Реферат: Построение экономической модели c использованием симплекс-метода

Чтобы составить новую симплекс-таблицу , выполним необходимые вычислительные процедуры типа 2 .

1. Новое Z - уравнение .

старое Z - уравнение : ( 1   -1      -25    0    0     0 )

                     ( - ( -25 ) *  ( 0   -1/2     1     0   1/2    0 )

                                        ( 1   -131/2   0     0  121/2  0 )

2.   Новое S1 - уравнение

     старое S1 - уравнение : ( 0    5   100   1     0    1000 )

                           ( - 100 ) *    ( 0   -1/2   1      0    1/2       0   )

                                               ( 0   55    0     1   -50   1000 )      

Новая симплекс-таблица будет иметь вид :

В новом решении X1 = 0 и S2 = 0 . Значение Z не изменяется .

Заметим , что новая симплекс-таблица обладает такими же ха-
рактеристиками , как и предыдущая : только небазисные переменные
 X1 и S2 равны нулю , а значения базисных переменных , как и раньше ,
представлены в столбце « Решение » . Это в точности соответствует
результатам , получаемым при использовании метода Гаусса—Жор-
дана .

Из последней таблицы следует , что на очередной итерации в со-
ответствии с условием оптимальности в качестве вводимой перемен-
ной следует выбрать X1 , так как коэффициент при этой переменной в

Z-ypaвнении равен -131/2 . Исходя из условия допустимости , определяем , что исключаемой переменной будет S1 . Отношения , фигурирующие в правой части таблицы , показывают , что в новом базисном решении значение включаемой переменной X1 будет равно 1000/55 ( = минимальному отношению ) . Это приводит к увеличению целевой функции на ( 1000/55 ) *    (   -131/2 ) = ( 2455/11 ) .

К получению симплекс-таблицы , соответствующей новой итерации , приводят следующие вычислительные операции метода Гаусса—Жордана.

1)  Новое ведущее  S1 - уравнение = Предыдущее S1 - уравнение / ( 55 ) .

2) Новое  Z - уравнение = Предыдущее  Z - уравнение - ( -131/2 ) * Новое /ведущее уравнение :

                                         ( 1   -131/2  0     0     121/2       0     )

                    - ( -131/2 ) *  (  0      1     0    1/55   -50/55    1000/55  )

                                         ( 1      0     0    27/110   5/22   2455/11 )

3) Новое X2 - уравнение = Предыдущее  X2 - уравнение - ( -1/2 ) * Новое ведущее уравнение :

                                               ( 0  -1/2   1     0       1/2        0    )

                         - ( - 1/2  ) *     ( 0    1     0    1/55  -50/55    1000/55 )

                                         ( 0    0     1   1/110    1/22     91/11  )

В результате указанных преобразований получим следующую симп-
лекс-таблицу .

В новом базисном решении X1=1000/55 и X2=91/11 . Значение Z увеличилось с 0 ( предыдущая симплекс-таблица ) до 2455/11  ( последняя симплекс-таблица ) . Этот результирующий прирост целевой функции  обусловлен увеличением X1 от О до 1000/55 , так как из Z - строки предыдущей симплекс-таблицы следует , что возрастанию данной переменной на единицу соответствует увеличение целевой функции на( -131/2 ) .

Последняя симплекс-таблица соответствует оптимальному реше-
нию задачи, так как в Z - уравнении ни одна из небазисных переменных не фигурирует с отрицательным коэффициентом. Получением этой pезультирующей таблицы и завершаются вычислительные процедуры симплекс-метода .

В рассмотренном выше примере алгоритм симплекс-метода ис-
пользован при решении задачи , в которой целевая функция подлежала максимизации . В случае минимизации целевой функции в этом
алгоритме необходимо изменить только условие оптимальности :
в качестве новой базисной переменнойследует выбирать ту переменную , которая в Z - уравнении имеет наибольший положительный коэффициент . Условия допустимости в обоих случаях ( максимизации и минимизации ) одинаковы . Представляется целесообразным дать теперь окончательные формулировки обоим условиям , используемым в симплекс-методе .

Условие оптимальности . Вводимой переменной в задаче максимизации ( минимизации ) является небазисная переменная , имеющая в Z -уравнении наибольший отрицательный ( положительный ) коэффициент , В случае равенства таких коэффициентов для нескольких небазисных переменных выбор делается произвольно , если все коэффициенты при небазисных переменных в Z - уравнении неотрицательны (неположительны) , полученное решение является оптимальным .

Условие допустимости , в задачах максимизации и минимизации в качестве исключаемой переменной выбирается та базисная переменная , для которой отношение постоянной в правой части соответствующего ограничения к ( положительному ) коэффициенту ведущего столбца минимально. В случае равенства этого отношения для нескольких базисных переменных выбор делается произвольно .

Оптимальное решение

С точки зрения практического использования результатов ре-
шения задач ЛП классификация переменных , предусматривающая
их разделение на базисные и небазнсные , не имеет значения и при
анализе данных , характеризующих оптимальное решение , может
не учитываться . Переменные , отсутствующие в столбце « Базисные
переменные » , обязательно имеют нулевое значение . Значения ос-
тальных переменных приводятся в столбце « Решение » . При интер-
претации результатов оптимизации в нашей задаче нас прежде всего интересует количество времени , которое закажет наша фирма на радио и телевидение ,  т. е. значения управляемых переменных X1 и X2 . Используя данные , содержащиеся в симплекс-таблице для оптимального решения , основные результаты можно представить в следующем виде :

Заметим, что Z = X1 + 25X2 = 1000/55 + 25 * 91/11 = 2455/11 . Это решение соответствует данным заключительной симплекс-таблицы .

Статус ресурсов

Будем относить ресурсы к дефицитным или недифицитным в зависимости от того , полное или частичное их использо-
вание предусматривает оптимальное решение задачи . Сейчас цель
состоит в том , чтобы получить соответствующую информацию непос-
редственно из симплекс-таблицы для оптимального решения . Од-
нако сначала следует четко уяснить следующее . Говоря о ресурсах ,
фигурирующих в задаче ЛП , мы подразумеваем , что установлены
некоторые максимальные пределы их запасов , поэтому в соответст-
вующих исходных ограничениях должен использоваться знак <= .
Следовательно , ограничения со знаком => не могут рассматриваться
как ограничения на ресурсы . Скорее , ограничения такого типа отра-
жают то обстоятельство , что решение должно удовлетворять опре-
деленным требованиям , например обеспечению минимального спро-
са или минимальных отклонений от установленных структурных
характеристик производства ( сбыта ) .

В модели , построенной для нашей задачи , фигурирует ограничение со знаком <= . Это требование можно рассматривать как ограничение на соответствующий « ресурс » , так как увеличение спроса на продукцию эквивалентно расширению « представительства » фирмы на рынке сбыта .

Из вышеизложенного следует , что статус ресурсов ( дефицитный
или недефицитный ) для любой модели ЛП можно установить не-
посредственно из результирующей симплекс-таблицы , обращая вни-
мание на значения остаточных переменных . Применительно к нашей задаче можно привести следующую сводку результатов

:

Положительное значение остаточной переменной указывает на
неполное использование соответствующего ресурса , т . е . данный
ресурс является недефицятным. Если же остаточная переменная рав-
на нулю , это свидетельствует о полном потреблении соответствующе-
го ресурса. Из таблицы видно , что наши ресурсы являются дефицитными . В случае недефицитности  любое увиличение ресурсов сверх установленного максимального значения привело бы лишь к тому , что они стали бы еще более недефнинтными . Оптимальное решение задачи при этом осталось бы неизменным.

Ресурсы, увеличение запасов которых позволяет улучшить ре-
шение ( увеличить прибыль ) , — это остаточные переменные S1 и S2 , по-
скольку из симплекс-таблицы для оптимального решения видно ,
что они дефицитные . В связи с этим логично поставить следующий
вопрос: какому из дефицитных ресурсов следует отдать предпочте-
ние при вложении дополнительных средств на увеличение их запа-
сов , с тем чтобы получить от них максимальную отдачу ? Ответ на
этот вопрос будет дан в следующем подразделе этой главы , где рас-
сматривается ценность различных ресурсов .

Ценность ресурса

Ценность ресурса характеризуется величиной улучшения опти-
мального значения Z , приходящегося на единицу прироста объема
данного ресурса .

Информация для оптимального решения задачи представлена в симплекс-таблице . Обратим внимание на значения коэффициентов Z - уравнения , стоящих при переменных начального базиса S1 и S2 . Выделим для удобства соответстзующую часть симплекс-таблицы :

Как следует из теории решения задач ЛП , ценность ресурсов всегда можно определить по значениям коэффициентов при переменных начального базиса , фигурирующих в Z - уравнении оптимальной симплекс-таблицы , таким образом Y1 = 27/110 , а Y2 = 5/22 .

Покажем , каким образом аналогичный результат можно получить непосредственно из симплекс-таблицы для оптимального решения . Рассмотрим Z - уравнение симплекс-таблицы для оптимального решения нашей задачи

Z = 2455/11 - ( 27/110S1 +  5/22S2 ) .

Положительное приращение переменной S1 относительно ее текущего
нулевого значения приводит к пропорциональному уменьшению Z ,
причем коэффициент пропорциональности равен 27/110 . Но , как следует из первого ограничения модели :

5X1 + 100X2  + S1 = 1000

увеличение S1 эквивалентно снижению количества денег выделеных на рекламу ( далее мы будем использовать в тексте , как первый ресурс ) .

Отсюда следует , что уменьшение количества денег выделеных на рекламу вызывает пропорциональное уменьшение целевой функции с тем же коэффициентом пропорциональности,равным27/110.Так как
мы оперируем с линейными функциями , полученный вывод можно
обобщить , считая , что и увеличение количества денег выделеных на рекламу ( эквивалентное введению избыточной переменной S1 < 0 ) приводит к пропорциональному увеличению Z с тем же коэффициентом пропорциональности , равным 27/110 . Аналогичные рассуждения справед-
ливы для ограничения 2 .

Несмотря на то что ценность различных ресурсов , определяемая
значениями переменных Yi , была представлена в стоимостном  выражении , ее нельзя отождествлять с действительными це-
нами , по которым возможна закупка соответствующих ресурсов .
На самом деле речь идет о некоторой мере , имеющей экономическую
природу н количественно характеризующей ценность ресурса только относительно полученного оптимального значения целевой функции .
При изменении ограничении модели соответствующие экономические
оценки будут меняться даже тогда , когда оптимизируемый процесс
предполагает применение тех же ресурсов . Поэтому при характерис-
тике ценности ресурсов экономисты предпочитают использовать
такие терминыт , как теневая цена , скрытая цена , или более специ-
фичный термин — двойственная оценка .

Заметим , что теневая цена ( ценность ресурса ) характеризует ин-
тенсивность улучшения оптимального значения Z . Однако при этом
не фиксируется интервал значений увеличения запасов ресурса ,
при которых интенсивность улучшения целевой функции остается
постоянной . Для большинства практических ситуаций логично пред-
положить наличие верхнего предела увеличения запасов , при пре-
вышении которого соответствующее ограничение становится избы-
точным , что в свою очередь приводит к новому базисному решению
и соответствующим ему новым теневым ценам . Ниже определяется
нитервал значений запасов ресурса , при которых соответствую-
щее ограничение не становится избыточным .

Максимальное изменение запаса ресурса

При решении вопроса о том , запас какого из ресурсов следует
увеличивать в первую очередь , обычно используются теневые цены
Чтобы определить интервал значений изменения запаса ресурса ,
при которых теневая цена данного ресурса , ( фигурирующая в заклю-
чительной симплекс-таблице , остается неизменной , необходимо выполнить ряд дополнительных вычислений . Рассмотрим сначала
 соответствующие вычислительные процедуры , а затем покажем , как
требуемая информация может быть получена из симплекс-таблицы
для оптимального решения .

В нашей задаче запас первого ресурса изменился на D1 т. е. запас бюджета  составит 1000 + D1 . При положительной величине D1 запас данного ресурса увеличивается , при отрицательной — уменьшается . Как правило , исследуется ситуация , когда объем ресурса увеличивается            ( D1 > 0 ) , однако , чтобы получить результат в общем виде , рассмотрим оба случая .

Как изменится симплекс-таблица при изменении величины за-
паса ресурса на D1 ? Проще всего получить ответ на этот вопрос .
если ввести D1 в правую часть первого ограничения начальной сим-
плекс-таблицы и затем выполнить все алгебраические преобразова-
ния , соответствующие последовательности итераций . Поскольку
правые части ограничений никогда не используются в качестве
ведущих элементов , то очевидно , что на каждой итерации D1 будет
оказывать влияние только на правые части ограничений .

Фактически вce изменения правых частей ограничений , обуслов-
ленные введением D1 , можно определить непосредственно по данным ,
содержащимся в симплекс-таблицах . Прежде всего заметим , что
на каждой итерации новая правая часть каждого ограничения пред-
ставляет собой сумму двух величин: 1) постоянной и 2) члена , ли-
нейно зависящего от D1 . Постоянные соответствуют числам , которые
фигурируют на соответствующих итерациях в правых частях ограничений симплекс-таблиц до введения D1 . Коэффициенты при D1 во вторых слагаемых равны коэффициентам при S1 на той же итерации . Так , например , на последнеи итерации ( оптимальное решение ) постоянные       ( 2455/11 ; 1000/55 ; 91/11 ) представляют собои числа , фигурирующие в правых частях ограничении оптимальной симплекс-таблицы до введения D1. Коэффициенты ( 27/110 ; 1/55 ; 1/110 ) равны коэффициентам при S1  в той же симплекс-таблице потому , что эта переменная связана только с первым ограничением . Другими словами , при анализе влияния изменений в правой части второго ограничения нужно пользоваться коэффициентами при переменной S2 .

       Какие выводы можно сделать из полученных результатов?
Так как введение D1 сказывается лишь на правой части симплекс-
таблицы , изменение запаса ресурса может повлиять только на
допустимость решения . Поэтому D1 не может принимать значений ,
при которых какая-либо из ( базисных ) переменных становится отри-
цательной . Из этого следует , что величина D1 должна быть огра-
ничена таким интервалом значений , при которых выполняется ус-
ловие неотрицательности правых частей ограничений в результи-
рующей симплекс-таблице , т . е .

X1 = 1000/55  + ( 1/55 )D1 => 0                                 ( 1 )

X2 = 91/11 + ( 1/110 )D1 => 0                                   ( 2 )

Для определения допустимого интервала изменения D1 рассмо-
трим два случая .

Случай 1: D1 => 0 Очевидно , что оба неравнества при этом условии всегда будут неотрицательными .

Случай 2: D1 < 0 .

( 1/55 )D1 => - 1000/55 . Из этого следует , что D1 => - 1000

                                                                          ( 2 )        

( 1/110 )D1 => - 91/11 . Из этого следует , что D1 => - 1000

Объединяя результаты , полученные для обоих случаев , можно
сделать вывод , что при - 1000 <= D1 <= + ¥ решение рассматриваемой зада-
чи всегда будет допустимым , любое значение D1 , выходящее за
пределы указанного интервала , приведет к недопустимости решения и
новой совокупности базисных переменных .

            Теперь рассмотрим в каких пределах может изменяться запас ресурса 2 анализ проведем по аналогичной схеме :

Запас 2-ого ресурса изменился на D2 т . е . запас рекламного времени составит 0 + D2 . Как изменилась симплекс-таблица при изменении величины запаса ресурса на D2 .

Найдем интервал ограничивающий величину D2

X1 = 1000/55 - ( 50/55 )D2                        ( 1 )

X2 = 91/11 + ( 1/22 )D2                          ( 2 )

            Для определения допустимого интервала изменения D1 рассмо-
трим два случая .

       Случай 1: D2 => 0:  ( 1  )

( 50/55 )D2 <= 1000/55 из этого неравенства следует , что D2 <= 20

                                                                                ( 2 )

Очевидно , что 2-ое уравнение неотрицательно на данном участке .

Объединяя 2 уравнения для Случая 1 мы получим интервал для D2 .

D2 Î [ 0 ; 20 ]

Случай 2: D2 < 0 . :  ( 1 )

( 50/55 )D2 => - 1000/55 . Из этого следует , что D2 <= 20

                                                                                 ( 2 ) 

( 1/22 )D2 => - 91/11 . Из этого следует , что D2 => - 200

Объединяя 2 уравнения для Случая 2 мы получим интервал для D2 .

      D2 Î [ - 200 ; 0 ]

      Объединяя 2 случая мы получим интервал [ - 200 ; 20 ]

Максимальное изменение коэффициентов удельной

прибыли ( стоимости )

Наряду с определением допустимых изменений запасов ресур-
сов представляет интерес и установление интервала допустимых
изменений коэффициентов удельной прибыли ( или стоимости ) .
     Следует отметить , что уравнение целевой функции никогда не используется в качестве ведущего уравнения . Поэтому лю-
бые изменения коэффициентов целевой функции окажут влияние
только на Z-уравнение результирующей симплекс-таблицы . Это
означает , что такие изменения могут сделать полученное решение
неоптимальным . Наша цель заключается в том , чтобы найти интер-
валы значений изменений коэффициентов целевой функции ( рас-
сматривая каждый из коэффициентов отдельно ) , при которых оп-
тимальные значения переменных остаются неизменными .

Чтобы показать, как выполняются соответствующие вычисле-
ния , положим , что удельный объем сбыта , ассоциированной с переменной

X1 изменяется от 1 до 1 + d1 где d1 может быть как положительным , так и отрицательным числом . Целевая функция в этом случае принимает следующий вид:

Z = ( 1 + d1 )X1 + 25X2

Если воспользоваться данными начальной симплекс-таблицы и
выполнить все вычисления , необходимые для ( получения заключн-
тельной симплекс-таблицы , то последнее Z-уравнение будет выгля-
деть следующим образом:

Коэффициенты при базисных переменных X1 , X2 и остаточных я равными нулю . Это уравнение отличается от Z-уравнения до введения d1 , только наличием членов , содержащих d1 . Коэффициенты при d1 равны Коэффициентам при соответствующих переменных в Z-уравнении симплекс-таблицы для полученного ранее оптимального решения

Мы рассматриваем X1 - уравнение , так как коэффициент именно при
этон переменной в выражении для целевои функции изменился
на d1 .

Оптимальные значения переменных будут оставаться неизмен-
ными при значениях d1 , удовлетворяющих условию неотрицатель-
ности ( задача на отыскание максимума ) всех коэффициентов при не-
базисных переменных в Z-уравнении . Таким образом , должны выполняться следующие неравенства :

27/110 + 1/55d1 => 0

5/22 - 50/55d1 => 0

Из первого неравенства получаем , что d1 => - 13,5 , а из второго следует что d1 <= 1/4 . Эти результаты определяют пределы изменения коэффициента C1 в виде следующего соотношения : - 13,5 <= d1 <= 1/4 . Та-
ким образом , при уменьшении коэффициента целевой функции при
переменной X1 до значения , равного 1 + ( - 13,5 ) = - 12,5   или при его увеличении до 1 + 13,5 = 14,5 оптимальные значения переменных остаются
неизменными . Однако оптимальное значение Z будет изменяться ( в соответствии с выражением 2455/11 + 1000/55d1 , где - 13,5 <= d1 <= 1/4

            X2  изменяется от 25 до 25 + d2 где d2 может быть как положительным , так и отрицательным числом . Целевая функция в этом случае принимает следующий вид:

Z = ( 25 + d2 )X2 + X1

            Все предыдущее обсуждение касалось исследования изменения коэффициента при переменной , которой поставлено в соответствие ограничение , фигурирующее в симплекс-таблице . Однако такое ограничение имеется лишь в том случае , когда данная переменная является базисной ( например X1 и X2 ) . Если переменная небазисная , то в столбце , содержащем базисные переменные , она не будет представлена .

            Любое изменение коэффициента целевой функции при небазисной переменной приводит лишь к тому , что в заключительной симплкс-таблице изменяется только этот коэффициент . Рассмотрим в качестве иллюстрации случай , когда коэффициент при переменной S1 ( первой остаточной переменной ) изменяется от 0 до d3 . Выполнение преобразований , необходимых для получения заключительной симплекс таблицы , приводит к следующему результирующему Z-уравнению :

Заключение

В результате проведенного исследования, было получено подтверждение о выгодности использования математико-экономического проектирования и методов системного анализа для анализа и планирования экономических систем.

Список литературы :

В этом месте должна указываться литература использованная в курсовой работе, но прогресс привел к тому, что вся информация черпалась на страницах INTERNET, а следовательно

Список серверов:

www.citforum.ru

www.rambler.ru

www.msu.ru

www.ntcf.ru

www.yandex.ru