Нестандартные задачи в курсе школьной математики (неполное и избыточное условие)

размышления над такими вопросами, потому что в них практически всегда

имеется столько данных, сколько необходимо для решения. И это является, по

мнению М.Буловацкого, серьёзным недостатком математического образования

школьников.

По результатам эксперимента, описанного в статье, переопределённые (с

избыточным составом условия) или неопределённые (с недостатком данных)

задачи ставят большинство школьников в тупик, из которого они зачастую не в

состоянии выбраться. И это затруднение возникает в связи с тем, что у

школьников не отработан навык отбора и предварительной оценки данных

задачи. Как считает М.Буловацкий, отработке этого навыка нужно уделять

специальное учебное время. [2]

Итак, анализ литературных источников выявляет важную для

математического образования проблему: многие педагоги–исследователи

указывают на целесообразность использования в обучении задач с

«аномальными» условиями, а авторы учебников на это указание почти не

реагируют.

Нас заинтересовала эта проблема с разных точек зрения. Во–первых,

насколько полезно включение таких задач в школьный курс математики?

Во–вторых, нужно ли специальное обучение учащихся решению таких задач? И

если нужно, то каковы методические особенности такого обучения?

Поискам ответов на эти вопросы и посвящена настоящая работа.

I. Как ученики реагируют на «аномальные» задачи?

(констатирующие эксперименты)

Предварительно мы показали, что многие известные в педагогике учёные

считают полезным включение неопределённых и переопределённых задач в

процесс обучения. Почему же большинство учебников уделяет такое слабое

внимание этим задачам? Может быть, учащиеся и без специального обучения в

состоянии решать такие задачи? По крайней мере, выводы В.Крутецкого близки

к утвердительному ответу. Но имеются и другие мнения.

Чтобы ответить на этот вопрос, был проведён ряд констатирующих

экспериментов в разных классах.

Так, в период педагогической практики в 1997 году был проведен

небольшой эксперимент в средней школе № 3 г. Орша.

Ученикам 6 класса, в составе которого на момент проведения

эксперимента было 25 человек, на самостоятельной работе в качестве

дополнительного задания была предложена следующая задача: в прямоугольнике

стороны равны 8,4 см и 3,9 см, а периметр 24,6 см. Найти площадь

прямоугольника. При решении этой задачи в классе выделилось несколько

групп: 1 ученик не решил её вообще, мотивировав это тем, что не успел этого

сделать; 2 ученика решили эту задачу полностью с объяснением того, почему

они не использовали при решении задачи данный в ней периметр, но не

проверили, соответствует ли данная длина периметра длинам сторон; 1 ученик

(кстати, участник областной олимпиады по математике) решил эту задачу

полностью и проверил соответствие в ней данных друг другу, но при этом

возился с решением около 10 минут, а остальные ученики просто написали

ответ к задаче без каких бы то ни было объяснений к нему.

После решения задания с учеником, полностью решившим задачу, была

проведена беседа о том, с какими трудностями он столкнулся в процессе

решения задачи, и выяснилось, что, решая эту задачу, он вначале думал, что

в задаче даны два прямоугольника, площадь одного из которых он нашел сразу

же и долго вычислял, как можно выразить площадь прямоугольника через его

периметр. Но потом проверил, что длина периметра полностью соответствует

длинам сторон, и решил, что в задаче речь идет об одном и том же

прямоугольнике, а периметр дан только для того, чтобы запутать решение. На

следующем уроке класс изъявил желание узнать, как же правильно решается эта

задача. Им было подробно объяснено, что периметр в задаче является лишним

данным и его не нужно использовать для решения, но в данной ситуации длины

сторон в задаче соответствуют периметру, что бывает не всегда и требует

проверки. После чего была предложена для решения задача аналогичного

характера, но содержащая противоречие в тексте: в прямоугольнике длины

сторон равны 6,7 см и 4,2 см, а площадь равна 25,3 кв. см. Требуется найти

периметр прямоугольника. Как и ожидалось, все 25 учащихся решили эту задачу

без использования площади и записали ответ. Все посчитали, что площадь в

задаче является лишним данным, но никто не счёл нужным проверить,

соответствуют ли данные друг другу. Результат самостоятельной работы

(отсутствие "пятёрок" в работе с несложными задачами) заставил их всё же

задуматься. Очередная беседа на ту же тему была воспринята ими уже с

большим вниманием и пониманием. Учащиеся с большим интересом стали

относиться к "не таким" (их определение) задачам, а позже и сами стали

сочинять задачи с лишними данными, предлагая их друг другу и учителю как на

уроках, так и вне уроков.

Нам представляется, что этот интерес можно объяснить новой необычной

ситуацией в сфере знакомых вещей: для решения таких задач новых знаний не

требуется, но требуется новый подход к ним, новые мыслительные приёмы. Т.е.

происходит "шлифовка" мышления, его тренаж, что вполне соответствует

запросам растущего организма.

Был проведен эксперимент и в 10 классе той же школы, где на момент

эксперимента было 13 учащихся. Им была предложена для решения следующая

текстовая задача: в одной мензурке имеется некоторое количество кислоты, в

другой мензурке – такое же количество воды. Для приготовления раствора

сначала вылили из первой мензурки во вторую 30 граммов кислоты. Затем 2/3

раствора, получившегося во второй мензурке перелили в первую. После этого в

первой мензурке оказалось в 1,4 раза меньше жидкости, чем во второй

мензурке. Сколько кислоты и воды было взято первоначально?

Все 13 учеников смогли верно составить уравнение, провести его решение

и записать ответ: 12 граммов воды и кислоты было первоначально. На этом все

прекратили решение задачи. Далее им было предложено вернуться к условию

задачи, и попробовать подставить полученный результат в условие. Здесь

сразу же возникли трудности, поскольку из мензурки, содержащей 12 г

жидкости, требовалось вылить 30 г. Ученики отказывались понимать, как могло

так получиться, что задача красиво решилась, но то, что получили в качестве

ответа, не подходило по тексту задачи. Непонятным было также и то, как

можно записать в ответе, что нет решения, когда на самом деле оно есть.

Задача вызвала резко негативное отношение десятиклассников, которые

считали бесполезным решение таких задач для своего образования. Они

требовали от учителя предлагать им для решения "нормальные" задачи, какие

им и придётся решать при поступлении в ВУЗы.

Таким образом, эксперимент показал не только недостаточное развитие

мышления старшеклассников, но и то, что у них уже отсутствует стремление к

такому развитию. Они сами (полагаем, не без участия учителей) определили

себе "потолок" своего развития, своей образованности, что в принципе для

человека ненормально.

Аналогичный мини–эксперимент был проведён и в ходе преддипломной

педагогической практики в сентябре – октябре 1998 года. Он проводился с

учащимися средней школы № 2 г. Орши. В эксперименте принимали участие

ученики 11–го класса, который является лицейским классом при Могилёвском

машиностроительном институте (выпускные экзамены по математике и физике в

этом классе совмещены со вступительными экзаменами в институт). Уровень

преподавания математики в этом классе достаточно высок (три ученика –

участники областной олимпиады по математике, один – её призёр).

Этим учащимся были предложены на уроке для самостоятельного решения

следующие задачи:

В параллелограмме стороны 3 см и 5 см, а высота 4 см. Найти площадь

параллелограмма.

В параллелограмме стороны 4 см и 5 см, а высота 3 см. Найти площадь

параллелограмма.

С первой задачей возникли проблемы следующего характера: часть

учеников, не обратив внимания на то, что в данной задаче параллелограмм

определяется однозначно (высота 4 см может быть проведена только к стороне

3 см), выдали два ответа (12 см2 и 20 см2); ещё одна часть учеников

остановилась на одном решении, просто не рассмотрев возможный второй случай

(ответ либо 12 см2 либо 20 см2); и лишь один ученик сначала задал вопрос о

том, сколько решений может иметь задача, и, получив совет "Думай!", выдал

полное и правильное решение.

Со второй задачей у большей части учащихся дело обстояло практически

так же, т.е. большинство указало только один ответ (даже подсказка о том,

что решений может быть и больше, им не помогла), остальные – два ответа, но

без обоснований. И лишь один ученик (тот же, что решил и первую задачу)

решил самостоятельно и правильно эту задачу, выдав два ответа с

аргументацией.

Как видим, результаты экспериментов показывают, что школьники не в

состоянии самостоятельно справиться с задачами указанных типов. Они не

ставят перед собой вопросов о переизбыточности, недостаточности или

противоречивости условий задач, не анализируют условие задачи, прежде чем

начать её решение, не возвращаются с полученным решением к началу задачи,

чтобы проверить его. Из чего можно заключить, что сформированность навыков

решения математических задач у учащихся средних школ (даже в

специализированных классах) является далеко не полной.

При целенаправленном использовании переопределённых задач ученики

довольно быстро приучаются анализировать условие задачи, но в первое время

всё же делают довольно грубые ошибки в решении, объясняющиеся прежде всего

их неумением проводить такой анализ. При решении задач переопределённых, но

имеющих в условии противоречие, ученики после небольшой тренировки находят

очевидные или слабо скрытые противоречия, но, если противоречие хоть

сколько–нибудь завуалировано, не замечают его и просто игнорируют вместо

того, чтобы вернуться к условию задачи и проверить решение. Т.е.

необходимость работы над задачей после получения ответа, необходимость

анализа этого ответа, выявление его соответствия тексту задачи формируются

у учащихся за более длительный срок и затратой больших усилий как самих

учащихся, так и учителя. Потому желательно начинать этот процесс намного

раньше, чем в десятом классе.

При решении задач неопределённых учащиеся не умеют перебирать

всевозможные случаи, которые возникают из–за этой неопределённости, и часто

либо находят одно решение, либо пишут, что задача не решается.

Итак, ответ на поставленный вопрос очевиден: сами учащиеся не готовы к

решению неопределённых и переопределённых задач, этому нужно их

целенаправленно учить. Как? Чтобы ответить на этот вопрос, сначала

задумаемся о том, чему могут научить задачи с «аномальным» условием?

II. Обоснование целесообразности задач с «аномальным» условием

Для ответа на последний вопрос рассмотрим исследуемые типы задач более

подробно, чтобы определить, что конкретно требуется от ученика при решении

каждого из них.

1. Неопределённые задачи – задачи с неполным условием, в котором для

получения конкретного ответа не хватает одной или нескольких величин или

каких–то указаний на свойства объекта или его связи с другими объектами.

Примеры:

1. В треугольнике одна сторона имеет длину 10 см, а другая 8 см. Найти

длину третьей стороны.

2. Поезд состоит из цистерн, товарных вагонов и платформ. Цистерн на 4

меньше, чем платформ, и на 8 меньше, чем вагонов. Какой длины поезд, если

каждая цистерна, вагон и платформа имеют длину 25 м?

3. Заасфальтировали на 30 км больше, чем осталось. Сколько процентов

дороги покрыто асфальтом?

С первого взгляда ясно, что задача 1 не может иметь решения, потому

что в ней не хватает данных. Однако исследуем ситуацию глубже. Вспомним

неравенство треугольника и запишем его для данного треугольника, обозначив

неизвестную сторону через а.

Получим:

10 + 8 > a;

a + 10 > 8;

a + 8 > 10;

а из этой системы следует, что

2 < a < 18.

Таким образом, нам удалось уточнить ответ с фразы "задачу невозможно

решить" до вполне определённого интервала, что следует признать ответом

более высокого уровня.

И во второй задаче напрашивается вывод, что никакой ответ там

невозможен, поскольку данных не хватает. Но при более внимательном анализе

условия выявляется, что не любое число может получиться в ответе. Например,

невозможны ответы 333 м и 250 м, хотя и по разным причинам. Первое

невозможно, потому что ответ должен быть кратным 25 м. А второе невозможно,

т.к. общее количество тяговых единиц не может быть равным десяти. Сколько

же этих единиц там может быть?

Если в поезде х цистерн, то платформ х+4, а вагонов х+8. Вместе:

3х+12. Таким образом, всех тяговых единиц не меньше пятнадцати, а возможный

ответ: 25(3х+12) м, где х – натуральное число. Над "дизайном" ответа можно

поработать, если переписать его так: 75(х+4). А теперь, переобозначив

буквой х (или другой) количество платформ, получим самый короткий вариант

ответа: 75х м, где х – натуральное число, не меньшее пяти.

Что ни говори, а такое решение требует более высокого уровня

умственной деятельности, чем примитивное "Задача не имеет решения, потому

что данных не хватает". И, разумеется, что указанного решения от школьников

сразу не получишь, что и подтвердили первые пробы со стапроцентным

результатом.

Третья из указанных здесь задач предлагалась девятиклассникам лицея.

Результат тот же: "Задача не решается...". Только дополнительная просьба

назвать несколько возможных ответов подтолкнула лицеистов к анализу и в

конце концов вывела на ответ, близкий к правильному: х%, где х((50;100].

Вывод: решение неопределённой задачи обычно заканчивается

неопределённым ответом, в котором искомая величина может принимать значения

из некоего числового множества. Выявление этого множества и должно стать

целью решения такой задачи, что достигается вдумчивым анализом текста

задачи и взаимосвязей между данными величинами. Этому полезному для

умственного развития учащихся процессу нужно специально обучать.

Задачи этого типа требуют от ученика мобилизации практически всего

набора знаний, умения анализировать условие, строить математическую модель

решения, находить данные к задаче "между строк" условия. Практически, одной

специально подобранной задачей этого типа можно проверить знания ученика по

целой теме. В качестве такого примера можно рассматривать задачу: При каких

значениях положительного параметра a уравнение logax=ax будет иметь

единственное решение и указать его. Эта задача была предложена нашей группе

(группа «А» IV курса физико–математического Могилёвского университета, 1997

год) на занятиях по дидактике математики для самостоятельного решения, что

помогло студентам группы весьма существенно повторить и углубить знания по

широкому спектру школьного курса алгебры и начал анализа.

Вообще, уравнения и другие задачи с параметрами можно рассматривать

как частные случаи неопределённых задач. Проблемность перехода к таким

задачам ощущают учителя уже при переходе от уравнений 7х=12, 0х=3, –5х=0,

0х=0 к линейному уравнению общего вида: ах=b. Предварительная тренировка в

решении неопределённых задач и здесь была бы целесообразной и полезной.

2. Задачи переопределённые – задачи с избыточным составом условия, с

лишними данными, без которых ответ может быть получен, но которые в той или

иной мере маскируют путь решения.

Как уже показано выше, данные в таких задачах могут быть

противоречивыми и выявление этой противоречивости или непротиворечивости

является обязательным элементом решения такой задачи.

Например, в задаче "Найти площадь прямоугольного треугольника с

катетами 9 см и 40 см и гипотенузой 41 см" мало найти ответ

полупроизведением 9 на 40. Надо ещё выявить, будет ли у прямоугольного

треугольника с катетами 9 см и 40 см гипотенуза равной 41 см. Без этого

выяснения решение задачи не может быть признано полным.

В этом аспекте интерес представляют практические задачи. Например, при

изучении первой формулы площади треугольника учитель приносит в класс

вырезанный из бумаги треугольник с проведенными высотами и предлагает

одному из учащихся измерить длину какой–либо стороны, потом второму ученику

длину второй стороны, третьему – третьей, ещё трое измеряют высоты, каждый

по одной. Результаты измерений записываются на доске. Теперь учитель

предлагает вычислить площадь этого треугольника. Вопрос, какая высота к

какой стороне проведена, учитель переадресует учащимся, которые измеряли,

но те, естественно, не помнят, поскольку не фиксировали на этом внимания.

Возникает интересная проблема, которая в итоге всё же разрешается, исходя

из того, что площадь одного и того же треугольника не может иметь разных

значений. Поэтому самая большая высота должна быть проведена к самой

маленькой стороне, а самая маленькая к самой большой. Теперь площадь

треугольника можно вычислять тремя способами, но результат, как выясняется,

получается не совсем одинаковым. Появляется причина поговорить о сущности

измерений, об их обязательной неточности, о качестве приближённых

измерений, об особенностях вычислений с приближёнными числами и других

соответствующих вопросах. И элементарная задача на применение примитивной

формулы наполняется богатым содержанием.

Задачи этого типа требуют от ученика умения анализировать условие,

находить в нём нужные данные и отбрасывать ненужные. Причём, "ненужными" у

разных учеников могут быть разные величины. Например, в задаче "Найти

площадь прямоугольника по стороне, диагонали и углу между диагоналями" одни

ученики будут искать ответ половиной произведения диагоналей на синус угла

между ними (тем самым сторона становится лишним данным), другие получат

ответ произведением сторон, предварительно вычислив вторую сторону по

теореме Пифагора (здесь угол становится лишним данным). Возможен и третий

вариант, когда лишним данным станет диагональ. Использование нескольких

вариантов решения такой задачи полезно не только для их сравнения, но

больше для самоконтроля: одинаковость ответов при разных решениях повышает

уверенность в их правильности. Отсюда можно получить и один из надёжных

способов самоконтроля в решении традиционных задач: после получения ответа

вставить этот ответ в текст задачи как одно из данных, а одну из известных

величин считать неизвестной и решить полученную новую задачу.

3. Нереальные (или противоречивые) задачи обычно относят к отдельному

типу, хотя, как отмечено выше, они являются составной частью

переопределённых (иногда определённых) задач.

Пример: Найти площадь треугольника со сторонами 10 см, 19 см и8 см.

Вовсе необязательно решать приведенную задачу, чтобы понять, что она

не имеет решения. Достаточно лишь проверить условие на противоречивость при

помощи неравенства треугольника и убедиться, что задача не может иметь

решения.

Можно было бы решить эту задачу, используя формулу Герона, но и тогда

в конце концов был бы получен противоречивый результат (подкоренное

выражение получилось бы отрицательным).

Для таких задач характерным является то, что они могут иметь

достаточно красивое решение, как это было с приведённой выше задачей на

переливание жидкости, но только это решение будет противоречить здравому

смыслу. При решении таких задач необходимо всегда в конце возвращаться к

условию и делать проверку полученного решения. А поскольку противоречивость

задачи не всегда бросается в глаза, это приучит выполнять проверку

полученного ответа в каждой задаче. Некоторые из задач этого типа позволяют

выявить противоречие данных еще при анализе условия, в результате чего

процесс решения становится излишним. Достаточно частое повторение таких

ситуаций приведёт учащихся к необходимости анализировать условие перед

началом решения, чтобы избавить себя от лишней работы.

Итак, мы выяснили, что каждый из указанных типов задач несёт в себе

определённую развивающую функцию. Так, переопределённые задачи требуют

умения анализировать условие и строить решение задачи при помощи

минимального числа данных. Противоречивые задачи заставляют делать проверку

решения, более внимательно анализировать данные задачи. Неопределённые

задачи требуют достаточно обширных знаний об объекте задачи, о связях его с

другими математическими объектами, которые могут оказаться полезными при

получении пусть неопределённого, но всё же ограниченного некими рамками

ответа.

Известно (см., например, книги Д.Пойа), что процесс решения

математической задачи предусматривает реализацию четырёх этапов: изучение

текста задачи, составление плана решения, его выполнение, изучение

полученного решения ("взгляд назад"). Для успешного формирования у

школьников умений, связанных с реализацией того или иного вида

деятельности, необходимо обучать их самостоятельно выполнять каждый из

указанных этапов процесса решения задач. Для этого целесообразно учить

учащихся операциям, соответствующим определённому этапу работы с задачей.

Указанные выше типы задач и позволяют ученику усовершенствовать свои умения

в каждом из данных видов деятельности.

III. Прикидка методического подхода

к обучению решению «аномальных» задач

Как же научить учащихся решать задачи указанных типов? Как приучить их

к "нестандартному"[1] подходу к решению задачи?

Основой для ответа на поставленный вопрос можно считать известную

таблицу Д.Пойа "Как решать задачу" [16, с. 210-212]. В числе основных

Страницы: 1, 2, 3