Самостоятельная работа как средство обучения решению уравнений в 5-9 классах

следующего. Для того чтобы решить любое уравнение с одной переменной,

учащийся должен знать: во-первых, правило, формулы или алгоритмы решения

простейших уравнений данного вида и, во-вторых, правила выполнения

тождественных и равносильных преобразований, с помощью которых данное

уравнение можно привести к простейшим.

Таким образом, решение каждого уравнения складывается из двух основных

частей: 1) преобразования данного уравнения к простейшим; 2) решения

простейших уравнений по известным правилам, формулам или алгоритмам. При

этом если вторая часть решения является алгоритмической, то первая — в

значительной степени (и тем большей, чем сложнее уравнение) —

эвристической. Именно правильный выбор необходимых тождественных и

равносильных преобразований, как и всякий поиск решения задачи,

представляет наибольшую трудность для учащихся.

Обучение решению уравнений начинается с простейших их видов, и программа

обусловливает постепенное накопление как их видов, так и «фонда»

тождественных и равносильных преобразований, с помощью которых можно

привести произвольное уравнение к простейшим. В этом направлении следует

строить и процесс формирования обобщенных приемов решения уравнений в

школьном курсе алгебры.

Обобщение приемов решения уравнений

Обобщение способов деятельности учащихся при решении уравнений происходит

постепенно. Выделим следующие этапы, процесса обобщения приемов решения

уравнений:

решение простейших уравнений данного вида;

анализ действий, необходимых для их решения;

вывод алгоритма (формулы, правила) решения и запоминание его;

решение несложных уравнений данного вида, не являющихся простейшими;

анализ действий, необходимых для их решения;

формулировка частного приема решения;

применение полученного частного приема по образцу, в сходных ситуациях, в

легко осознаваемых вариациях образца;

работа по описанным этапам для следующих видов уравнений согласно

программе;

сравнение получаемых частных приемов, выделение общих действий в их

составе и формулировка обобщенного приема решений.

применение обобщенного приема в различных ситуациях, перенос и создание

на его основе новых частных приемов для других видов уравнений.

Учитель руководит всем процессом обобщения, его деятельность направлена

на создание ситуаций (условий) для реализации этой схемы в процессе

поэтапного формирования приемов: подбор упражнений и вопросов для

диагностики контроля, помощь учащимся в осознании состава приема решения,

его формулировки, отработки.

В V—VI классах при изучении числовых множеств в учебниках формулируется

довольно много алгоритмов действий над числами и правил простейших

тождественных преобразований выражений. Формулировка частных приемов

решения различных простейших уравнений первой степени может естественно

вписаться в этот процесс, не ограничиваясь, как это делают школьные

учебники алгебры, объяснениями на примерах.

Проводя работу по этапам процесса обобщения, к концу изучения курса

математики V—VI классов можно сформировать у учащихся, во-первых,

обобщенный прием решения уравнения первой степени с одной переменной в

следующем виде:

1) рассмотреть данное уравнение, отметить его особенности;

2) установить, какие из следующих упрощений уравнения можно сделать:

перенос слагаемых из одной части уравнения в другую, приведение подобных

слагаемых в левой и правой частях уравнения, раскрытие скобок, деление

обеих частей на коэффициент при неизвестном;

3) упростить уравнение;

4) найти значение неизвестного;

5) записать ответ.

Во-вторых, можно сформулировать и обобщенный прием решения задач с

помощью уравнений, например, так, как это сделано в учебнике «Алгебра-7»

под редакцией С. А. Теляковского (М., 1989): «...поступают следующим

образом: обозначают некоторое неизвестное число буквой и, используя условие

задачи, составляют уравнение; решают это уравнение; истолковывают

полученный результат в соответствии с условием задачи».

В таком виде оба приема следует повторить в начале систематического

изучения курса алгебры в VII классе, затем уточнить их с учетом того, что

здесь дают определения основным понятиям (уравнения, корня, равносильности,

линейного уравнения).

Способы решения квадратных уравнений различных видов школьные учебники по

алгебре объясняют также на примерах. Отработав частные приемы решения

неполных квадратных уравнений и по дискриминанту, уместно сформулировать

обобщенный прием решения квадратного уравнения (по аналогии с приемом

решения уравнения первой степени):

1) определить, является ли уравнение простейшим (неполным или полным)

квадратным уравнением; если «да», то п. 4, если «нет» — п. 2;

2) установить, какие из следующих тождественных и равносильных

преобразований нужно выполнить, чтобы привести уравнение к простейшему:

раскрытие скобок, приведение к общему знаменателю, перенесение членов из

одной части в другую, приведение подобных;

3) привести с помощью выбранных преобразований уравнение к квадратному

уравнению ах2 +bх+с=0, где а>0;

4) проверить равенство коэффициентов b и c нулю; если b=0 или c=0, то п.

5, если b(с(0, то п. 6;

5) найти х по правилам: при b=c=0 х1,2=0; при с=0 и b(0

при b=0 и c0 решений нет;

6) найти дискриминант уравнения D=b2—4ac;

7) найти х по формуле: при D>0 [pic] при D=0

[pic] при Dc.

Ход урока.

I. Организационное начало урока.

-Здравствуйте, садитесь, сегодня урок алгебры проведу у вас я, зовут меня

Елена Федоровна

II. Сообщение темы и цели.

-Сегодня, на уроке мы познакомимся с уравнениями нового вида - «Линейными

уравнениями с двумя переменными».

III. Актуализация знаний учащихся.

-Посмотрите на доску. Какие из этих уравнений вам уже знакомы?

7х2+3х+5=0 5х+9=54

4х+9у=7 9(х2+6х+2)-8=30

x2/3+y2/2=1 4(х+2)+1=х+18.

-А как называются эти уравнения?

-Правильно это линейные уравнения с одной переменной.

-А кто скажет определение линейного уравнения с одной переменной?

-Уравнение вида ах=в, в котором x- переменная, а а и в – некоторые числа ,

называется линейным уравнением с одной переменной.

-Откройте учебники на стр. 27 , прочитайте это определение. Повтори…

-Приведите примеры линейных уравнений с одной переменной.

-Посмотрите на доску, перед вами линейные уравнения. Давайте вспомним как

они решаются.

-Откройте тетради, запишите число, классная работа, тема: «Линейные

уравнения с двумя переменными.»

-Все решают уравнения в тетрадях, а Оля пойдет к доске и решит с подробным

объяснением первое уравнение:

2х+6=10

(Перенесем слагаемое без х в правую часть уравнения, изменив при этом его

знак на противоположный: 2х=10-6 , вычислим результат 2х=4. Разделим обе

части уравнения на 2, получим х=2).

-Молодец. Садись.

-Второе уравнение пойдет решать Саша.

2(х+3)+4=х-1.

(Раскроем скобки, для этого умножим 2 на каждое слагаемое суммы (х+3),

получим 2х+6+4=х-1. Перенесем слагаемые, содержащие х в левую часть

уравнения, а не содержащие х – в правую часть, изменив при этом знаки на

противоположные.

2х-х= -6-4-1.

Приведем подобные слагаемые : х= - 11.

- Ребята , такие уравнения вы хорошо умеете решать.

- А какие свойства применяли при решении этих уравнений? (Если в уравнении

слагаемое перенести из одной части в другую, изменив его знак , то

получится уравнение, равносильное данному.)

- А какое еще свойство вы применяли? (Если разделить или умножить обе части

уравнения на одно и тоже отличное от нуля число, то получится уравнение

равносильное данному.)

IV. Изучение нового материала.

-Ребята, а сегодня мы познакомимся с уравнениями нового вида.

-Пусть известно , что одно их двух чисел на 5 больше другого. Если первое

число обозначить буквой х, а второе буквой у, то соотношение между ними

можно записать в виде равенства х-у=5, содержащего 2 переменные. Такие

уравнения называются уравнениями с двумя переменными или уравнениями с

двумя неизвестными.

-Уравнениями с двумя переменными также являются уравнения:

5х+2у=10, -7х+у=5, х2+у2=20 , ху=12 (запись на доске).

-Из этих уравнений первые два имеют вид ах+ву=с, где а, в, с – числа. Такие

уравнения называются линейными уравнениями с двумя переменными.

-Итак: Линейным уравнением с двумя переменными называется уравнение вида

ах+ву=с где х и у – переменные, а, в, с, - некоторые числа .

-Откройте учебники на странице 188.Прочитайте определение про себя.

-Теперь прочитайте вслух.

-А кто из вас повторит его ?

-уравнение х-у=5, при х=8, у=3. Обращается в верное равенство 8-3=5.

Говорят, что пара значений переменных х=8, у=3 является решением этого

уравнения. Записываю на доске:

х-у=5, х=8, у=3

8-3=5 - верное равенство.

Определение: Решением уравнения с двумя переменными называется пара

значений переменных, обращающая это уравнение в верное равенство.

-Прочитайте это определение на странице 188 про себя.

-Прочитайте его вслух.

-Кто повторит? Повтори…

-А какие еще пары чисел будут являться решениями уравнения х-у=5? (х=105,

у=100; х=4, у= -1,…)

-Правильно решениями этого уравнения будут являться числа, разность которых

равно 5.

-Иногда пары значений переменных записывают короче: (105; 100), (4;- 1). (

Запись на доске).

-При такой записи необходимо знать, значение какой из переменных стоит на

первом месте, а какой – на втором.

-в записи решений уравнения с переменными х и у на первом месте записывают

значения х, а на втором – значение у.

-Уравнения с двумя переменными имеющие одни и те же решения, называют

равносильными. уравнения с двумя переменными, не имеющие решений, также

считают равносильными.

-Ребята, при решении линейных уравнений с одной переменной мы вспомним их

свойства.

-Линейные уравнения с двумя переменными обладают такими же свойствами.

-Откройте учебники на стр. 189. Прочитайте эти свойства про себя.

-А теперь Таня , прочитай вслух. Повтори свойства.

-Рассмотрим уравнения 5х+2у=12.

-Воспользовались свойствами уравнений, выразим из этого уравнения одну

переменную через другую , например у, через х. Для этого перенесем

слагаемое 5х в правую часть уравнения изменив его знак.

2у= -5х+12.

-Разделим обе части этого уравнения на 2:

у= -2,5х+6

Уравнения 5х+2у=12 и

у= -2,5х+6 – равносильны.

-Пользуясь формулой у=2,5х+6, можно найти сколько угодно решений уравнения

5х+2у=12. Для этого достаточно взять произвольное х и вычислить

соответствующее ему значение у.

Например: если х=2 , то у= -2,5.2+6=1.

если х=0,4 то у= -2,5*0,4+4=5.

Пары чисел (2; 1), (0,4; 5) – решение уравнения 5х+2у=12.

Это уравнение имеет бесконечно много решений.

V .Первичное закрепление.

-Что же называется линейным уравнением с двумя переменными?

-Выполним № 1092 на странице 190 устно.

-Прочитай задание.

-Является ли первое уравнение 3х-у=17 линейным? (Да).

-Почему? (Т.к. имеет вид ах+ву=с)

-А второе упражнение? (Нет).

-Почему? (Т.к. уравнение х2- 2у=5 не приводится к виду ах+ву=с, х имеет

показатель степени 2).

(Далее аналогично).

-А теперь запишите № 1094.

-Читай задание .

-Как ответить на этот вопрос? (Поставить значение х и у в уравнение. Если

получится верное равенство, то х и у является решением уравнения)

-Все решайте в тетрадях, а……. у доски.

х + у=6

[pic]

[pic]

6=6 – верное равенство.

Ответ: да.

-А какие еще числа могут быть решениями этого уравнения х+у=6. (Дающие в

сумме 6: 4 и 2, 3 и 3 и т.д.).

-Запишите любые 2 решения этого уравнения.

-Не забывайте, что значение х пишется на первом месте а у – на втором

месте.

Самостоятельная работа.

-А теперь выполним № 1096. запишите.

-Прочитай задание.

-Что нужно сделать, чтобы ответить на вопрос? (Подставить значения х и у в

уравнение и посмотреть, получится ли верное равенство).

а) .Организация самостоятельной работы.

-Все решают в тетрадях, а к доске пойдут Лена и Оля.

-Саша проверит первые 2 пары, а Катя вторые 2 пары.

-А потом проверим.

б) Проведение самостоятельной работы.

(3; 1 ) (0; 10)

3*3+1>10 3*0+10=10.

10=10 – верное равенство 10=10 верное равенство

Ответ: является Ответ: является

(2; 4) (3; 2,5)

3*2+4=10 3*3+2.5=10

10=10 – верное равенство 11,5=10 – неверное равенство

Ответ: является Ответ: не является.

в) Проверка самостоятельной работы.

-Давайте проверим правильно ли выполнила Оля.

-У кого другой ответ?

-А Лена?

-У кого другой ответ?

-Молодцы. Садитесь.

-А теперь выполним № 1099.

-Прочитай задание.

-Что нужно сделать, чтобы выразить у через х? (Представить, что х известное

число и найти у )

-Пойди к доске реши с объяснением, а все решают в тетрадях.

4х-3у=12.

(Одночлен 3у является неизвестным вычитаемым. Чтобы найти неизвестное

вычитаемое, надо из уменьшаемого вычесть разность 3у=4х-12 .

Разделим обе части уравнения на 3, получим:

[pic]

-Молодец. Садись.

А теперь выполним пункт б, Сережа иди к доске.

4х-3у=12.

(Одночлен 4х является неизвестным уменьшаемым, чтобы его найти, надо к

разности прибавить вычитаемое: 4х=12+3у. Разделим обе части уравнения на 4

и получим: [pic]

-Правильно. Молодец. Садись .

VI. Подведение итогов.

-Какой вид имеет линейное уравнение с двумя переменными ? (ах+ву=с).

-Что называется решением линейного уравнения с двумя переменными ?

-Приведите примеры таких уравнений.

-Какими свойствами обладают уравнения с двумя переменными?

2 К тренировочным относятся задания на распознавание различных объектов и

их свойств. Тренировочные самостоятельные работы состоят из однотипных

заданий, содержащих существенные признаки и свойства данного определения,

правила. Конечно, эта работа мало способствует умственному развитию детей,

но она необходима, так как позволяет выработать основные умения и навыки и

тем самым создать базу для дальнейшего изучения математики.

При выполнении тренировочных самостоятельных работ учащимся еще

необходима помощь учителя. Можно разрешить пользоваться и учебником, и

записями в тетрадях, таблицами и т. п. Все это создает благоприятный климат

для слабых учащихся. В таких условиях они очень легко включаются в работу и

выполняют ее.

|Тема: |Решение текстовых задач при помощи систем уравнений, |

| |содержащих уравнения второй степени. |

| | |

|Цель: |Расширение и углубление знаний, формирование умений решать|

| |системы, повышенной сложности, уметь составлять системы по|

| |условию задачи: |

| |Развивать устойчивый интерес к предмету, умение |

| |самостоятельно работать; |

| |Воспитывать умение осуществлять индивидуальную |

| |мыслительную деятельность; |

|Оборудование: |Учебник, «сборники заданий по математике» Кузнецов Л. В.; |

Ход урока:

I. Организационное начало урока:

II. Сообщение темы и цели: - Сегодня на уроке продолжим решать системы

уравнений, но будем учиться сами составлять по задаче систему.

III. Актуализация знаний учащихся: - Запишите число, тему.

1) выразить одну неизвестную через другую:

| 1. 3х-у=3 | 2. у+2х=2 |

|-у=3-3х |2х=2-у |

|у=3х-3 |[pic] |

| |[pic] |

| | |

|решить систему методом подстановки: |

|- Повторим алгоритм. Решим: |

|[pic] |[pic] |

|[pic] | |

Решим квадратное уравнение:

[pic]

[pic]

[pic] [pic]

[pic] или [pic]

[pic] или [pic]

Ответ: (4; -14); (-1; 1)

IV. Закрепление

№ 498

-Прочтите задачу

-Как обозначим числа? (х, у)

-Если сумма? (х+у=18)

-Произведение чисел? (х*у=65)

-Найти что? (эти числа)

-Какую систему получим?

-Каким методом будем решать?

[pic] (записать пояснение: Пусть первое число – х и т. д.)

-К доске пойдет….

[pic] [pic]

Решим квадратное уравнение:

[pic]

Ответ: числа 5 и 13.

№504

-Прочтите условие.

-Какой формы участок? (Прямоугольной)

-Пусть длина – х, ширина – у.

-Площадь прямоугольника? (S=ав)

-Нужно перевести в одну единицу измерения: км. в м., га. в м2;

-Если участок прямоугольной формы, то какое уравнение составим?

(2(х+у)=1000)

-Площадь участка 60000 м2? (ху=60000)

-Запишем условие к задаче:

Пусть длина участка – х, ширина – у. Так как участок надо огородить

забором длиной 1000м. Так как площадь участка 60000 м2, то составим

уравнение: ху=60000. Получим систему:

[pic]

[pic] ( [pic]

[pic]

[pic]

Ответ: длина – 300м., ширина – 200м.

№ 1

-Послушайте условие:

«Одно из двух положительных чисел на 3 больше другого. Найдите эти

числа, если их произведение равно 70?»

-Пусть числа х и у.

-Если известно, что одно больше на 3. Как запишем? (х=у+3)

-Произведение чисел? (ху=70)

-Составим систему:

[pic] [pic]

[pic]

Решим квадратное уравнение:

[pic]

так как числа положительные, то 10 и 7.

Ответ: 10 и 7.

2) самостоятельная работа. (15 мин.)

-У вас на партах лежат сборники заданий и у каждого номер индивидуального

задания.

-Запишите: «Самостоятельная работа»., стр… №….

|1. |С. 15, в-1, № 3 |2. |С. 20, в-1, № 5 |

| |С. 11, в-1, №4 | |С. 19, в-1, №4 |

|3. |С. 28, в-1, № 6 |4 |С. 35, в-1, № 3 |

| |С. 11, в-1, №4 | |С. 19, в-1, №4 |

|5. |С. 48, в-1, № 6 |6 |С. 21, в-1, № 6 |

| |С. 19, в-1, №4 | |С. 19, в-2, №4 |

|7. |С. 15, в-2, № 3 |8. |С. 20, в-2, № 5 |

| |С. 11, в-2, №4 | |С. 19, в-2, №4 |

|9. |С. 28, в-2, № 6 |10.|С. 35, в-2, № 3 |

| |С. 11, в-2, №4 | |С. 19, в-2, №4 |

|11. |С. 48, в-2, № 6 |12.|С. 21, в-2, № 6 |

| |С. 19, в-2, №4 | |С. 11, в-1, №4 |

|13. |С. 29, в-1, № 4 |14.|С. 29, в-2, № 4 |

| |С. 11, в-1, №4 | |С. 11, в-1, №4 |

|15. |С. 30, в-2, № 6 |16.|С. 31, в-2, № 6 |

| |С. 11, в-2, №4 | |С. 19, в-1, №4 |

|17. |С. 30, в-1, № 6 |18.|С. 31, в-1, № 6 |

| |С. 19, в-2, №4 | |С. 11, в-1, №4 |

-Оцениваться будут каждое задание отдельно.

Ответы

|1. |1) (-5; 2); (2; -5) |10.|1) (5; -3); (-3; 5) |

|2. |1) (-2; 1); (1; -2) |11.|1) (1; -3); (3; -1) |

|3. |1) (5; -3); (-3; 5) |12.|1) (-7; 11); (3; 1) |

|4. |1) (8; 4); (4; 8) |13.|1) (7; 6); (-3; -4) |

|5. |1) (2; -4); (4; -2) |14.|1) (-7; -9); (3; 1) |

|6. |1) (-7; 9); (4; -2) |15.|1) (-3; 7); (2; 2) |

|7. |1) (-3; 4); (-4; 3) |16.|1) (2; 4); (4; 2) |

|8. |1) (2; 3); (3; 2) |17.|1) (-2; -3); (1; 0) |

|9. |1) (-2; 7); (7; -2) |18.|1) (6; -4); (-4; 6) |

V. Подведение итогов:

-сколько существует способов решения систем уравнений?

-сдайте тетради.

3 К закрепляющим можно отнести самостоятельные работы, которые способствуют

развитию логического мышления и требуют комбинированного применения

различных правил и теорем. Они показывают, насколько прочно, осмысленно

усвоен учебный материал. По результатам проверки заданий данного вида

учитель определяет, нужно ли еще заниматься данной темой.

Тема: Графический способ решения уравнений.

Цель: добиться осознанного усвоения и запоминания графического

способа решения уравнений, сформировать практические умения и

навыки;

Воспитывать аккуратность ;

Развивать наглядные представления;

Оборудование: табличка «абсцисса», таблица с графиками.

Ход урока.

I. Организационное начало.

а) Приветствие

б) Проверка готовности рабочих мест.

II. Сообщение темы и цели.

- Сегодня мы с вами научимся решать уравнения с помощью графиков.

III. Актуализация знаний учащихся.

1. Устный счет.

а) Что является графиком данной функции:

y=2х (линейная функция, график- прямая)

y=х2 (график – парабола, ветви направлены вверх)

y=3/x (гипербола , ветви расположены в I и III четверти)

y=х3(кубическая парабола, расположена в I и III четверти)

б) По чертежу определите общий вид уравнения, который задает эту

функцию.

Страницы: 1, 2, 3, 4