|
Реферат: Математические методы планирования экспериментовРеферат: Математические методы планирования экспериментовСОДЕРЖАНИЕ планирование эксперимент модель ВВЕДЕНИЕ 1 Общие сведения о планировании эксперимента 2 Краткая характеристика методики составления планов эксперимента для моделей первого и второго порядков 2.1 Общие положения о планировании второго порядка 2.2 Ортогональные центральные композиционные планы второго порядка 2.3 Рототабельные планы второго порядка ЗАКЛЮЧЕНИЕ Список использованных источников ВВЕДЕНИЕ Развитие современной науки и техники связано с созданием новых и постоянным совершенствованием существующих научных и технологических процессов. Основой их разработки и оптимизации является эксперимент. Заметное повышение эффективности экспериментальных исследований и инженерных разработок достигается использованием математических методов планирования экспериментов. В процессе экспериментирования и при обработке полученных данных существенно сокращает сроки решения, снижает затраты на исследования и повышает качество полученных результатов. Цель планирования эксперимента – нахождение таких условий и правил проведения опытов при которых удается получить надежную и достоверную информацию об объекте с наименьшей затратой труда, а также представить эту информацию в компактной и удобной форме с количественной оценкой точности. 1. Общие сведения о планировании эксперимента Инициатором применения планирования эксперимента является Рональд А. Фишер, другой автор известных первых работ – Френк Йетс. Далее идеи планирования эксперимента формировались в трудах Дж. Бокса, Дж. Кифера. В нашей стране - в трудах Г.К. Круга, Е.В. Маркова и др. Часто, приступая к изучению какого-либо процесса экспериментатор не имеет исчерпывающих сведений о механизме процесса. Можно только указать параметры определяющие условия протекания процесса, и, возможно требования к его результатам. Поставленная проблема является задачей кибернетики. Действительно, если считать кибернетику «наукой, изучающей системы любой природы, способные воспринимать, хранить и перерабатывать информацию для целей оптимального управления» [3], то такую систему можно представить в виде черного ящика. Черный ящик – объект исследования, имеющий (k + p) входов и m выходов.
Зависимость между выходными параметрами (откликом) и входными параметрами (факторами) называется функцией отклика. Математическая запись функции отклика представлена в виде формулы (1): (1) Этому уравнению в многомерном пространстве соответствует гиперповерхность, которая называется поверхностью отклика, а само пространство – факторным пространством. Рисунок 2 – Поверхность отклика Для математического описания поверхности отдыха используют уравнение: (2) где - перемешнные факторы при i=1,…,k; u=1,…,k; iu; . Это уравнение является разложением в ряд Тейлора неизвестной функции отклика в окрестности точки с . На практике по результатам эксперимента производится обработка дан\ных по методу наименьших квадратов. Этот метод позволяет найти оценку b коэффициентов , и данный полином заменяется уравнением вида: (3) которое является регрессионной моделью (моделью регрессионного анализа). В этом выражении означает модельное, т.е. рассчитываемое по уравнению модели, значение выхода. Коэффициенты регрессии определяются экспериментально и служат для статистической оценки теоретических коэффициентов, т.е. (4) В регрессионной модели члены второй степени , характеризуют кривизну поверхности отклика. Чем больше кривизна этой поверхности, тем больше в модели регрессии членов высшей степени. На практике чаще всего стремятся ограничиться линейной моделью [1]. Эксперимент можно проводить по-разному. В случае, когда исследователь наблюдает за каким-то неуправляемым процессом, не вмешиваясь в него, или выбирает экспериментальные точки интуитивно, на основании каких-то привходящих обстоятельств, эксперимент считают пассивным. В настоящее время пассивный эксперимент считается неэффективным. Гораздо более продуктивно проводится эксперимент, когда исследователь применяет статистические методы на всех этапах исследования, и, прежде всего, перед постановкой опытов, разрабатывая схему эксперимента, а также в процессе экспериментирования, при обработке результатов и после эксперимента, принимая решение о дальнейших действиях. Такой эксперимент считают активным, и он предполагает планирование эксперимента. Под планированием эксперимента понимают процедуру выбора числа и условий проведения опытов, необходимых и достаточных для решения поставленной задачи с требуемой точностью. Под математической моделью планирования понимается наука о способах составления экономических экспериментальных данных планов, которые позволяют извлекать наибольшее количество информации об объекте исследования, о способах проведения эксперимента, о способах обработки данных и их использование для оптимизации производственных процессов, а также инженерных расчетов [3]. 2. Краткая характеристика методики составления планов эксперимента для моделей первого и второго порядков Использование теории планирования эксперимента является одним из путей существенного повышения эффективности многофакторных экспериментальных исследований. В планировании экспериментов применяются в основном планы первого и второго порядков. Планы более высоких порядков используются в инженерной практике редко. В связи с этим далее приводится краткое изложение методики составления планов эксперимента для моделей первого и второго порядков. Под планом первого порядка понимают такие планы, которые позволяют провести эксперимент для отыскания уравнения регрессии, содержащего только первые степени факторов и их произведения: (5) Планы второго порядка позволяют провести эксперимент для отыскания уравнения регрессии, содержащего и вторые степени факторов: (6) Нахождение уравнения регрессии методом планирования экспериментов состоит из следующих этапов: · выбор основных факторов и их уравнений; · планирование и проведение собственного эксперимента; · определение коэффициентов уравнения регрессии; · статистический анализ результатов эксперимента [1]. 2.1 Общие положения о планировании второго порядкаОписание поверхности отклика полиномами первого порядка часто оказывается недостаточным. Во многих случаях удовлетворительная аппроксимация может быть достигнута, если воспользоваться полиномом второго порядка (6). В этом случае требуется, чтобы каждый фактор варьировался не менее чем на трех уровнях. В этом случае полный факторный эксперимент содержит слишком большое количество опытов, равное . Так, при их 27, а число коэффициентов , при число опытов 243, а коэффициентов 21. В связи с этим осуществление полного факторного эксперимента (ПФЭ) для планов второго порядка не только сложно, но и нецелесообразно. Сократить число опытов можно, воспользовавшись так называемым композиционным или последовательным планом, разработанным Боксом и Уилсоном. Так, при двух факторах модель функции отклика второго порядка представляет собой поверхность в виде цилиндра, конуса, эллипса и т.д., описываемую в общем виде уравнением: . (7) Для определений такой поверхности необходимо располагать координатами не менее трех ее точек, т.е. факторы и должны варьироваться не менее чем на трех уровнях. Поэтому план эксперимента в плоскости факторов и на рисунке 3, а не может состоять лишь из опытов 1, 2, 3, 4, располагающихся в вершинах квадрата, как это делается для модели первого порядка. К ним должны быть добавлены опыты (звездные точки) 5, 6, 7, 8, расположенные на осях и с координатами и обязательно опыт 9 в центре квадрата, чтобы по любому направлению (5-9-6), (1-9-4) и т.д. располагалось три точки, определяющие кривизну поверхности в этом направлении. Рисунок 3 – Планы второго порядка при : а – ортогональный; б – рототабельный Таким образом, в общем случае ядро композиционного плана составляет при ПФЭ , а при - дробную реплику от него. Если линейное уравнение регрессии оказалось неадекватным, необходимо: 1) добавить (2 – k) звездных точек, расположенных на координатных осях факторного пространства где - звездное плечо, или расстояние до звездной точки; 2) провести опытов при значениях факторов в центре плана. При k факторах общее число опытов в матрице композиционного плана составит: (8) При этом величина звездного плеча и число опытов в центре плана зависит от выбранного вида композиционного плана. Композиционный план для и представлен в таблице 1. Таблица 1 – Композиционный план второго порядка
Аналогичным образом строятся планы и для большего числа факторов [1]. 2.2 Ортогональные центральные композиционные планы второго порядкаВ общем виде план, представленный в таблице 1, неортогонален так как (9) Приведем его к ортогональному виду, для чего введем новые переменные (преобразования для квадратичных эффектов): (10) при этом (11) Тогда уравнение регрессии будет записано как (12) Композиционные планы легко привести к ортогональным, выбирая звездное плечо . В таблице 2 приведено значение а для различного числа факторов k и числа опытов в центре плана . Таблица 2 – Значения звездных плеч в ортогональных планах второго порядка
В частности, ортогональный план второго порядка для и представлен в таблице 3, а его геометрическая интерпретация - на рисунке 3, а. Страницы: 1, 2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Рефераты бесплатно, реферат бесплатно, курсовые работы, реферат, доклады, рефераты, рефераты скачать, рефераты на тему, сочинения, курсовые, дипломы, научные работы и многое другое. |
||
При использовании материалов - ссылка на сайт обязательна. |