Реферат: ПТЦА - Прикладная теория цифровых автоматов

Если при переходе автомата из одного состояния в другое должны изменить свои состояния сразу несколько запоминающих элементов, то между ними начинаются состязания. Тот элемент, который выиграет эти состязания, т.е. изменит свое состояние ранее, чем другие элементы, может через цепь обратной связи изменить сигналы на входах некоторых запоминающих элементов до того, как другие, участвующие в состязаниях элементы, изменят свои состояния. Это может привести к переходу автомата в состояние, не предусмотренное его графом.  Поэтому в процессе перехода из состояния am в состояние as под действием входного сигнала Zf автомат может оказаться в состоянии ak или al: (рис.36.).

Если затем при том же входном сигнале Zf автомат из аk и аl перейдет в аs, то такие состязания являются допустимыми или некритическими.

Если же в этом автомате есть переход, например,  из аk в аj ¹ аs под действием того же сигнала Zf, то автомат может перейти в аj, а не в аs и правильность его работы будет нарушена (рис.37.).

Такие состязания называются критическими состязаниями или гонками и необходимо принимать меры для их устранения.

Устранить гонки можно аппаратными средствами либо используя специальные методы кодирования. Один из  способов ликвидации гонок состоит в тактировании  входных  сигналов  автомата импульсами определенной длительности. Предполагается, что кроме входных каналов х1,  ...,  хl  имеется еще канал С от генератора синхроимпульсов, по которому поступает сигнал С = 1 в момент прихода импульса и С = 0 при его отсутствии. В связи с этим входным сигналом на переходе (am, as) будет не Zf, а CZf.  Тогда, если длительность импульса tc меньше самого короткого пути прохождения тактированного сигнала обратной связи по комбинационной  схеме, то к моменту перехода в промежуточное состояние ak сигнал C = 0, CZf=0, что исключает гонки. Канал С – это фактически синхровход триггера. Недостаток метода – в трудности подбора требуемой длительности импульса, т.к. она зависит от многих факторов, не поддающихся строгому учету.

Другой способ ликвидации гонок заключается во введении двойной памяти. В этом   случае каждый элемент памяти дублируется, причем перепись из первого элемента памяти во второй происходит в момент С = 0(рис.38.).

Сигналы обратной связи для получения функций возбуждения и функций выходов автомата снимаются с выхода второго триггера. Таким образом состязания могут возникнуть только между первыми триггерами, сигналы ОС  (выходы вторых триггеров) не могут измениться до тех пор, пока С не станет равным 0. Но тогда CZf = 0,  первый триггер перестанет воспринимать информацию, и гонок не будет.

Для устранения гонок используются специальные методы противогоночного кодирования, среди которых чаще всего применяется так называемое соседнее кодирование состояний автомата, при котором условие отсутствия гонок всегда выполнено. При соседнем кодировании  любые два, состояния связанные дугой на графе автомата кодируются наборами, отличающимися состояниями лишь одного элемента памяти.

Соседнее кодирование не всегда возможно. Граф автомата, допускающее соседнее кодирование, должен удовлетворять ряду требований, а именно:

1)  в графе автомата не должно быть циклов с нечетным числом вершин;

2)  два соседних состояния второго порядка не должны иметь более двух состояний, лежащих между ними.

Под состояниями второго порядка понимаются такие два состояния, путь между которыми по графу автомата состоит из двух ребер (независимо от ориентации). Примеры графов  автоматов допускающих и не допускающих соседнее кодирование представлены на рис.39а. и 39б. соответственно.

При соседнем кодировании обычно пользуются картой Карно. В этом случае состояния,  связанные дугой, располагают на соседних клетках карты (рис.40.).

Легко видеть, что при соседнем кодировании на каждом переходе переключается только один триггер, что принципиально устраняет гонки.

 
Кодирование состояний и сложность комбинационной схемы автомата.

Анализ канонического метода структурного синтеза автомата показывает, что различные  варианты кодирования состояний автомата приводят к различным выражениям функций возбуждения памяти и функций выходов, в результате чего сложность комбинационной схемы существенно зависит от выбранного кодирования. Среди множества существующих алгоритмов кодирования рассмотрим лишь два наиболее часто встречаемых:

1) алгоритм кодирования для D-триггеров;

2) эвристический алгоритм кодирования.

 Алгоритм кодирования для D-триггеров.

Согласно рассматриваемому алгоритму при кодировании необходимо выполнить следующее:

1.   Каждому состоянию автомата аm (m = 1,2,...,M) ставится в соответствие целое число Nm,  равное числу переходов в состояние аm (Nm  равно числу появлений аm в поле таблицы переходов или числу дуг, входящих в аm при графическом способе задания автомата).

2.   Числа N1, N2, ..., Nm упорядочиваются по убыванию.

3.   Состояние аs с наибольшим Ns кодируется кодом:, где R-количество элементов памяти.

4.   Следующие R состояний согласно списка пункта 2 кодируются кодами, содержащими только одну  1:  00 ... 01,  00 ... 10,  ... , 01 ... 00, 10 ... 00. 

5.   Для оставшихся состояний опять в порядке списка  п.2. используют коды с двумя единицами, затем с тремя и так далее пока не будут закодированы все состояния.

В результате получается такое кодирование, при котором чем больше имеется переходов в некоторое состояние, тем меньше единиц в его коде. Т.к. для D-триггеров функции возбуждения однозначно определяются кодом состояния перехода, то очевидно, что выражения для функций возбуждения будут проще.  Этот метод особенно эффективен при отсутствии минимизации функций возбуждения, что имеет место в реальных автоматах с большим количеством внутренних состояний и входных переменных.

В частности, для автомата, заданного своими таблицами переходов и выходов (см. ниже)  при кодировании на базе D-триггеров.

            a1 ~ N1 = 3                  N3        a3 = 000

            a2 ~ N2 = 4                  N2        a2 = 001

            a3 ~ N3 = 5                  N1        a1 = 010

            a4 ~ N4 = 5                  N4        a4 = 100

            a5 ~ N5 = 1                  N5        a5 = 011

Аналогично кодированию внутренних состояний для D-триггеров можно кодировать выходные сигналы для любого типа триггеров, т.е. чем чаще вырабатывается данный выходной сигнал wi, тем меньше единиц в его коде. Так для автомата (рис.41.) имеем:

            w1 ~ N1 = 6                 N1        w1 = 00

            w2 ~ N2 = 5                 N2        w2 = 01

            w3 ~ N3 = 2                 N3        w3 = 10

            w4 ~ N4 = 2                 N4        w4 = 11

Предполагается самостоятельно окончить синтез автомата при данном кодировании и  при любом другом. Результаты сравнить.

Эвристический алгоритм кодирования.

Данный алгоритм минимизирует суммарное число переключений элементов памяти на всех переходах автомата и используется для кодирования состояний автомата при синтезе на базе  T,  RS,  JK-триггеров.  Для данных типов триггеров (в отличие от D-триггеров!) на  каждом переходе, где триггер меняет свое значение на противоположное, одна из функций возбуждения обязательно равна 1. Уменьшение числа переключений триггеров приводит к уменьшению количества единиц соответствующих функций возбуждения, что при отсутствии минимизации однозначно приводит к упрощению комбинационной схемы автомата.

Введем некоторые определения.

Пусть Г(S) – неориентированный граф переходов автомата S. Вершины графа отождествляются с состояниями автомата. Вершины i и j соединены ребром, если есть переход из аi и аj или наоборот.

Обозначим q(i, j) число всевозможных переходов автомата из аi в аj. Каждому ребру (i, j) графа Г(S) поставим в соответствие вес ребра  р(i, j) = q(i, j) + q(j, i).

Введем функцию  w(i, j) = р(i, j)× d(i, j),  где d(i, j) – число компонентов, которыми коды состояний аi в аj отличаются друг от друга (т.е. кодовое расстояние между кодами аi в аj).

            Функция w(i ,j) имеет простой физический смысл. Перход автомата из аi в аj (или наоборот) сопровождается переключением стольких триггеров, сколькими компонентами отличаются  коды этих состояний, т.е. их число равно w(i ,j). Следовательно, при переходе автомата по всем   ребрам, соединяющим состояниям  аi и аj  (их  число p(i, j)!) всего переключится количество триггеров, равное p(i, j)×d(i ,j) =w(i ,j).

Но тогда функция   показывает, сколько всего переключается триггеров при прохождении автомата по всем возможным переходам. Функция w показывает, сколько всего единиц в функции возбуждения, т.е. позволяет оценивать сложность комбинационной схемы автомата. W можно рассматривать как некую целевую функцию, минимум которой определит такое кодирование, при котором комбинационная схема наиболее простая. Кстати, миинмальное кодовое расстояние между различными состояниями равно 1 и если удается закодировать все состояния соседним кодированием, то очевидно, что w будет минимально возможным и равным ,  т.е.  суммарному числу переходов для автомата.

Из выражения для w следует,  что переход из аi в аi, для которого d(i,i)=0,  не влияет на w (что вполне очевидно, если учесть, что на этом переходе ни один триггер не переключается).

Рассмотрим применение эвристического алгоритма на конкретном примере автомата,  заданного таблицами переходов и выходов (рис.41. ).  Для данного автомата можно построить ориентированный граф (без учета петель), представленный на рис.42.  На каждом ребре указан его вес.

Эвристический алгоритм состоит из следующих шагов.

1. Строим  матрицу , состоящую из всех пар номеров (i, j), для которых р(i, j) ¹ 0 (т.е. в автомате есть переход из аi в аj или наоборот) и i<j. Для каждой пары в матрице  указываем  ее  вес р(i, j), совпадающий с весом ребра соединяющего аi и аj.

2. Упорядочим строки матрицы , для чего построим матрицу  следующим образом. В первую строку матрицы  поместим пару (a,b) с наибольшим весом р(a,b). В нашем случае (a,b) = (2,3),  р(2,3) = 3.  Из всех пар, имеющих общий компонент с парой (a,b) выбирается пара (g,d) с наибольшим весом и заносится во вторую строку матрицы  . Ясно, что {a,b}×{g,d}¹0.  Затем из всех пар, имеющих общий компонент хотя бы с одной из внесенных уже в матрицу  пар выбирается пара с наибольшим весом и заносится в матрицу  и т.д..  В случае равенства весов пар вычисляются суммы весов компонентов пар (весом  р(a) компонента a называется число появлений a в матрице ) и в  матрицу  заносится  пара  с  наибольшей суммой весов. В рассматриваемом автомате на второе место вслед за парой (2,3) претендуют пары:  (1,2) с р(1,2) = 2;  (3,4) с р(3,4) = 2,  (3,5) с р(3,5) = 2.

Для определения того, какая пара займет второе место в матрице  находим веса компонентов пар:

     р(1) = 3      р(2) = 3           р(1) + р(2) = 6

     р(3) = 4      р(4) = 2           р(3) + р(4) = 6

     р(3) = 4      р(5) = 2           р(3) + р(5) = 6

В данном случае для всех пар совпадают и их веса и веса их компонентов. Поэтому на второе место матрицы  может быть поставлена любая из пар (1,2), (3,4), (3,5). Но тогда на 3-м и 4-м будут остальные две. Выполнив упорядочивание всех  пар, получим матрицу  в виде:   

3. Определяем разрядность кода для кодирования состояний автомата (количество элементов памяти – триггеров). Всего состояний M=5. Тогда

                        R = ]log2M[ = ]log25[ =3.

Закодируем состояния из первой строки матрицы следующим образом: K2 = K(а2) = 000; K3 = K(а3) = 001.

            Для удобства кодирования будем иллюстрировать этот процесс картой Карно:

4.   Вычеркнем из матрицы  первую строку, соответствующую закодированным состояниям а2 и  а3. Получим матрицу .

5. В силу упорядочивания п.2 в первой строке закодирован ровно один элемент. Выберем из первой строки незакодированный элемент и обозначим его g. (В нашем случае g = 1).

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9