Шпаргалка: Лекции по количественной оценке информации

Шпаргалка: Лекции по количественной оценке информации

КОЛИЧЕСТВЕННАЯ ОЦЕНКА ИНФОРМАЦИИ

            Общее число неповторяющихся сообщений, которое может быть составлено из алфавита m путем комбинирования по n символов в сообщении,

.                                                  (1)

Неопределенность, приходящаяся на символ первичного (кодируемого)[1] алфавита, составленного из равновероятностных и взаимонезависимых символов,

.                                                (2)

            Основание логарифма влияет лишь на удобство вычисления. В случае оценки энтропии:

            а) в двоичных единицах

            б) в десятичных единицах

где ;

            в) в натуральных единицах

где

            Так как информация есть неопределенность, снимаемая при получении сообщения, то количество информации может быть представлено как произведение общего числа сообщений к на среднюю энтропию Н, приходящуюся на одно сообщение:

                                       (3)

            Для случаев равновероятностных и взаимонензависимых символов первичного алфавита количество информации в к сообщениях алфавита m равно

а количество информации в сообщении, составленном из к неравновероятностных символов,

                              (5)

            Для неравновероятностных алфавитов энтропия на символ алфавита

          (4)

При решении задач, в которых энтропия вычисляется как сумма произведений вероятностей на их логарифм, независимо от того, являются ли они безусловными , условными  или вероятностями совместных событий.

            Количество информации определяется исключительно характеристиками первичного алфавита, объем – характеристиками вторичного алфавита. Объем[2] информации

                                              (6)

где lср – средняя длина кодовых слов вторичного алфавита. Для равномерных кодов (все комбинации кода содержат одинаковое количество разрядов)

где n – длина кода (число элементарных посылок в коде). Согласно (3), объем равен количеству информации, если lср=Н, т.е. в случае максимальной информационной нагрузки на символ сообщения. Во всех остальных случаях .

Например, если кодировать в коде Бодо некоторые равновероятный алфавит, состоящий из 32 символов, то

            Если закодировать в коде Бодо русский 32-буквенный алфавит, то без учета корреляции между буквами количество информации

т.е. если в коде существует избыточность и , то объем в битах всегда больше количества информации в тех же единицах.

Тема 2. Условная энтропия и энтропия объединения

            Понятие условной энтропии в теории информации используется при определении взаимозависимости[3] между символами кодируемого алфавита, для определения потерь при передаче информации по каналам связи, при вычислении энтропии объединения.

            Во всех случаях при вычислении условной энтропии в том или ином виде используются условные вероятности.

            Если при передаче n сообщений символ А появился m раз, символ В появился l раз, а символ А вместе с символом В – к раз, то вероятность появления символа А ; вероятность появления символа В ; вероятность совместного появления символов А и В ; условная вероятность появления символа А относительно символа В и условная вероятность появления символа В относительно символа А

                             (7)

            Если известна условная вероятность, то можно легко определить и вероятность совместного появления символов А и В, используя выражения (7)

                                                          (8)

            От классического выражения (4) формула условной энтропии отличается тем, что в ней вероятности – условные:

                                                         (9)

                                                        (10)

где индекс i выбран для характеристики произвольного состояния  источника сообщения А, индекс j выбран для характеристики произвольного состояния адресата В.

            Различают понятия частной и общей условной энтропии. Выражение (9) и (10) представляют собой частные условные энтропии.

            Общая условная энтропия сообщения В относительно сообщения А характеризует количество информации, содержащейся в любом символе алфавита, и определяется усреднением по всем символам, т. е. по всем состояниям с учетом вероятности появления каждого из состояний, и равна сумме вероятностей появления символов алфавита на неопределенность, которая остается после того, как адресат принял сигнал

            (11)

            Выражение (11) является общим выражением для определения количества информации на один символ сообщения для случая неравномерных и взаимонезависимых символов.

            Так как представляет собой вероятность совместного появления двух событий , то формула (11) можно записать следующим образом:

                                              (12)

            Понятие общей и частной условной энтропии широко используется при вычислении информационных потерь в каналах связи с шумами.

            В общем случае, если мы передаем m сигналов А и ожидаем получить m сигналов В, влияние помех в канале связи полностью описывается канальной матрицей, которую мы приводим ниже:

            Вероятности, которые расположены по диагонали, определяют правильный прем, остальные – ложный. Значение цифр, заполняющих колонки канальной матрицы, обычно уменьшаются по мере удаления от главной диагонали и при полном отсутствии помех всех, кроме цифр, расположенных на главной диагонали, равны нулю.

            Если описывать канал связи со стороны источника сообщений, то прохождение данного вида сигнала в данном канале связи описывается распределением условных вероятностей вида , так для сигнала распределением вида

                              (13)

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

тема 3. Вычисление информационных потерь при передаче сообщений по каналам связи с шумами

            Потери информации в каналах связи с шумами обычно описывают при помощи условной энтропии и энтропии объединения.

            Если помех нет или их уровень настолько низок, что они не в состоянии уничтожить сигнал или имитировать полезный сигнал в отсутствие передачи, то при передаче  мы будем твердо уверены, что получим - сигнал, соответствующий переданному ai-му сигналу. События А и В статистически жестко связаны, условная вероятность максимальна  , а условная энтропия

!!!!1

так как !!!!. В этом случаи количество информации, содержащейся в принятом ансамбле сообщений В, равно энтропии передаваемых сообщений ансамбля А, т.е. I(В, А) = Н (А).

            При высоком уровне помех любой из принятых сигналов bj может соответствовать любому принятому сигналу ai, статистическая связь между переданными и принятыми сигналами отсутствует. В этом случае вероятности!!!!!! Есть вероятности независимых событий и !!!!!!

!!!!1

так как !!11, т.е. условная энтропия равна безусловной, а количество информации, содержащейся в В, относительно А равно нулю:

!!!!

Информационные характеристики реальных каналов связи лежат между этими двумя предельными случаями. При этом потери информации при передаче !! символов по данному каналу связи

!!!!!

            Несмотря на то, что часть информации поражается помехами, между принятыми и переданными сообщениями существует статистическая зависимость. Это позволяет описывать информационные характеристики реальных каналов связи при помощи энтропии объединения статистически зависимых событий. Так как

!!!!1

то потери в канале связи могут быть учтены при помощи энтропии объединения следующим образом:

!!1!

а с использованием условной энтропии

!!!

            Для вычисления среднего количества информации, содержащегося в принятом ансамбле сообщений В относительно передаваемого ансамбля сообщений А в условиях действия помех, пользуются следующими выражениями, выведенными непосредственно из выражения (25):

!!!!!!!!

            Для вычисления часто удобно применять выражения (26-28) в виде

!!!!!!!

            Для полного и всестороннего описания канала связи необходимо задать: канальную матрицу вида !!!!!! и безусловные вероятности вида !!!! или канальную матрицу вида !!!!!! и безусловные вероятности вида !!!!!. В последнем случае сумма значений матрицы по столбцам дает безусловные вероятности вида !!!!!!!!!!, а  сумма по строкам дает безусловные вероятности вида !!!!!!. Условные вероятности могут быть найденными из выражений:

!!!!!!!

            Зная условные и безусловные вероятности, можно найти Н (А), Н(В), Н(А/В) и Н(В/А).

            Если уровень помех настолько высок, что с равной вероятностью можно ожидать переход любого символа источника сообщения в произвольный символ первичного алфавита,. то энтропия канала связи будет равна !!!!!, а количество информации !!!!!!!, при этом значение I может быть отрицательной величиной, что означает, что канал связи вносит дезинформацию.

ТЕМА 5. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ИЗБЫТОЧНОСТИ СООБЩЕНИЙ. ОПТИМАЛЬНОЕ КОДИРОВАНИЕ

Если энтропия источника сообщений не равна максимальной энтропии для алфавита с данным количеством качественных при­знаков (имеются в виду качественные признаки алфавита, при помо­щи которых составляются сообщения), то это прежде всего означает, что сообщения данного источника могли бы нести большее количество информации. Абсолютная недогруженность на символ сообщений такого источника

Для определения количества «лишней» информации, которая заложена в структуре алфавита либо в природе кода, вводится понятие избыточности. Избыточность, с которой мы имеем дело в теории информации, не зависит от содержания сообщения и обычно заранее известна из статистических данных[4]. Информационная избыточность показывает относительную недогруженность на символ алфавита и является безразмерной величиной:

                                                    (45)

где — коэффициент сжатия (относительная энтропия). и  берутся относительно одного и того же алфавита.

Кроме общего понятия избыточности существуют частные виды избыточности.

Избыточность, обусловленная неравновероятным распределением символов в сообщении,

                                                 (46)

Избыточность, вызванная статистической связью между симво­лами сообщения,

                              (47)

Полная информационная избыточность

                                            (48)

Избыточность, которая заложена в природе данного кода, получается в результате неравномерного распределения в сообщениях качественных признаков этого кода и не может быть задана одной цифрой на основании статистических испытаний.

Так при передаче десятичных цифр двоичным кодом максимально загруженными бывают только те символы вторичного алфавита, которые передают значения, являющиеся целочисленными степенями двойки. В остальных случаях тем же количеством символов может быть передано большее количество цифр (сообщений). Например, тремя двоичными разрядами мы можем передать и цифру 5, и цифру 8, т. е. на передачу пяти сообщений тратится столько же символов, сколько тратится и на восемь сообщений.

Фактически для передачи сообщения достаточно иметь длину кодовой комбинации

,

где N - общее количество передаваемых сообщений.

L можно представить и как

,

где  и —соответственно качественные признаки первичного и вторичного алфавитов. Поэтому для цифры 5 в двоичном коде можно записать

Однако эту цифру необходимо округлить до ближайшего целого числа, так как длина кода не может быть выражена дробным числом. Округление, естественно, производится в большую сторону. В общем случае, избыточность от округления

где  — округленное до ближайшего целого числа значение . Для нашего примера

Избыточность — не всегда нежелательное явление. Для повышения помехоустойчивости кодов избыточность необходима и ее вводят искусственно в виде добавочных  символов (см. тему 6). Если в коде всего п разрядов и  из них несут информационную нагрузку, то =  характеризует абсолютную корректирующую избыточность, а величина  характеризует относительную корректирующую избыточность.

Информационная избыточность - обычно явление естественное, заложена она в первичном алфавите. Корректирующая избыточность - явление искусственное, заложена она в кодах, представленных во вторичном алфавите.

Наиболее эффективным способом уменьшения избыточности сообщения является построение оптимальных кодов.

Оптимальные коды[5] - коды с практически нулевой избыточностью. Оптимальные коды имеют минимальную среднюю длину кодовых слов - L. Верхняя и нижняя границы L определяются из неравенства

                                                         (49)

где Н - энтропия первичного алфавита, т - число качественных признаков вторичного алфавита.

В случае поблочного кодирования, где каждый из блоков состоит из М независимых букв , минимальная средняя длина кодового блока лежит в пределах

                                                       (50)

Общее выражение среднего числа элементарных символов на букву сообщения при блочном кодировании

                                                    (51)

С точки зрения информационной нагрузки на символ сообщения поблочное кодирование всегда выгоднее, чем побуквенное.

Суть блочного кодирования можно уяснить на примере представления десятичных цифр в двоичном коде. Так, при передаче цифры 9 в двоичном коде необходимо затратить 4 символа, т. е. 1001. Для передачи цифры 99 при побуквенном кодировании - 8, при поблочном - 7, так как 7 двоичных знаков достаточно для передачи любой цифры от 0 до 123; при передаче цифры 999 соотношение будет 12 - 10, при передаче цифры 9999 соотношение будет 16 - 13 и т. д. В общем случае «выгода» блочного кодирования получается и за счет того, что в блоках происходит выравнивание вероятностей отдельных символов, что ведет к повышению информационной нагрузки на символ.

При построении оптимальных кодов наибольшее распространение нашли методики Шеннона—Фано и Хаффмена.

Согласно методике Шеннона - Фано построение оптимального кода ансамбля из сообщений сводится к следующему:

1-й шаг. Множество из сообщений располагается в порядке убывания вероятностей.

2-й шаг. Первоначальный ансамбль кодируемых сигналов разбивается на две группы таким образом, чтобы суммарные вероятности сообщений обеих групп были по возможности равны. Если равной вероятности в подгруппах нельзя достичь, то их делят так, чтобы в верхней части (верхней подгруппе) оставались символы, суммарная вероятность которых меньше суммарной вероятности символов в нижней части (в нижней подгруппе).

3-й шаг. Первой группе присваивается символ 0, второй группе символ 1.

4-й шаг. Каждую из образованных подгрупп делят на две части таким образом, чтобы суммарные вероятности вновь образованных подгрупп были по возможности равны.

5-й шаг. Первым группам каждой из подгрупп вновь присваивается 0, а вторым - 1. Таким образом, мы получаем вторые цифры кода. Затем каждая из четырех групп вновь делится на равные (с точки зрения суммарной вероятности) части до тех пор, пока в каждой из подгрупп не останется по одной букве.

Страницы: 1, 2, 3, 4