|
|
|
Реферат: Полный курс лекций по математике/х/= По определению /х/ ≥ 0. Например, /5/=5; /-1,5/=1,5. Свойства абсолютных величин: 1. │х+у│ ≤ │х│+│у│, 2. │х-у│ ≥ │х│ - │у│, 3. │ху│ = │х│*│у│, 4. │х/у│ = │х│/│у│ Из определения абсолютной величины числа следует: -│х│≤ х ≤ │х│. Пусть │х│< ε, можно написать: -ε< -│х│≤ х ≤│х│<ε, или -ε<х<ε, т.е. значения х лежат на открытом интервале (-ε, ε). Рассмотрим неравенства │х-а│<ε (где ε>0). Решениями этого неравенства будут точки открытого интервала (а – ε, а+ε), или а - ε<х<а+ε. Всякий интервал, содержащий точку а называется окрестностью точки а.
Рис.2
а – ε а а+ε Тема 9. Функция. Классификация функций. Определение. Рассмотрим два множества Х и У, элементами которых могут быть любые объекты. Предложим, что каждому элементу х множества Х по некоторому закону или способу поставлен в соответствие определенный элемент у множества У, то говорят что на множестве Х задана функция у = ƒ(х), (или отображение множества Х во множество У). Множество Х называется областью определения функции ƒ, а элементы у = ƒ(х) образуют множество значений функции – У. х – независимая переменная (аргумент). у – зависимая переменная, ƒ – закон соответствия, знак функции. Пусть Х и У множества вещественных чисел. Пример. Найти область определения и область значений функции у = х2 + 1 Областью определения функции является множество Х = (-∞, ∞), область значений является множество У = [0, ∞). Пример 2. Найти область определения функции у = 1/(х2 – 5х + 6). Решение: Найдем значения х, в которых знаменатель обращается в нуль. х2 – 5х + 6=0. х1 = 2, х2=3. Функция не существует в этих точках. Областью определения является объединение таких множеств: (-∞, 2) U (2, 3) U (3, ∞). Пример 3. Найти область определения функции у= log3(х – 1). Решение: х – 1 >0, х>1. Запишем решение в виде интервала: (1, ∞) – область определения функции. Пример 4. Дана функция f (х) = |х + 2|/х – 1. Найти значения функции в точках х = -2, х = -3, х = 1, х = 0. Решение: f(-2) = |-2+2| / (2-1) = 0/1 = 0; f (-3) = |-3+2| / (3 – 2) = | - 1| / 1= 1; f(1) = |1+2| / (1 – 1) = 3/0, точка х = 1 в область определения функции не входит, так как знаменатель в этой точке обращается в 0. f (0) = |0 + 2| / (0-1) = 2/ -1 = -2. Пример 5. Дана функция f(х) = 3х2 + х – 1. Найти значение этой функции при 1) х=а2 – 1, 2) х = 1/t. Решение: 1)f(а2 – 1) = 3(а2 – 1)2 + а2 – 1 – 1=3а4 – 6а2 + 3 + а2 - 2 = 3а4 – 5а2 + 1. 2) f (1/t) = 3(1/t2) + 1/t – 1 = (3 + t – t2)/t2. Способы задания функции. Существует несколько способов задания функции. а) аналитический способ, если функция задана формулой вида у = f (х). Все функции, рассмотренные в примерах 1-5 заданы аналитически. б) табличный способ состоит в том, что функция задается таблицей, содержащей значения х и соответствующие значения f (х), например, таблица логарифмов. в) графический способ, состоит в изображении графика функции – множество точек (х, у) плоскости, абсциссы которых есть значения аргумента х, а ординаты – соответствующие им значения функции у = f (х). Например, у = х2
(Рис.1); у =
у
0 х 0 х Рис. 1. Рис. 2.
1, если х – рациональное число. f(х) = 0, если х – иррациональное число. Основные элементарные функции. Все функции, с которыми встречаемся в школьном курсе, элементарные. Перечислим их: 1. у = хп, у = х –п, у = хм/п, где п, Є N, м Є Z. Эти функции называются степенными. 2. Показательная функция у = ах, а > 0, а ≠ 1. 3. Логарифмическая функция у = logах, а>0, а ≠ 1 4. Тригонометрические функции у = sin х, у = cos х , у = tg х, у = ctg х. 5. Обратные тригонометрические функции у = argsin х, у = arccos х, у = arctg х, у = arcctg х. Сложная функция. (суперпозиция функций). Пусть функция у = f(u) есть функция от переменной u, определенная на множестве U с областью значений – У, а переменная u = φ(х) функция от переменной х, определенной на множестве Х с областью значения U. Тогда заданная на множестве Х функция у = f(φ(x)) называется сложной функцией (функцией от функций). Например, у = lg sin 3х. Эту сложную функцию от х можно расписать, как цепочку простых функций: у= lg u, u = sin t, t = 3x. Понятия элементарной функции. Функции построенные из основных элементарных функций с помощью конечного числа алгебраических действий называются элементарными. Например, у =
У Рис.3
Классификация функции. Элементарные функции делятся на два класса. 1 класс алгебраических функций: а) у = А0хп + А1хп-1 + А2хп-2 + … + Ап-1х + Ап, это многочлен (полином) п – степени или целая алгебраическая функция, где А0, А1, А2, … , Ап – вещественные числа, коэффициенты многочлена. б) у = ( А0хп + А1хп-1 + … + Ап)/(В0хм + В1хм-1 + … +Вм), это дробно – рациональная функция, она представляет собой отношения двух многочленов. в) Иррациональная функция,
например, у = 2 класс трансценденных функций. а) у = ах, а > 0, а ≠1, показательная функция, б) у = logах, а> 0, а ≠1, логарифмическая функция, в) все тригонометрические функции, г) все обратные тригонометрические функции, д) функции вида у = хL , где L – иррациональное число. Например, у = хπ. Тема 10. Предел функции. Теоремы о пределах. Замечательные пределы. Понятие о непрерывности функции. Определение. ε – окрестностью точки а называется открытый интервал (а-ε, а+ε) (ε – эпсилон буква греческого алфавита), или |х - а|< ε. Определение предела функции. Пусть функция у = f(х) определена в некоторой точке а, кроме, может быть, самой этой точки. Число b называется пределом функции f(х) при х стремящемся к а, если для любого сколь угодно малого, наперед заданного ε>0 существует такое δ>0, что для всех х таких, что |х-а|<δ выполняется неравенство |f(x) - b|<ε.
(lim – сокращенное слово limit(предел)). Читается так: предел f(x) при х стремящемся к а равен b.
f(a) y= f(x)
0 a x а х Рис.1 Рис.2
0 a x 0 a x Рис.3 Рис.4 На приведенных рисунках предел существует в случаях 1) и 2), причем во 2) значение функции в точке а не совпадает с предельным, а в 1) совпадает f(a) = b . На рисунках 3) и 4) предел у функции в точке а не существует.
Все элементарные функции непрерывны в каждой точке, где они определены. Основные теоремы о пределах функций. 1. Предел суммы двух функций равен сумме пределов.
2. Предел произведения двух функций равен произведению пределов.
3. Предел произведения числа на функцию равен произведению числа на предел функции.
Это свойство можно записать так: постоянный множитель выносится за знак предела. 4. Предел отношения двух функций равен отношению пределов этих функций. (Кроме случая, когда знаменатель стремиться к нулю).
Если знаменатель стремиться к нулю, а числитель - нет, то говорят, что отношение стремиться к бесконечности. Бесконечность – это не число, ее можно добавить ко множеству вещественных чисел R в качестве нового элемента ∞. После этого числовая прямая превращается в так называемую расширенную прямую. Раз мы добавили новый элемент ко множеству вещественных чисел, то запишем арифметические операции с этим элементом ∞. Пусть а любое вещественное число, а Є R, тогда
Есть особые случаи, когда предел суммы, произведения или частного нельзя найти, зная только пределы слагаемых, сомножителей или делимого и делителя. Такие случаи называются неопределенностями. Выделяют неопределенности двух типов: Арифметические неопределенности (0/0); (00/00); (00 – 00); (0 * 00). Степенно-показательные неопределенности (100); (000); 00. Эти записи не являются операциями над числами и 00, они представляют собой только деловые обозначения. В случае неопределенности предел может быть равен нулю, конечному числу, бесконечности или не существовать. Для нахождения предела (раскрытие неопределенности) надо исследовать каждый случай отдельно.
Решение:
= (4 – 4) / (4 – 2 – 2) = (0/0).
Решение:
Для раскрытия неопределенностей используются не только различные приемы преобразования функций, как мы видели в примерах 1 и 2, но и так называемые замечательные пределы.
иррациональное «непперово» число. Это число часто берут за основание логарифма, тогда такой логарифм обозначается так: log℮x = lnx и называется натуральным логарифмом.
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Интервал (а – ε,
а+ε), т.е. множество точек х таких, что │х-а│<ε (где
ε>0), называется ε – окрестностью точки а. Рис.2 (ε – эсилон,
буква греческого алфавита).
(Рис.2)
у
Г)
Описательный способ, если функция записывается правилом ее составления,
например, функция Дирихле:
)/(sin2х+3) или у
= 2 - tg х.
Примером неэлементарной
функции является функция у = |х|. Ее график представлен на рис. 3.
+ х2.
При отыскании предела мы не
учитываем значение функции в самой точке а, оно может быть любым. Рис. 1, 2, 3,
4.
y y
y = f (x)
b
0
y
f(a)
f(a)
