Производная в курсе алгебры средней школы

времени t будет предел среднего ускорения:

[pic]

То есть первая производная по времени (v'(t)).

Пример: Зависимость пройденного телом пути от времени задается уравнением s

= A + Bt + Ct2 +Dt3 (C = 0,1 м/с, D = 0,03 м/с2). Определить время после

начала движения, через которое ускорение тела будет равно 2 м/с2.

Решение:

v(t) = s'(t) = B + 2Ct + 3Dt2; a(t) = v'(t) = 2C + 6Dt = 0,2 + 0,18t =

2;

1,8 = 0,18t; t = 10 c

3-2. Теплоемкость вещества при данной температуре

Для повышения различных температур T на одно и то же значение, равное T1 -

T, на 1 кг. данного вещества необходимо разное количество теплоты Q1 - Q,

причем отношение

[pic]

для данного вещества не является постоянным. Таким образом, для данного

вещества количество теплоты Q есть нелинейная функция температуры T: Q =

f(T). Тогда ?Q = f(t + ?T) - f(T). Отношение

[pic]

называется средней теплоемкостью на отрезке [T; T + ?T], а предел этого

выражения при ?T > 0 называется теплоемкостью данного вещества при

температуре T.

3-3. Мощность

Изменение механического движения тела вызывается силами, действующими на

него со стороны других тел. Чтобы количественно характеризовать процесс

обмена энергией между взаимодействующими телами, в механике вводится

понятие работы силы. Чтобы охарактеризовать скорость совершения работы,

вводят понятие мощности:[pic].

4. Дифференциальное исчисление в экономике

4-1. Исследование функций

Дифференциальное исчисление - широко применяемый для экономического анализа

математический аппарат. Базовой задачей экономического анализа является

изучение связей экономических величин, записанных в виде функций. В каком

направлении изменится доход государства при увеличении налогов или при

введении импортных пошлин? Увеличится или уменьшится выручка фирмы при

повышении цены на ее продукцию? В какой пропорции дополнительное

оборудование может заменить выбывающих работников? Для решения подобных

задач должны быть построены функции связи входящих в них переменных,

которые затем изучаются с помощью методов дифференциального исчисления. В

экономике очень часто требуется найти наилучшее или оптимальное значение

показателя: наивысшую производительность труда, максимальную прибыль,

максимальный выпуск, минимальные издержки и т. д. Каждый показатель

представляет собой функцию от одного или нескольких аргументов. Таким

образом, нахождение оптимального значения показателя сводится к нахождению

экстремума функции.

По теореме Ферма, если точка является экстремумом функции, то производная в

ней либо не существует, либо равна 0. Тип экстремума можно определить по

одному из достаточных условий экстремума:

1) Пусть функция f(x) дифференцируема в некоторой окрестности точки x0.

Если производная f '(x) при переходе через точку x0 меняет знак с + на -,

то x0 - точка максимума, если с - на +, то x0 - точка минимума, если не

меняет знак, то в этой точке нет экстремума.

2) Пусть функция f(x) дважды дифференцируема в некоторой окрестности точки

x0, причем f '(x0) = 0, f ''(x0) ? 0, то в точке x0 функция f(x0) имеет

максимум, если f ''(x0) < 0 и минимум, если f ''(x0) > 0.

Кроме того, вторая производная характеризует выпуклость функции (график

функции называется выпуклым вверх [вниз] на интервале (a, b), если он на

этом интервале расположен не выше [не ниже] любой своей касательной).

Пример: выбрать оптимальный объем производства фирмой, функция прибыли

которой может быть смоделирована зависимостью:

?(q) = R(q) - C(q) = q2 - 8q + 10

Решение:

?'(q) = R'(q) - C'(q) = 2q - 8 = 0 > qextr = 4

При q < qextr = 4 > ?'(q) < 0 и прибыль убывает

При q > qextr = 4 > ?'(q) > 0 и прибыль возрастает

При q = 4 прибыль принимает минимальное значение.

Каким же будет оптимальный объем выпуска для фирмы? Если фирма не может

производить за рассматриваемый период больше 8 единиц продукции (p(q = 8) =

p(q = 0) = 10), то оптимальным решением будет вообще ничего не производить,

а получать доход от сдачи в аренду помещений и / или оборудования. Если же

фирма способна производить больше 8 единиц, то оптимальным для фирмы будет

выпуск на пределе своих производственных мощностей.

4-2. Эластичность спроса

Эластичностью функции f(x) в точке x0 называют предел

[pic]

Спрос - это количество товара, востребованное покупателем. Ценовая

эластичность спроса ED - это величина, характеризующая то, как спрос

реагирует на изменение цены. Если |ED|>1, то спрос называется эластичным,

если |ED|f

(x0) при x>x0, то функцию f (x) называют непрерывной. Вообще, в этом пункте

автор очень углубляется в математический анализ и довольно скрупулезно

разбирает свойство непрерывности и предельный переход. У Башмакова

предельный переход объясняется на примерах, не вдаваясь в подробности.

3. Вычисление производной

3-1. Правила дифференцирования

Напомним основные правила дифференцирования:

сумма: (u + v)’ = u’ + v’

коэффициент: (Cu)’ = Cu’

произведение: (uv)’ = u’v + uv’

частное: (u / v)'=(u'v - uv') / v2

В учебниках Башмакова и Колмогорова все эти формулы выводятся, каждый шаг

объясняется. Учебник Алимова содержит доказательства только двух первых

формул, зато к каждой формуле есть по 1-2 примера.

В учебнике Колмогорова рассматривается формула производной сложной функции

(гл 2, §16):

f(g(x))’ = f ’(g(x))g’(x)

Вначале автор дает определение сложной функции, затем выводит формулу и

приводит несколько примеров нахождения производной сложных функций. Алимов

решил упростить данный раздел, заменив формулу сложной функции на ее

частный случай – линейную замену аргумента:

(f(kx + b))’ = kf ‘(kx + b)

Эта формула, конечно, гораздо менее емкая, зато ее доказательство короче и

менее абстрактно. Башмаков же включил в учебник обе формулы.

3-2. Производные элементарных функций

Проблема заключается в том, что если тема «производные» дается перед

рассмотрением каких-либо элементарных функций, то производные этих функций

придется рассматривать позже, что может отвлечь от сути. С другой стороны,

помещая производные в самый конец учебника, сложность материала может

повышаться неравномерно, что может сказаться на успеваемости.

Башмаков посвящает вычислению производной через приращения целый пункт, где

выводит 5 формул (для линейной функции, квадрата, куба, гиперболической

функции, корня). С этого пункта и начинается собственно вычисление

производных. Далее, после рассмотрения правил дифференцирования, выводится

формула производной степени. Производные показательной и логарифмической

функций рассматривается в соответствующей главе, а производные

тригонометрических функций вовсе исключены из курса.

В учебнике Колмогорова формулы производных показательной и логарифмической

функций также выводятся и применяются в решении задач позже. Однако,

производные тригонометрических функций, уже изученных к этому моменту,

даются в главе «производная» в виде отдельного пункта. Кстати говоря, в

ходе вывода формулы производной синуса, доказывается следующее утверждение:

lim (sin (x) / x) = 1

Доказательство усложнено тем, что переменная выступает как угол и длина,

необходим переход от длины дуги к длине отрезка. Он обосновывается довольно

расплывчато, но объяснения интуитивно вполне понятны. Имея в распоряжении

формулу производной синуса, нетрудно найти производные остальных функций.

Алимов рассматривает степенную функцию перед правилами дифференцирования, а

формулы производных других элементарных функций (показательной,

логарифмической, тригонометрических) – после и в отдельном пункте.

Доказательство приводится только для синуса, но для каждой функции есть

решенная задача. Удобство заключается в том, что все элементарные функции и

правила дифференцирования рассматриваются последовательно и нет

необходимости возвращаться к уже пройденному материалу.

4. Исследование функций

4-1. Возрастание и убывание функций

В начале раздела о исследовании функций в учебнике Башмакова приводятся две

теоремы: о том, что функция имеющая на промежутке производную, тождественно

равную 0, постоянна на этом промежутке и признак монотонности функции.

Затем идет формулировка признаков возрастания / убывания функции – они

находятся в начале разделов учебников Алимова и Колмогорова. Колмогоров

доказывает эти признаки на основе формулы Лагранжа:

Алимов доказательство не приводит. Затем идут примеры, наглядно

показывающие, как находить промежутки возрастания / убывания.

4-2. Экстремумы функций

Основополагающими теоремами в этом пункте являются: необходимое условие

экстремума (производная в точке экстремума должна быть равна 0), признаки

максимума / минимума функции. Согласно просматривающемуся стилю авторов,

Колмогоров методично доказывает каждую теорему, Алимов делает упор на

рассмотрение задач, а Башмаков по возможности в доказательствах и

рассуждениях обходится без формул, предпочитая рассказ о свойствах

производной.

Замечу, что Башмаков выделил пункт для рассмотрения т. н. особых точек. Это

точки, в которых производная не существует, но функция может быть

непрерывной. Колмогоров рассматривает их в пункте «применение

непрерывности» . Кроме того, там же рассматривается важнейший метод

исследования поведения функции – метод интервалов.

4-3. Схема исследования функций

Колмогоров:

1) Нахождение области определения

2) Проверка на четность / нечетность

3) Нахождение точек пересечения с осями

4) Нахождение промежутков знакопостоянства

5) Нахождение промежутков возрастания и убывания

6) Нахождение точек экстремума и значений функции в этих точках

7) Исследование поведения функции в окрестностях «особых» точек и

бесконечности

Башмаков и Алимов исследуют функцию только на монотонность.

5. Приложения производной

5-1. Применение производной в физике

Ранее уже был рассмотрен механический смысл производной – как найти

скорость (ускорение – производная от скорости – вторая производная

функции). Учебник Башмакова показывает, как производная используется также

при нахождении таких физических характеристик, как сила, импульс,

кинетическая энергия. Разъясняется суть понятия дифференциала:

дифференциалом функции называют произведение производной на приращение

аргумента. Рассказывается, как с помощью дифференциала можно найти заряд,

работу, массу тонкого стержня, теплоту.

Колмогоров также приводит примеры использования производной в физике:

нахождение мощности, линейной плотности. Также он объясняет с помощью

производной принцип действия параболических телескопов.

5-2. Приближенные вычисления

Формула для приближенных вычислений разбирается в учебнике Колмогорова и

Башмакова. Авторы указывают на сходство графиков функции и касательной и

значения будут ненамного различаться при достаточно малом приращении. Эта

тема носит практический характер. Рассмотрены несколько примеров.

Заключение

Принимая в расчет вышеизложенное, я могу дать такую характеристику этим

учебникам:

Учебник под редакцией Колмогорова характеризуется большим объемом материала

по производной и высокой степенью детальности. Как следствие – высокий

уровень подготовки и некоторая сложность в понимании. Этот учебник по праву

наиболее часто используется в обычных школах.

Учебник Алимова делает больший упор на практическую сторону. В тексте много

примеров решения задач, некоторые пункты даже целиком состоят из них. К

каждому пункту прилагается большой набор задач для самостоятельного

решения. Доказательства – слабая сторона учебника, т. к. они кратки, а

зачастую их нет совсем. Некоторые аспекты темы опущены.

В учебнике Башмакова материал излагается крайне сжато, но последовательно и

доказательства более просты и понятны. Все абстрактные математические

понятия находят свои житейские прототипы и рассматриваются на конкретных

примерах. Учебник больше подходит для самостоятельного изучения материала.

Литература

|М. Я. Выгодский |Справочник по высшей математике |

|И. Н. Бронштейн, |Справочник по математике для инженеров и |

|К. А. Семендяев |учащихся ВТУЗов |

|И. М. Уваренков, |Курс математического анализа,т.1 |

|М. З. Маллер | |

|В. А. Дударенко, |Математический анализ |

|А.А. Дадаян | |

|Н. С. Пискунов |Дифференциальное и интегральное исчисления|

|Т. И. Трофимова |Курс физики |

|О. О. Замков |Математические методы в экономике |

|А. В. Толстопятенко | |

|Ю. Н. Черемных | |

|А. С. Солодовников |Математика в экономике |

|В. А. Бабайцев | |

|А. В. Браилов | |

|И. Г. Шандра | |

|Под редакцией |Алгебра и начала анализа |

|А.М Колмогорова | |

|Ш. А. Алимов |== << == |

|Ю. М. Колягин | |

|Ю. В. Сидоров | |

|Н. Е. Федорова | |

|М. И. Шабунин | |

|М. И. Башмаков |== << == |

Содержание:

Введение

Глава 1. Производная и ее применение

1. Понятие производной

1-1. Исторические сведения

1-2. Понятие производной

1-3. Правила дифференцирования и таблица производных

2. Геометрический смысл производной

2-1. Касательная к кривой

2-2. Касательная плоскость к поверхности

3. Использование производной в физике

3-1. Скорость материальной точки

3-2. Теплоемкость при данной температуре

3-3. Мощность

4. Дифференциальное исчисление в экономике

4-1. Исследование функций

4-2. Эластичность спроса

4-3. Предельный анализ

5. Производная в приближенных вычислениях

5-1. Интерполяция

5-2. Формула Тейлора

5-3. Приближенные вычисления

Глава 2. Производная в школьном курсе алгебры

1. Структура учебников

2. Понятие производной

2-1. Определение производной

2-2. Геометрический смысл производной

2-3. Непрерывность функции и предельный переход

3. Вычисление производной

3-1. Правила дифференцирования

3-2. Производные элементарных функций

4. Исследование функций

4-1. Возрастание и убывание функций

4-2. Экстремумы функций

4-3. Схема исследования функций

5. Приложения производной

5-1. Применение производной в физике

5-2. Приближенные вычисления

Заключение

Список использованной литературы

-----------------------

x

x+?x

?x

?y

M

?

?

N

[pic]