|
Дипломная работа: Постановка задачи синтеза оптимальных алгоритмов приема сигналов на фоне помехи . (13) Применяя преобразование Гильберта к исходному выражению для УСП и используя составляющие (13) комплексной огибающей, можно записать . Разложим функции и в подынтегральных выражениях в ряд Тейлора в окрестности точки x=t и почленно проинтегрируем. Получим = , (14) где Q(t) – остаточное слагаемое, характеризующее отброшенную часть суммы. Подставив в выражение (14) и , получим . (15) Из формулы (15) видно, что если можно пренебречь функцией Q(t), то сопряженный по Гильберту УСП имеет такую же огибающую, что и исходный УСП. Из таблиц определенных интегралов известно: С учетом этих выражений формулу для Q(t) можно записать: Считаем, что полоса огибающей равна , поэтому вторые производные по своим значениям не превосходят . Поэтому можно полагать, что . Следовательно: . Отсюда видно, что для УСП функции u(t) и u1(t) имеют одинаковую огибающую с погрешностью, зависящей от отношения ширины спектра к его средней частоте. Для узкополосных случайных процессов обязательным является выражение , следовательно, огибающая удовлетворяет требованиям, которые к ней предъявляются в соответствии с определением УСП, т.е. является касательной в точках, соответствующих максимальным значениям УСП (или вблизи от них), и имеет общие значения с ним в точках касания. Степень «близости» точки касания к максимальному значению зависит от того же отношения . Фаза однозначно определяется известными соотношениями для представления комплексного числа в показательной форме. Графически УСП можно представить в виде вектора, вращающегося с угловой скоростью , длина вектора медленно меняется во времени так же, как и фазовый угол . Исходный УСП является проекцией вектора на горизонтальную ось. Если всю систему координат заставить вращаться с той же угловой скоростью, но в противоположном направлении, то та же проекция будет огибающей . Если исходный УСП является нормальным, то и также являются нормальными случайными процессами. Если УСП u(t) нормален, стационарен, имеет нулевое среднее значение и функцию корреляции , то и также имеют нулевые средние значения и корреляционную функцию . В то же время и взаимно некоррелированы, а так как они нормальны, то и взаимно независимы. Сомножитель является огибающей корреляционной функции . Огибающая и фаза узкополосного случайного процесса. Плотности вероятности огибающей и фазы УСП можно получить, совершая преобразования, которые были использованы для их получения. Эти преобразования показывают, что огибающая и фаза являются независимыми. СВ как в совпадающие, так и в несовпадающие моменты времени. Одномерная плотность вероятности огибающей (в один момент времени) подчиняется закону Рэлея, а плотность вероятности фазы равномерна в пределах от до . Сложные преобразования показывают, что центрированная корреляционная функция огибающей приближенно равна квадрату огибающей корреляционной функции исходного УСП. Спектральная плотность мощности огибающей имеет два слагаемых: дельта-функцию, соответствующую постоянной составляющей огибающей, и спектральную плотность флюктуационной составляющей, которая является преобразованием Фурье от квадрата огибающей корреляционной функции исходного УСП. Если СП является суммой узкополосного нормального процесса и синусоиды со случайной начальной фазой, то мгновенные значения синусоиды распределены по закону арксинуса, сумма – по бимодальному закону, соответствующему свертке нормального закона и закона арксинуса. После применения тех же преобразований, что и для узкополосного нормального СП, получим для огибающей распределение Райса , где , А0 – амплитуда синусоидального сигнала; – среднеквадратическое отклонение шума. При распределение Райса переходит в распределение Рэлея. При больших отношениях , т.е. при А0 >> 1 (отношение сигнал/шум), распределение Райса может быть аппроксимировано нормальным распределением с математическим ожиданием, равным А0. 6. Временные характеристики случайных процессовВо многих случаях, особенно при экспериментальных исследованиях, вместо ансамбля есть лишь одна реализация. Тогда усреднение производится по времени и при некоторых условиях дает результаты, близкие к усреднению по множеству. Простейший вариант усреднения состоит в определении среднего арифметического значения. Выделим в отрезке реализации СП длительностью T n дискретных отсчетов с интервалом между ними Dt, (рис. 24). Среднее арифметическое значение определим известным образом: . Умножим числитель и знаменатель этого выражения на Dt: . Рис. 24 При Dt ® 0 и n ® ¥ сумма перейдет в интеграл, описывающий временное усреднение реализации (обозначается чертой сверху или в данном пособии: ) или функции от нее: . (16) В общем виде можно записать операцию (16) с помощью оператора временного усреднения ST: . Для того чтобы результат не зависел от длительности отрезка T, возьмем предел при T ® ¥: . При экспериментальных исследованиях выполнение условия T ® ¥ невозможно, но достаточно выполнения условия . Часто начало реализации и начало времени интегрирования не совпадают, поэтому оператор правильнее записать в виде оператора текущего среднего: . (17) Используется также симметричная форма этого оператора: . (18) Частотные характеристики операторов (4.17) и (4.18) равны соответственно: , , т.е. отличаются лишь фазовым множителем . Практически часто используется оператор экспоненциального сглаживания, реализуемый с помощью интегрирующей RC-цепи в форме и имеющий характеристику . Производя временное усреднение некоторой функции g[x(t)], лежащей в основе какой-либо вероятностной характеристики, получим соответствующую временную характеристику. В частности, дисперсия, полученная временным усреднением, равна ; Временная корреляционная функция – . Аналогами распределений вероятностей являются величины относительного времени пребывания реализации ниже некоторого уровня и в интервале уровней (рис. 25). Аналог интегральной функции распределения вероятностей – относительное время пребывания реализации ниже некоторого уровня (рис. 25а): ; . Аналог плотности вероятности – относительное время пребывания реализации в интервале Dx на уровне x (рис. 25б): ; . Рис. 25 Процессы, для которых временные характеристики сходятся в некотором смысле к вероятностным при T ® ¥, называются эргодическими. Различают два вида сходимости. Последовательность случайных величин сходится по вероятности к случайной величине x, если для любого e > 0 . Сходимость с вероятностью 1 (или почти всюду) определяется следующим образом: . Сходимость в среднем определяется из условия: , в частности, сходимость в среднеквадратическом – . Из сходимости почти всюду следует сходимость по вероятности, а из сходимости в среднеквадратическом также следует сходимость по вероятности. Часто имеет место не эргодичность процесса, а эргодичность по отношению к математическому ожиданию, корреляционной функции или иной вероятностной характеристике. 7. Особенности нестационарных случайных процессовНестационарные СП, в отличие от стационарных, составляют столь широкий класс, что в нем трудно выделить свойства, относящиеся ко всему классу. Одним из таких свойств, лежащих в основе определения нестационарности, является зависимость вероятностных характеристик этих процессов от времени. В частности, , . Пример процесса, существенно нестационарного по математическому ожиданию, приведен на рис. 26а, по дисперсии – на рис. 26б. Нестационарность по математическому ожиданию хорошо описывается моделью аддитивного нестационарного процесса: X(t) = Y(t) + j(t), где Y(t) – стационарный СП; j(t) – детерминированная функция. Нестационарность по дисперсии описывается моделью мультипликативного нестационарного процесса: X(t) = Y(t)·j(t). Простейшие примеры нестационарности по моментным функциям в более общем виде описываются зависимостями вероятностных распределений от времени. Рис. 26 Более сложным является отображение нестационарности в рамках многомерных (и даже двумерных) вероятностных характеристик. Наиболее широко используются корреляционные и спектральные характеристики. Поскольку корреляционная функция нестационарного СП зависит от двух моментов времени, спектр нестационарного процесса не может быть определен столь однозначно, как в стационарном случае. Существует несколько определений спектра нестационарных процессов: а) двойной по частоте спектр или биспектр: . (19) В случае стационарного процесса и соотношение (19) переходит в теорему Винера – Хинчина. Биспектр (19) трудно физически интерпретировать и использовать при анализе цепей, хотя он отображает всю информацию о частотных свойствах процесса; б) мгновенный частотно-временной спектр. Заменим в переменные следующим образом: , t = t1 – t2 и выполним преобразование Фурье от корреляционной функции по аргументу t: . (20) Мгновенный спектр (20) зависит как от частоты, так и от времени и при медленной нестационарности имеет наглядную физическую интерпретацию как изменение «обычной» спектральной плотности мощности во времени (рис. 27); в) усредненная спектральная плотность мощности , где . Этот спектр не отображает динамики процесса, но дает представление о среднем распределении дисперсии процесса по частоте; г) аппаратурный спектр определяется как среднее значение дисперсии процесса на выходе узкополосного фильтра с импульсной реакцией h(t): . Рис. 27 Этот спектр допускает аппаратурное определение, но использование его в теории достаточно трудоемко. ПРИМЕР Решение примера Рассмотрим пример нестационарного СП, имеющего плотность вероятности, выраженную функцией где ; a0 = 1 1/В; k = 2 1/Вс. Необходимо найти математическое ожидание процесса и нарисовать ориентировочно возможный вид реализации процесса. Для решения задачи прежде всего определим незаданную функцию А(t) из условия нормировки: . Отсюда A(t) = a(t). Поскольку процесс нестационарный, его математическое ожидание может зависеть от времени и в данном случае равно . Учитывая известное значение определенного интеграла [1] при где – гамма-функция, , получим . Возможный вид реализаций процесса, не противоречащий виду распределения, приведен на рис. 28. Рис. 28 На рис. 28 штриховой линией показано изменение математического ожидания процесса. 8. Классификация случайных процессовКлассификация в любой науке служит для упорядочения объектов исследования, а значит, и используемых методов анализа и синтеза. В ряде случаев удачная, логически оправданная и естественная классификация процесса помогает вскрыть новые закономерности (например, периодическая система Менделеева, классификация звезд на основе диаграммы Герцшпрунга – Рассела в астрономии и т.д.). Классификация производится по каким-либо признакам. Наиболее существенными признаками для СП являются зависимости их вероятностных характеристик от времени и номера реализации. Обозначим через q(l) произвольную вероятностную характеристику; – оператор усреднения по множеству; – оператор усреднения по времени. Если одновременно используется усреднение и по множеству, и по времени, то получаемая при этом оценка вероятностной характеристики (l) имеет такой вид: , где l – аргумент вероятностной характеристики (частота в спектральной плотности мощности; интервал в корреляционной функции). Истинное значение оценки вероятностной характеристики получается с помощью предельного перехода при неограниченном возрастании числа реализаций N и их длительностей T, т.е. . Характеристику, полученную усреднением и по множеству, и по времени, будем называть средней вероятностной характеристикой. Если же усреднение производится только по множеству, то получается t – текущая вероятностная характеристика: ; только по времени – k-текущая вероятностная характеристика: . В зависимости от видов получаемых характеристик СП можно классифицировать таким образом: – (k, l) = (l) – однородный процесс, т.е. получаемая характеристика не зависит от номера реализации; – (t, l) = (l) – стационарный процесс, т.е. получаемая характеристика не зависит от начала отсчета времени; – (t, l) = (k, l) = (l) – эргодический случайный процесс. Схематично процессы могут быть представлены в виде множеств, изображенных на рис. 29. Рис. 29 Приведенная укрупненная классификация, конечно, не является исчерпывающей, поэтому используется классификация по многим другим признакам. По виду областей существования и значений случайной функции СП делятся на непрерывные (непрерывные области существования и значений – рис. 30а), дискретные (непрерывное множество значений аргумента и дискретное множество значений – рис. 30б), непрерывные случайные последовательности (дискретная область существования и непрерывная область значений – рис. 30в) и дискретные случайные последовательности (дискретная функция дискретного аргумента – рис. 30г). По виду распределений вероятностей различают процессы с конечной и бесконечной областями значений, с симметричной и несимметричной плотностью вероятности, гауссовы (нормальные) и негауссовы. Рис. 30 По корреляционной связи значений различают коррелированные и некоррелированные СП, по виду спектра – широкополосные и узкополосные СП, по характеру временной связи – периодические, непериодические и почти периодические. По виду нестационарности процессы делятся на аддитивные, мультипликативные, стационарные на интервале (квазистационарные), со стационарными приращениями, периодически нестационарные, с быстрой и медленной нестационарностью и т.д. Выбор признаков классификации определяется характером решаемой задачи. Рассмотрим пример классификации СП. ПРИМЕР 4. Решение примера 4. Охарактеризовать процесс X(t) в отношении стационарности, однородности и эргодичности, если процесс представлен моделью: , где А – случайная амплитуда с рэлеевским распределением; – случайная величина с равномерным распределением на интервале [–p, p]; 0 = const. Выборочные реализации процесса X(t) представлены на рис. 31. Рис. 31 Из рис. 31 и аналитического представления квазидетерминированного процесса X(t) очевидно, что его вероятностные характеристики (например, математическое ожидание, дисперсия, плотность вероятности и т.д.) не зависят от времени, т.е. процесс является стационарным. В то же время каждая из реализаций характеризуется своей дисперсией, поэтому процесс неоднороден и не является эргодическим, т.е. его характеристики нельзя оценить по одной реализации. ПРИМЕР 5. По заданной графически функции распределения стационарного случайного колебания (рис. 32) определить плотность вероятности и изобразить возможный вид реализации этого процесса. Рис. 32 Рассчитать математическое ожидание, второй начальный момент и дисперсию процесса. Решение примера 5. Плотность вероятности связана с функцией распределения через производную, поэтому на первом участке u от -6 до -3 В производная, характеризующая тангенс угла наклона к оси u равна 0,4/3 = 0,13 1/В. При u = 1 В имеет скачок на 0,3, поэтому в плотности вероятности есть d-функция с площадью, равной величине скачка. На участке от 3 до 7 В также имеет постоянный наклон, равный 0,3/6 = 0,05 1/В. Полученная плотность вероятности представлена на рис. 3 Для проверки вычислений необходимо найти площадь, ограниченную плотностью вероятности (условие нормировки): . Рис. 33 Математическое ожидание равно: mu = == –0,325 В. Второй начальный момент – m2u = 48,9 В2. Дисперсия – = 48,5 – 0,105625 » 48,4 В2. Реализация длительностью Т, судя по виду плотности вероятности на разных интервалах времени, должна иметь горизонтальные участки на уровне +1 В, суммарная длительность которых должна составлять Т/ На участках от -6 до -3 В и от +1 до +7 В в реализации имеются наклонные прямые линии со случайным наклоном, что соответствует неизменным значениям плотности вероятности. На первом участке мгновенные значения реализации находятся 0,4Т, а на втором – 0,3Т. Возможный вид реализации представлен на рис. 34. Рис. 34 ПРИМЕР 6. На рис. 35 представлена реализация случайного процесса. Изобразить приближенно плотность вероятности и функцию распределения. Рассчитать (также приближенно) математическое ожидание, среднеквадратическое значение (СКЗ) и среднеквадратическое отклонение (СКО). Рис. 35 Решение примера 6. Для определения плотности вероятности необходимо в соответствии с ее определением рассчитать вероятности следующих событий: - соответствия мгновенных значений уровню -10 мА (вероятность р1); - нахождения мгновенных значений реализации в интервале от -10 до -4 мА (вероятность р2); - соответствия мгновенных значений уровню -4 мА (вероятность р3); - нахождения мгновенных значений реализации в интервале от -4 до + 8 мА (вероятность р4); - соответствия мгновенных значений уровню + мА В (вероятность р5); - нахождения мгновенных значений реализации в интервале от +8 до +10 мА (вероятность р6). Для нахождения перечисленных вероятностей необходимо посчитать интервал времени, в течение которого происходили эти события, а затем поделить найденные интервалы на длительность реализации, составляющую 25 мс (см. рис. 35). В результате получим частоты событий (оценку вероятностей). Результаты расчетов представлены в табл. 1. Таблица 1
Для расчета значений плотности вероятности в интервалах (-10, -4) мА, (-4, + 8) мА и (+8, +12) мА необходимо полученные вероятности разделить на соответствующие интервалы, предполагая на этих участках постоянную плотность вероятности, так как мгновенные значения в их пределах меняются по линейному закону (рис. 35). Результаты расчетов представлены на рис. 36. Математическое ожидание равно: мА (в предположении стационарности заданного реализацией СП по математическому ожиданию). Второй начальный момент – m2i = 36,08 мА2 (в предположении стационарности заданного реализацией СП по второму начальному моменту). Дисперсия – = 36,08 – 0,1024 » 35,98 мА2 (в предположении стационарности заданного реализацией СП по дисперсии). Следовательно, СКЗ = » 6,01 мА; СКО = » 6,0 мА. Библиографический список 1. Гоноровский, И.С. Радиотехнические цепи и сигналы [Текст] / И.С. Гоноровский. – М. : Радио и связь, 2006. – 608 с. 1. Манжос, В.Н. Теория и техника обработки радиолокационной информа-ции на фоне помех [Текст] / Я.Д. Ширман, В.Н. Манжос. – М. : Радио и связь, 2011. – 416 с. 2. Жовинский, В.Н. Инженерный экспресс-анализ случайных процессов [Текст] / А.Н. Жовинский, В.Н. Жовинский. – М. : Энергия, 2009. – 112 с. 3. Царьков, Н.М. Многоканальные радиолокационные измерители [Текст] / Н.М. Царьков. – М. : Сов. радио, 2010. – 192 с. 2. Математические основы современной радиоэлектроники [Текст] / И.А. Большаков [и др.]. – М. : Сов. радио, 2009. – 208 с. 3. Федосов, В.П. Статистическая радиотехника [Текст] : конспект лекций / В.П. Федосов, В.П. Рыжов. – Таганрог : Изд-во ТРТИ, 2008. – 76 с. 4. Фомичев, К.И. Моноимпульсная радиолокация [Текст] / А.И. Леонов, К.И. Фомичев. – М. : Сов. радио, 2010. – 370 с. 5. Гнеденко, Б.Н. Курс теории вероятности [Текст] / Б.Н. Гнеденко. – М. : Физматгиз, 2011. – 203 с. |
НОВОСТИ |
ВХОД |
|
Рефераты бесплатно, реферат бесплатно, курсовые работы, реферат, доклады, рефераты, рефераты скачать, рефераты на тему, сочинения, курсовые, дипломы, научные работы и многое другое. |
||
При использовании материалов - ссылка на сайт обязательна. |