Реферат: Математические методы планирования экспериментов

Представленный на рисунке 3, а и в таблице 3 прямоугольный (квадратный) план эксперимента для модели второго порядка работоспособен, хотя и несколько избыточен (9 опытов для определения 6 коэффициентов). Благодаря трем избыточным опытам, он позволяет усреднить случайные погрешности и оценить их характер.

Таблица 3 – Ортогональный центральный композиционный план второго порядка

В этой таблице

. (13)

В силу ортогональности матрицы планирования ее коэффициенты равны:

 (14)

Уравнения регрессии  определяются независимо один от другого по формулам.

Здесь i - номер столбца в матрице планирования; j - номер строки; суммы в знаменателях различны для линейных, квадратичных эффектов и взаимодействий.

Дисперсии коэффициентов уравнения регрессии следующие:

. (15)

Следует особо отметить, что коэффициенты уравнения регрессии, получаемые с помощью ортогональных планов второго порядка, определяются с разной точностью (см. уравнение (14)), в то время как ортогональные планы первого порядка обеспечивают одинаковую точность коэффициентов, т.е. план, представленный в таблице 3, являющийся ортогональным и обеспечивающий независимость определения коэффициентов b, не является рототабельным.

В результате расчетов по матрице с преобразованными столбцами для квадратичных эффектов получаем уравнение регрессии в виде:

 (16)

Для преобразования к обычной форме записи следует перейти от коэффициента  к коэффициенту , используя выражение:

. (17)

При этом дисперсия этого коэффициента рассчитывается по следующему соотношению:

 (18)

В дальнейшем, зная дисперсию воспроизводимости, проверяют значимость коэффициентов и адекватность уравнения:

 (19)

Значимость коэффициентов проверяется по критерию согласия Стьюдента . Коэффициент значим, если , где m – число степеней свободы дисперсии воспроизводимости.

Адекватность уравнения проверяется по критерию Фишера

Уравнение значимо, если составлено таким образом F - отношение меньше теоретического: , где  - число свободы дисперсии адекватности;  - число степеней свободы дисперсии воспроизводимости; I - число коэффициентов в уравнении регрессии второго порядка, равное числу сочетаний из по 2, т.е.

 (20)

2.3 Рототабельные планы второго порядка

Как было установлено, план второго порядка, представленный в таблице 3, не обладает свойством рототабельности. Рототабельным называют планирование, для которого дисперсия отклика (выходного параметра) , предсказанного уравнением регрессии, постоянна для всех точек, находящихся на равном расстоянии от центра эксперимента. Экспериментатору заранее неизвестно, где находится та часть поверхности отклика, которая представляет для него особый интерес, поэтому следует стремиться к тому, чтобы количество информации, содержащееся в уравнении регрессии, было одинаково для всех равноотстоящих от центра эксперимента точек. Действительно, удаление от центра точек 5,6,7,8 в  раза меньше, чем удаление точек 1: 2, 3, 4 (см. рисунок 3,: а), и, следовательно, коэффициент уравнения регрессии определяются с различной дисперсией. Бокс и Хантер предложили рототабельные планы 2-го порядка. Для того чтобы композиционный план был рототабельным, величину звездного плеча  выбирают из условия:

 (21)

Или в общем случае

,

где k – число факторов;

p – дробность реплики (для ПФЭ p = 0, для полуреплики p =1, для четвертьреплики p = 2 и т.д.).

Число точек в центре плана  увеличивают. В таблице 4 приведены значения а для различного числа независимых факторов.

Таблица 4 - Значения звездных плеч и числа точек в центре ротатабельных планов

Рассмотрим идею выбора значения звездного плеча  на примере матрицы рототабельного планирования второго порядка для , представленной в таблице 5.

Размещение точек этого плана показано на рисунке 3, б. Для обеспечения рототабельности точек 5, 6, 7, 8 необходимо удалить их от центра плана на расстояние  в  раз большее, чем удаление точек 1, 2, 3, 4 от осейи . В результате этого все точки плана (таблица 5) оказываются лежащими на окружности. Учитывая существенно большее влияние на функцию отклика случайной ошибки в точке 9, рекомендуется ставить в этой точке плана не один, а несколько дублирующих опытов (в данном случае опыты с 9 до 13) для усреднения полученных результатов и для осуществления статистического анализа результатов всего эксперимента в целом.

Таблица 5 – Рототабельный план второго порядка

Учитывая специфический характер рототабельного плана в общем виде, можно также получить формулы для расчета коэффициентов уравнения регрессии и их дисперсий:

 (22)

; (23)

 (24)

 (25)

 (26)

 (27)

 (28)

где   (29)

  (30)

  (31)

 (32)

Здесь  - число опытов в центре плана;  - число остальных опытов.

Матрица рототабельного планирования, оказывается неортогональной, так как:

 (33)

Следовательно, если какой-либо из квадратичных эффектов оказался незначимые, то после его исключения коэффициенты уравнения регрессии необходимо пересчитать заново.

При использовании рототабельных планов второго порядка дисперсию воспроизводимости можно определить по опытам в центре плана. В связи с этим при проверке адекватности уравнения регрессии, полученного по рототабельному плану второго порядка, поступают следующим образом.

Находят остаточную сумму квадратов:

 (34)

с числом степеней свободы

 (35)

По опытам в центре плана определяют сумму квадратов воспроизводимости:

 (36)

с числом степеней свободы  

Далее находят сумму квадратов, характеризующих неадекватность , число степеней свободы которой

 (37)

Проверяют значимость по критерию согласия Фишера:

. (38)

Уравнение значимо, если  

Если модель второго порядка оказалась неадекватной, следует повторить эксперименты на меньшем интервале варьирования факторов или перенести центр плана в другую точку факторного пространства. В тех случаях, когда адекватность модели по-прежнему не достигается, рекомендуется перейти к планам третьего порядка [1].

Использование теории планирования эксперимента является одним из путей существенного повышения эффективности многофакторных экспериментальных исследований. Под планированием эксперимента понимают процедуру выбора числа и условий проведения опытов, необходимых и достаточных для решения поставленной задачи с требуемой точностью. Основные преимущества активного эксперимента связаны с тем, что он позволяет:

1. Минимизировать общее число опытов;

2. Выбирать четкие логически обоснованные процедуры, последовательно выполняемые экспериментатором при проведении исследования;

3. Использовать математический аппарат, формализующий многие действия экспериментатора;

4. Одновременно варьировать всеми переменными и оптимально использовать факторное пространство;

5. Организовать эксперимент таким образом, чтобы выполнялись многие исходные предпосылки регрессионного анализа;

6. Получать математические модели, имеющие лучшие в некотором смысле свойства по сравнению с моделями, построенными из пассивного эксперимента;

7. Рандомизировать условия опытов, то есть многочисленные мешающие факторы превратить в случайные величины;

8. Оценивать элемент неопределенности, связанный с экспериментом, что дает возможность сопоставлять результаты, полученные разными исследователями.

В планировании экспериментов применяются в основном планы первого и второго порядков. Планы более высоких порядков используются в инженерной практике редко. В данном реферате было кратко изложена методика составления плана эксперимента для моделей первого порядка и более подробно представлено понятие о планировании второго порядка и построение планов второго порядка [2].

1.  Спирин Н.А., Лавров В.В. Методы планирования и обработки результатов инженерного экспиремента: конспект лекции Н.А. Спирина – Екатеринбург: ГОУ ВПО УГТУ – УПИ, 2004.- 257 с.

2.  Налимов В.Н. Логические основания планирования эксперимента: учебник Е.А. Шалыгина -2-е изд. – М.: Колос, 2001.

3.  Планирование эксперимента – Режим доступа: URL: http://opds.sut.ru/electronic_manuals/pe/f053.htm