u(t)=(u1(t),…, ur(t)) каждая из функций ub(t), b=1,…,r, кусочно-постоянна, принимает только значения ab и bb (см. (2.2)) и имеет не более n-1 переключений (т. е. не более n интервалов постоянства), где n — порядок системы (2.1).

Т е о р е м а 2.4 (т е о р е м а   е д и н с т в е н н о с т и). Пусть u1(t) и u2(t) — два оптимальных управления, заданных соответственно на отрезках t0£t£t1 и t0£t£t2 и переводящих точку x0 в начало координат. Тогда эти управления совпадают, т. е. t1=t2 и u1(t)ºu2(t) на отрезке t0£t£t1.

Областью управляемости для объекта (2.5) мы будем называть множество всех точек x0 фазового пространства X, из которых возможно при помощи какого-либо допустимого управления попасть в начало координат. Само начало координат мы также будем причислять к области управляемости. Ясно, что вопрос о нахождении оптимальных процессов разумно ставить лишь в случае, если начальное фазовое состояние x0 принадлежит области управляемости (ведь из точек, не принадлежащих области управляемости, вообще нельзя попасть в начало координат).

Т е о р е м а 2.5 (т е о р е м а   с у щ е с т в о в а н и я). Область управляемости является выпуклым открытым множеством фазового пространства X; для любой точки x0, принадлежащей области управляемости, существует оптимальное управление, переводящее точку x0 в начало координат.

Т е о р е м а 2.6. Если в линейной задаче оптимального управления матрица A (см. (2.3)) устойчива, т. е. все её собственные значения имеют отрицательные действительные части, то область управляемости совпадает со всем фазовым пространством X. Следовательно, для любой точки x0ÎX существует оптимальное управление, переводящее фазовую точку x0 в начало координат.

§ 5. Решение задачи синтеза для линейных задач второго порядка

13.    Упрощение уравнений линейного управляемого объекта. Нередко бывает, что в линейной задаче общая запись уравнений движения объекта в виде (2.1) неудобна и целесообразно воспользоваться некоторыми упрощениями. Мы здесь отметим стандартные упрощения, которые можно осуществить с помощью замены координат.

q  Прежде всего, рассмотрим вопрос о замене координат в фазовом пространстве X рассматриваемого управляемого объекта. Предположим, что в пространстве X вместо координат x1,…, xn введены новые координаты y1,…, yn, связанные с прежними координатами соотношениями

                                                             (2.13)

(где матрицы P=(pij) и Q=(qij) взаимно обратны). Ясно, что при такой замене линейная система (2.1) превращается в новую линейную систему

коэффициенты которой легко вычисляются:

Таким образом,       ,           

Переходя к векторным обозначениям, можно сказать, что указанная замена координат переводит уравнение (2.5) в уравнение   где матрицы C и D выражаются через матрицы A, B, P, Q по формулам C=QAP,   D=QB.

Очевидно, при такой замене условия 1), 2), указанные на стр. 15, сохраняются и для уравнения   получаемого после замены. Далее, каждый процесс (u(t), x(t)), удовлетворяющий уравнению  переходит в процесс (u(t), y(t)), удовлетворяющий уравнению  (и обратно). Так как при этом время t не меняется, то указанная замена переводит оптимальные процессы для уравнения (и наоборот). В частности, синтез оптимальных управлений для уравнения  переводится с помощью преобразования координат (2.13) в синтез оптимальных управлений для уравнения .

Таким образом, если уравнение окажется проще и для него синтез оптимальных управлений можно будет построить, то из этого синтеза можно (с помощью афинного преобразования (2.13)) получит синтез и для первоначального уравнения . В этом и заключается смысл замены координат (2.13): она позволяет заменить матрицу A трансформированной матрицей C=QAP, в то же время вызывая лишь афинное искажение картины синтеза оптимальных управлений. Таким образом, преобразованием (2.13) можно воспользоваться для упрощения матрицы A, составленной из коэффициентов при фазовых координатах.

q  Предположим, что в уравнении  матрица A уже приведена к простейшему виду (с помощью описанного выше приёма). Укажем теперь, каким образом может быть упрощена матрица B, составленная из коэффициентов при управляющих параметрах.

С этой целью положим

                                                                 (2.14)

Это означает, что вместо r управляющих параметров u1,…,ur вводятся n других управляющих параметров v1,…, vn, благодаря чему система (2.1) заменяется следующей:

или в векторной форме, 

Нужно только выяснить, в каких пределах может изменяться точка v=(v1, v2,…, vn). Удобно считать, что эта точка v=(v1, v2,…, vn) расположена в том же пространстве X, что и точка x=(x1,…, xn).

Соотношения (2.14) определяют линейное отображение r-мерного пространства переменных u1,…,ur в фазовое пространство X. Образом многогранника U при отображении (2.14) является некоторый выпуклый многогранник в пространстве X, который мы обозначим через V.

Таким образом, получаем два линейных уравнения:

                                                                (2.15)

                                                                (2.16)

Г л а в а III

СИНТЕЗ ОПТИМАЛЬНЫХ УПРАВЛЕНИЙ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА

§ 6. Решение задачи синтеза в случае комплексных собственных значений

14.    Задача синтеза для малых колебаний маятника. Здесь будет дано полное решение задачи синтеза оптимальных управлений для линейных объектов, описываемых уравнениями второго порядка. Фазовое пространство X в этом случае представляет собой плоскость.

Рассмотрим колебание плоского маятника. Как известно колебание маятника, подвешенного к точке опоры, описывается дифференциальным уравнением второго порядка:

(в нашем случае положим β=1)

при малых колебаниях маятника Sinφ≈φ тогда уравнение движения маятника запишется в виде:

                                                                                  (3.1)

Управляющий параметр u (скалярный) будем предполагать изменяющимся в пределах -1£u£1.

Пусть — угол отклонения, а  — скорость маятника. Тогда уравнение (3.1) перепишется в виде следующей нормальной системы:

                                                                              (3.2)

На плоскости x1, x2 «многогранник» U будет представляться отрезком [-1, 1], расположенным на оси x2. Легко видеть, что ось x2 не является собственным инвариантным подпространством матрицы A, которая для системы (3.2) имеет вид:

A=,

и потому условие общности положения всегда выполнено.

Найдём собственные значения матрицы A. Для этого составим характеристическое уравнение |λE─A|=0, т. е. λ2+λ+1=0. Откуда находим, что собственные значения матрицы A такие:

т. е. собственные значения матрицы A комплексные. Введём обозначения  где b≠0.

Тогда матрица A преобразуется к виду:

=.

Будем рассматривать систему, соответствующую матрице , т. е. систему вида:

                                                                     (3.3)

Вначале рассмотрим соответствующую однородную систему:

                                                                           (3.4)

Общее решение этой системы имеет вид:

где c, γ – произвольные постоянные интегрирования.

Запишем функцию H и применим принцип максимума.

где ψ1, ψ2 определяются системой, сопряжённой к системе (3.3), т. е. системой вида:

                                                      (3.5)

Общее решение этой системы имеет вид:

где c’, γ’ – произвольные постоянные интегрирования. Т. е. функция H имеет вид:

Подставим в функцию H представление решений x1, x2:

Т. к. собственный вектор матрицы A, соответствующий собственному значению l имеет вид q1─iq2, где q1=(1;─1/2); q2=(0;─).

Пусть q1 и q2 – базисные векторы новой косоугольной системы координат y1, y2. Тогда переход от системы y1, y2 к системе x1, x2 выражается формулами:

Тогда в новых координатах система уравнений (3.2) запишется в виде

или, иначе, в виде

где v=(v1, v2) ─ управляющая точка, которая может меняться в пределах многогранника V, представляющего собой отрезок [] оси y2.

Согласно теории вершинам e1=(0, ),  e2=(0, ) многогранника V соответствуют точки h1=(1, -), h2=(-1, ) (координаты указаны в системе y1, y2), а каждый из углов a1, a2, соответствующих этим вершинам, равен p.

Теперь уже нетрудно построить синтез оптимальных управлений в плоскости y1, y2. Кусками фазовых траекторий будут дуги логарифмических спиралей, т. к. у нас b=1, т. е. b>0 (рис. 18).

 При переходе от координат y1, y2 к координатам x1, x2 картина синтеза афинно искажается.

Список используемой литературы:

1.   В.Г. Болтянский. «Математические методы оптимального управле­ния», М.: «Наука», 1968г.

2.   Л.С. Понтрягин, В.Г. Болтянский, Р.В. Гамкрелидзе, Е.Ф. Мищенко. «Математическая теория оптимальных процессов», 4-е издательство. М.: «Наука», 1983г.

3.   Р. Габасов, Ф.М. Кириллова. «Методы  оптимизации», Минск, издательство БГУ, 1981г.