Статистика

закономерных для данного явления, а так случайных причин. Поскольку

случайных причин множество и их действия носят стихийный разнонаправленный

характер, необходимо нивелировать (устранить) результат такого воздействия,

для того чтобы определить типичный закономерный для данных условий места и

времени уровень показателей. Таким уровнем является средняя величина.

Средняя – это обобщающая характеристика количественно и качественно

однородной совокупности в определенных условиях. Среднее определяется по

какому-либо признаку. Среднее проявляется в результате действия закона

больших чисел, когда в массовых совокупностях индивидуальные отклонения от

типичного уровня взаимопогашаются. Среднее позволяет заменить множество

значений показателей одним типичным, что значительно упрощает последующий

анализ явлений.

Средняя является объективной характеристикой только для однородных

явлений. Средние для неоднородных совокупностей называются огульными и

могут применяться только в сочетании с частными средними однородных

совокупностей.

Средняя применяется в статистических исследованиях для оценки

сложившегося уровня явления, для сравнения между собой нескольких

совокупностей по одному и тому же признаку, для исследования динамики

развития изучаемого явления во времени, для изучения взаимосвязей явлений.

Средние широко применяются в различных плановых, прогнозных, финансовых

расчетах.

2. Средняя арифметическая величина и ее расчет прямым способом.

Средняя арифметическая – наиболее распространенный на практике вид

средних. Различают 2 вида арифметических средних:

. Невзвешенную (простую);

. Взвешенную.

Средняя арифметическая невзвешенная рассчитывается для

несгруппированных данных по формуле: [pic], где [pic] - сумма вариантов, N

– их число – применяется обычно для совокупностей численностью N[pic]15.

Для массовых статистических совокупностей рассчитывается взвешенная

средняя арифметическая по формуле: [pic], где [pic] - частоты.

Пример: Расчет средней выработки рабочими токарного цеха.

|Количество деталей, |Число рабочих, |[pi|Объем производства, |

|изготовленных рабочим | |c] | |

|за смену, шт. |чел., [pic] | |[pic] |

|До 300 |3 |290|870 |

|300-320 |9 |310|2790 |

|320-340 |15 |330|4950 |

|340-360 |12 |350|4200 |

|360-380 |6 |370|2220 |

|Свыше 380 |6 |390|2340 |

|Итого |51 | |17370 |

[pic]

Из таблицы:

1. Средняя величина всегда тяготеет к вариантам с наибольшими

частотами.

2. Средняя величина может не совпадать ни с одним из вариантов

дискретного ряда.

3. Средняя величина находится внутри интервала значений вариантов ряда.

Сумма [pic] помимо чисто математического, как правило, имеет смысловое

значение, наличие смыслового значения – один из способов проверки

правильности выбора средней.

Даже если варианты ряда представлены целыми числами, среднее может быть

смешанным числом, иногда такой результат логически неправомерен. В этом

случае его надо округлять, переводить в проценты или в промили.

3. Свойства средней арифметической величины.

Свойства средней важны для понимания механизма расчета этого

показателя, а так же для разработки ряда более сложных статистических

методик.

Свойства:

1. Если из всех вариантов ряда вычесть или ко всем вариантам добавить

постоянное число, то средняя арифметическая соответственно

уменьшится или увеличится на это число. [pic].

2. Если все варианты ряда умножить или разделить на постоянное число,

то средняя арифметическая соответственно увеличится или уменьшится в

это число раз. [pic].

3. Если все частоты увеличить или уменьшить в постоянное число раз, то

средняя от этого не изменится. [pic].

4. Сумма отклонений всех вариантов ряда от средней арифметической равна

0. (Нулевое свойство средней). [pic].

5. Общая средняя совокупности равна средней арифметической из частных

средне взвешенных по объемам частных совокупностей. [pic], где

[pic] - средняя арифметическая частных групп, [pic] - численность

соответствующих групп, [pic] - общая средняя.

6. Сумма квадратов отклонений всех вариантов ряда от средней

арифметической меньше суммы квадратов их отклонений от любого

другого постоянного числа.

[pic]

Средний квадрат отклонений вариантов ряда от произвольного числа А

равен дисперсии плюс квадрат разности между средней и этим числом А.

Данное свойство положено в основу метода наименьших квадратов, который

широко применяется в исследовании статистических взаимосвязей.

4. Практическое использование свойств средней арифметической.

Свойства средней арифметической используются так же для упрощения

методики ее расчета. В условиях малопроизводительной вычислительной

техники эта методика обеспечивала значительную экономию времени и труда. В

настоящее время данная методика служит наглядным образцом иллюстрации

свойств средней.

Упрощенная методика расчета средней арифметической

(по данным о выработке рабочих токарей).

|[pi|[p|[pic] |[pic] |[pic] |[pic|

|c] |ic| | | |] |

| |] | | | | |

|290|3 |-40 |-2 |1 |-2 |

|310|9 |-20 |-1 |3 |-3 |

|330|15|0 |0 |5 |0 |

|350|12|20 |1 |4 |4 |

|370|6 |40 |2 |2 |4 |

|390|6 |60 |3 |2 |6 |

| |51| | |17 |9 |

Данный метод называется так же методом расчета от условного нуля. В

качестве условного нуля выбирается произвольное постоянное число А. Обычно

это вариант ряда с наибольшей частотой. А=330.

Рассчитываем среднюю по новым вариантам: [pic].

Пользуясь свойствами средней переходим от условного [pic] к

фактической средней величине [pic].

5. Степенные средние.

Средняя арифметическая величина является частным случаем, который

называется степенной средней.

[pic] - для несгруппированных данных;

[pic] - для сгруппированных данных.

Последовательно придавая k дискретное значение 0, 1, 2, 3, … и т.д.

получим различные виды средних.

Если k=-1 степенные средние приобретают вид средней гармонической.

[pic] - для несгруппированных данных;

[pic] - для сгруппированных данных.

Пример: В течение рабочей смены 3 рабочих изготовляли детали. 1й

рабочий затрачивая на изготовление 1 детали – 6 мин., 2й – 8 мин., 3й – 7,5

мин. Определить средние затраты времени на изготовление 1 детали.

Среднюю арифметическую взвешенную нельзя использовать для расчета, так

как каждый из рабочих изготавливал за смену разное количество деталей. В

числителе формулы отражается количество человеко-силы, а в знаменателе

условное количество деталей, изготавливаемых за смену.

[pic]

Пример: Продавец в течении нескольких дней продавал на рынке морковь. В

первые 4 дня цена составляла 6 руб./кг, в последние 5 дней цена поднялась

до 7 руб., а оставшаяся морковь была продана за 4,50 руб./кг. Поскольку

данные о товарообороте отсутствуют, то для решения задачи применяется

средняя гармоническая взвешенная:

[pic]

При этом число дней продаж моркови по различным ценам рассматривается

как показатель условного товарооборота.

Средняя гармоническая применяется в тех случаях, когда частоты ряда

выражены в неявном виде.

Если величина k=0, то степенная средняя приобретает вид средней

геометрической.

[pic] для несгруппированных данных;

[pic] для сгруппированных данных.

Средняя геометрическая применяется в тех случаях, когда отдельные

варианты ряда резко отличаются от остальных.

Наиболее часто формулу средней геометрической используют для

определения средних валютных курсов, эффективности валютных курсов,

реальной эффективности валютных курсов (международная финансовая

статистика).

Если k=1 степенная средняя принимает вид средней арифметической,

взвешенной и невзвешенной.

Если k=2, средняя квадрата.

[pic] для несгруппированных данных;

[pic] - для сгруппированных данных.

Результаты статистического исследования зависят от того, насколько

верно избран вид средней. Расчет средних, выполненных на основе одних и тех

же данных разными способами дает различные результаты.

В курсе математической статистики доказано, что чем ниже степень

средней, тем меньше ее величина. Это называется правилом мажорантности

средней.

|k |-1 |0 |1 |2 |

|[p|[pi|<|[pi|<|[p|<|[pi|

|ic|c] | |c] | |ic| |c] |

|] | | | | |] | | |

Доказано так же, что чем интенсивней колеблются значения вариантов

ряда, тем больше разница между ними.

6. Мода и процентили.

Наряду со средними для характеристики распределения применяют такие

показатели как мода и процентили, которые дополняют характеристику

(обобщающую) и позволяют сравнивать между собой и находить различия в рядах

с одинаковыми средними.

Мода – это наиболее часто встречающийся вариант ряда.

В дискретных рядах распределения модой является вариант, имеющий

максимальную частотную характеристику.

В интервальных рядах мода определяется в два этапа. В начале

определяется интервал, содержащий моду (модальный интервал), а затем

рассчитывается значение моды по формуле:

[pic], где [pic] - нижняя граница модального интервала, i – величина

этого интервала, [pic], [pic], [pic] - частоты модального, предшествующего

ему и следующего за ним интервалов.

Для последней таблицы (данные о выработке рабочих токарей):

[pic]

Медиана (вид процентиля), который занимает серединное положение в ряду

распределения. Медиана определяется по формуле:

[pic], где [pic] - нижняя граница интервала, содержащего медиану

(интервал определяется по накопленной частоте, первой превышающей 50% суммы

частот (в дальнейшем для квартилей, децилей – 25%, 75%, 0,1%, 0,2% и

т.д.)), i – величина этого интервала, [pic] - номер медианы, [pic] -

накопленная частота интервала, предшествующего медиане, [pic] - частота

медианного интервала.

Поскольку медиана разновидность процентиля то данная формула носит

универсальный характер, она может применяться для определения квартилей (Q)

и децилей (d).

Квартили (четверти) отсекают от совокупности соответственно 25%, 50% и

75%.

Децили отсекают от совокупности соответственно 10%, 20%, 30% и т.д.

На первом этапе определяется номер процентиля по формуле:

[pic] - для ряда четным числом единиц;

[pic] - с нечетным числом единиц.

[pic] - номер процентиля (порядковый), [pic] - индекс процентиля

(выражается десятичной дробью) ([pic]), N – численность совокупности.

Расчет моды и процентилей

на примере группировки магазинов по сумме товарооборота.

|Группы магазинов |Число |Накопленная |

|с торговой площадью, |магазинов,|частота, |

| | |[pic] |

|кв. м |[pic] | |

|До 100 |6 |6 |

|100-200 |12 |18 |

|200-300 |27 |45 |

|300-400 |13 |58 |

|400-500 |8 |66 |

|Свыше 500 |5 |71 |

|Итого |71 | |

Накопленная частота – это сумма частот данного и всех предшествующих

ему интервалов.

[pic]

[pic]

Четверть всех магазинов имеет площадь менее 200 кв. метров, а остальные

75% более 200 кв. метров.

[pic]

Три четверти магазинов имеют торговые площади не превышающие 369,2 кв.

метров, остальные больше.

[pic]

Показатели вариации.

1. Понятие вариации и роль ее изучения в статистических исследованиях.

2. Измерители вариации.

3. Прямой способ расчета показателей вариации.

4. Свойства дисперсии и среднего квадратического отклонения.

5. Упрощенный способ расчета дисперсии и средне квадратического

отклонения.

6. Относительные показатели вариации.

7. Стандартизация данных.

8. Моменты распределения.

9. Показатели асимметрии и эксцесса.

10. Средняя арифметическая и дисперсия альтернативного признака.

1. Понятие вариации и роль ее изучения в статистических исследованиях.

Вариация – это колеблемость значений признака у отдельных единиц

совокупности.

Наличию вариации обязана своим появлением статистика. Большинство

статистических закономерностей проявляется через вариацию. Изучая вариацию

значений признака в сочетании с его частотными характеристиками, мы

обнаруживаем закономерности распределения (например: население по возрасту,

студентов по уровню оценок).

Рассматривая вариацию одного признака параллельно с изменением другого,

мы обнаруживаем взаимосвязи между этими признаками или их отсутствие

(например: зависимость между торговой площадью и товарооборотом).

Вариации в статистике проявляются двояко, либо через изменения значений

признака у отдельных единиц совокупности, либо через наличие или отсутствие

изучаемого признака у отдельных единиц совокупности.

Изучение вариации в статистике имеет как самостоятельную цель, так и

является промежуточным этапом более сложных статистических исследований.

2. Измерители вариации.

Простейшим показателем вариации является размах колебаний: [pic].

Достоинство этого показателя простота расчета, возможность

использования для оценки вариации однородных совокупностей. Недостаток –

неприемлемость для неоднородных совокупностей с редкими выбросами крайних

значений признака.

Частично недостатки этого показателя устраняет межквартельный размах:

[pic]. Однако, он характеризует вариацию только половины совокупности.

Для учета колеблемости всех значений признака применяют показатели

среднего линейного отклонения, дисперсии и средне квадратического

отклонения.

Средне линейное отклонение – среднее значение отклонений всех вариантов

ряда от средней арифметической (иногда от моды или медианы):

[pic] - для несгруппированных данных;

[pic] - для сгруппированных данных.

[pic] [pic]

Аналогичным по смыслу среднему линейному отклонению является показатель

дисперсии и рассчитываемый на его основе показатель средне квадратического

отклонения.

Дисперсия – рассеивание, данный показатель характеризует рассеивание

значений признака относительно его средней величины.

[pic] - для несгруппированных данных;

[pic] - для сгруппированных данных.

Дисперсия – средне квадратическое отклонение всех вариантов ряда от

средней арифметической. Если извлечь квадратный корень из дисперсии,

получим средне квадратическое отклонение.

[pic] - для несгруппированных данных;

[pic] - для сгруппированных данных.

Несмотря на логическое сходство, дисперсия является более

чувствительной к вариации и, следовательно, чаще применяемый показатель.

3. Прямой способ расчета показателей вариации.

Расчет показателей вариации заработной платы работников завода.

|750 |30 |- 1 500 |-1 |2 |-2 |2 |

|2 250 |75 |0 |0 |5 |0 |0 |

|3 750 |45 |1 500 |1 |3 |3 |3 |

|5 250 |15 |3 000 |2 |1 |2 |4 |

|Итого | | | |11 |3 |9 |

А=2250; k=1500; с=15

[pic]

6. Относительные показатели вариации.

Абсолютные измерители вариации (дисперсия, средне квадратическое

отклонение) ограниченно пригодны для сравнительного анализа вариаций

различных совокупностей.

Для цели сравнительного анализа применяют относительные показатели,

коэффициенты вариации. Наиболее распространенной формой коэффициентов

вариации является [pic], он показывает, какой процент от средней

арифметической составляет среднее квадратическое отклонение.

Вместо средне квадратического в числителе коэффициента вариации иногда

используют среднее линейное отклонение [pic].

Если среднее линейное отклонение определялось относительно медианы или

моды, то соответствующие показатели вариации будут выглядеть [pic], [pic].

Коэффициенты вариации определенные по различным основаниям не

одинаковы, поэтому, сопоставляя вариации разных совокупностей, нужно

использовать коэффициенты вариации, рассчитанные по одной и той же

величине.

Коэффициент вариации является так же количественной мерой однородности

совокупности. Принято считать, что если [pic], то совокупность

количественно однородна. Чем меньше, тем лучше.

7. Стандартизация данных.

Коэффициенты вариации являются сводными оценками вариаций различных

совокупностей. Однако они не позволяют сопоставить между собой значения

признака у отдельных или групп единиц разных совокупностей.

Для подобных сравнений прибегают к стандартизации вариантов разных

совокупностей по формулам:

[pic], где [pic], [pic] - это стандартизированные значения вариантов

ряда x и y соответственно. В процессе стандартизации мы переходим от

измерения вариантов в натуральных или стоимостных единицах к их измерению

величинами соответствующих средне квадратических отклонений.

Пример: Стандартизация данных о доходах на одного члена семьи и

среднедушевом потреблении мяса.

|Доход на |Среднедушевое |[pic]|[pic]|[pic] |[pic] |[pic]|[pic] |

|одного |потребление | | | | | | |

|члена семьи, |мяса, [pic] | | | | | | |

|тыс. | | | | | | | |

|руб./год, | | | | | | | |

|[pic] | | | | | | | |

|60,7 |12,3 |-97,5|-25,6|9 506,25 |655,36 |-1,28|-1,31 |

|84,2 |19,1 |-74 |-18,8|5 476,00 |353,44 |-0,97|-0,96 |

|112,4 |23,1 |-45,8|-14,8|2 097,64 |219,04 |-0,60|-0,76 |

|144,5 |35,6 |-13,7|-2,3 |187,69 |5,29 |-0,18|-0,12 |

|180,1 |49,5 |21,9 |11,6 |479,61 |134,56 |0,29 |0,59 |

|240,9 |57,3 |82,7 |19,4 |6 839,29 |376,36 |1,09 |0,99 |

|284,6 |68,4 |126,4|30,5 |15 976,96|930,25 |1,66 |1,56 |

|1107,4 |265,3 | | |40 563,44|2 674,30 | | |

[pic]

[pic]

При стандартизации сгруппированных данных наряду с масштабированием

вариантов ряда величинами соответствующих средне квадратических отклонений

частоты этих рядов пересчитываются в частости.

Стандартизацию данных проводят, когда варианты сравниваемых рядов

отличаются единицами измерения и порядком.

Стандартизация является важнейшим статистическим промежуточным этапом.

Стандартизация используется так же хорошо в теории выборочного метода.

8. Моменты распределения.

Моменты распределения составляют алгоритмическую основу многих

статистических методов. Различают:

. Произвольные (общий случай);

. Начальные;

. Центральные;

. Стандартные (частный случай).

Выделяют:

- Взвешенные;

- Невзвешенные.

Произвольным моментом k-го порядка называется среднее значение k-ой

степени отклонения всех вариантов ряда от произвольного постоянного числа.

[pic] - для несгруппированных данных;

[pic] - для сгруппированных данных.

При этом k принимает целочисленное значение от 1 до 4.

Если А=0, то произвольный момент преобразуется в начальный момент.

[pic] - для несгруппированных данных;

при k=1 M1=[pic]

при k=2 M2=[pic]

[pic] - для сгруппированных данных.

Если А=[pic], произвольный момент преобразуется в центральный момент

распределения.

[pic] - для несгруппированных данных;

[pic] - для сгруппированных данных.

При k=1 M1=0

При k=2 M2=[pic]

Стандартные моменты это начальные моменты из стандартных отклонений.

[pic] - для несгруппированных данных;

[pic] - для сгруппированных данных.

[pic]

Стандартный момент k-го порядка это отношение центрального момента того

же порядка к средне квадратическому отклонению в k-ой степени.

Так же как средняя арифметическая величина и дисперсия, центральные и

стандартные моменты обладают рядом свойств, которые по сути ближе всего к

свойствам дисперсии.

9. Показатели асимметрии и эксцесса.

При анализе распределений помимо графического изображения характер

распределения можно выяснить, рассчитывая такие показатели, как асимметрия

и эксцесс.

В качестве показателя асимметрии используют стандартный момент 3-го

порядка. Если распределение симметрично относительно средней то показатель

асимметрии равен нулю.

[pic] [pic]

Если показатель асимметрии больше 0, то есть преобладают положительные

отклонения от среднего, то наблюдается правосторонняя асимметрия, то есть

преобладание в совокупности вариантов ряда превышающих среднюю.

Если же показатель асимметрии меньше 0, налицо левосторонняя

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6