Математика и физика в средней школе

то, что в неё входят модули двух величин.

Для физиков важен распределительный закон [pic], поскольку знание его

позволяет сделать важный вывод о том, что работа результирующей силы равна

сумме работ составляющих сил.

При решении векторных уравнений наряду с графическим методом

используется метод проекций (координатный). Рассмотрим использование

данного метода при решении задачи [8]:

Задача 1: Конический маятник массой m вращается в горизонтальной плоскости.

Найти угловую скорость вращения и силу натяжения нити, если её длина l, а

угол, который она составляет с вертикалью, равен ?.

Решение: на маятник действует две силы – сила тяжести [pic] и сила

упругости нити [pic] (см. рис. 2.3)

По II закону Ньютона: [pic]

Рис 2.3

От векторной формы записи перейдем к уравнениям в проекциях на оси

координат:

[pic].

Выразив проекции векторов через модули и принимая во внимание, что [pic]

имеем:

[pic]

из уравнения (2) получим:

[pic]

учитывая, что [pic], и подставляя в уравнение (1) найденное значение [pic],

вычислим угловую скорость:

[pic].

§2.2. Векторная величина в средней школе.

Большое место в школьном курсе физике занимают векторные величины.

Понятие векторной величины тесно связано с понятием вектора, но не

тождественно ему. Векторная величина характеризует какое-либо свойство

тела, явления, процесса, существующие реально; её можно измерить. Понятия

«измерение вектора» не существует.

Физика оперирует векторными величинами, которые задаются указанием

размера и направления в пространстве. Поэтому направленный отрезок является

удобным наглядным изображением векторной величины. Операцию построения

направленного отрезка MN, для которого [pic] равен [pic], можно назвать

откладыванием какой-либо векторной величины [pic] от точки М [7].

При определении многих физических величин (а также при записях

некоторых законов) подчеркивается и векторный характер, в то время как

расчет численных значений этих величин выполняется в скалярной форме. В

связи с этим возникает необходимость разъяснения учащимся основных приемов

и правил перехода от уравнений, записанных в векторной форме, к уравнениям

в скалярной форме.

Первые затруднения возникают при записи уравнения кинематики

прямолинейного равнопеременного движения. В этом случае [9] для решения

основной задачи механики достаточно оперировать двумя уравнениями:

уравнением для мгновенной скорости

[pic]

и уравнением для координаты

[pic],

где х0 – координата начальной точки, V0x и ax – проекции векторов [pic]

на ось Х, которая параллельна траектории движения.

Для решения многих задач достаточно знать только численное значение

мгновенной скорости, определяемое из соответствующего уравнения в скалярной

форме. Для этого нужно уравнения мгновенной скорости записать для её

проекции на ось х, т.е.

[pic].

Таким образом, основная задача механики решается с помощью двух

независимых уравнений:

[pic]

[pic].

Если начало координат совпадает с начальной точкой движения уравнения

упрощаются и принимают вид:

[pic]

[pic].

Кроме уравнения координаты вводится также формула для вычисления пути

(путь – скалярная величина, равная длине траектории):

[pic].

Четкое представление о величинах, входящих в уравнения мгновенной

скорости и координаты, и об их изменениях с течением времени складывается у

учащихся при вычерчивании графиков.

На рисунке 2.4 показано изменения проекций векторов [pic], а также

координаты х тела, брошенного вертикально вверх.

Рис 2.4 и 2.5

На рисунке 2.5 изображены графики изменения ускорения и скорости тела

по модулю, а также график его пути [7].

Уравнения динамики первоначально также даются в векторной форме. И

естественно возникает необходимость перехода к записи их в скалярной форме.

Второй закон Ньютона учащиеся выражают следующим образом [14]: [pic],

где [pic] - равнодействующая всех сил, приложенных к телу. В некоторых

учебных пособиях это же уравнение записывается так:

[pic].

Для перехода к скалярной форме записи можно рекомендовать следующий

прем. Допустим, что к телу приложены две силы [pic] и [pic]. Тогда телу

сообщается ускорение [pic], направленное в сторону равнодействующей

(рис.2.6):

Рис 2.6.

Если спроецировать вектора [pic] и [pic] на произвольную ось х, то,

учитывая пропорциональность отрезков, отсеченных на сторонах угла

параллельными прямыми, можно записать:

[pic].

Откуда [pic], где [pic]- проекция равнодействующей на ось х.

Из рисунка 2.6 также видно, что проекция равнодействующей равно сумме

проекций приложенных сил, то есть

[pic],

следовательно, [pic].

Последнее уравнение выражает очень важное следствие: сумма проекций

сил, приложенных к телу, по любой оси равна произведению массы тела на

проекцию ускорения по этой же оси.

В практике средней школы встречаются физические задачи, которые

сводятся к нахождению решений системы уравнений, из которых одни есть

уравнения динамики, а другие – кинематики. Если в задаче рассматривается

равноускоренное движение, то её решение не зависит от того, проекции или

модули векторов входят в уравнения кинематики. Если же в задаче

рассматривается равнозамедленное движение, то необходимо предварительно

выразить все уравнения системы через однородные величины, то есть через

модули соответствующих векторов. В этом случае формула скорости [pic] имеет

вид [pic], формула пути [pic] будет, а формула [pic] выразится так [pic].

Несоблюдение этого правила часто приводит к ошибочным решениям.

Рассмотрим это на примере следующей задачи (задача №4 из упр. 17 учебника

для 9 класса):

«Конькобежец, масса которого равна 50 кг, после разгона скользит по

льду, пройдя до остановки 40 м. Сила трения постоянна и равна 10 Н. Сколько

времени продолжается торможение?»

рис 2.7

Выполнив чертеж, обращаем внимание учащихся на то, что к конькобежцу

приложены три силы: сила тяжести [pic], сила реакции [pic] (направленная

нормально поверхности движения конькобежца) и сила сопротивления [pic].

Рассмотрим проекции этих сил на вертикальную ось y и запишем

соответствующее уравнение динамики:

[pic], так как [pic]

поскольку [pic], то [pic].

Между тем для проекций на ось х уравнение динамики имеет вид:

[pic]

откуда (поскольку [pic] и [pic]) получим:

[pic], или [pic] (где [pic] и [pic] - модули векторов [pic] и [pic]).

Искомую величину - время – можно определить из уравнений кинематики:

[pic]

Если теперь выразить проекции векторов через их модули, то получим:

[pic]

Откуда находим, что [pic], или [pic]. Поскольку [pic], то [pic].

Обычно учащиеся поступают по другому: они записывают уравнения согласно

учебнику так:

[pic]

Откуда получают [pic] или [pic]. Если заранее не сделать разъяснений,

то ученики считают, что величины, входящие в формулы, - модули

соответствующих векторов и тогда знак минус вызывает у них недоумение. Если

же произвести дальнейшее преобразования и подставить в последнюю формулу

[pic], то получиться [pic].

Этот результат вызывает у школьников ещё большее неумение, так как им

не ясно, как избавиться от знака минус.

В данной задаче легко найти выход из затруднительного положения. Однако

в более сложных задачах можно не заметить этого и получить неправильный

ответ.

Поэтому имеет смысл на первом этапе решения по динамике рассматривать

только случаи равноускоренного движения тел, а затем, после приобретения

учащимися прочных знаний навыков, осторожно перейти к анализу и решению

задач на равнозамедленное движение.

Глава 3. развитие понятия функции в школьном курсе физике.

§3.1. Функция как важнейшее звено межпредметных связей.

В общей системе теоретических знаний учащихся по физике и математике в

средней школе большое место занимает понятие «функция». Оно имеет

познавательное и мировоззренческое значение и играет важную роль в

реализации межпредметных связей [13].

Функция является одним из основных понятий математики, выражающих

зависимость одних переменных величин от других. Как и остальные понятия

математики, оно сложилось не сразу, а прошло долгий путь развития, опираясь

в начале на представление о переменной величине, а затем на понятия теории

множеств.

Трактовка функции как зависимости одних переменных величин от других

вводится следующим образом. Если величины x и y связаны так, что каждому

значению х соответствует определенное значение y, то y называют функцией

аргумента х.

Соотношение между x и y записывают так: [pic]. Если связь между х и y

такова, что одному и тому же значению х соответствует несколько значений y,

то у называют многозначной функцией аргумента х.

Иными словами, это можно сформулировать следующим образом [11], чтобы

задать функцию [pic], следует указать: 1) множество значений Х, которое

может принимать х (область задания функции); 2) множество значений Y,

которое может принимать у (область значения функции); 3) правило, по

которому значения х из Х соотносятся со значениями у из Y. В физике чаще

всего правило отнесения значениям х соответствующих им значений у задается

формулой, устанавливающей, какие вычислительные операции надо произвести

над х, чтобы получить у.

Функция [pic] иногда задается своим графиком, те есть множеством точек

х, у – плоскости, у которой х принадлежит области задания функции, а [pic].

Развитие математики в XIX-XX вв. привело к необходимости дальнейшего

обобщения понятия функции. Оно заключалось, с одной стороны, в перенесении

этого понятия с переменных действительных чисел на переменные объекты любой

природы, с другой стороны, в определении понятия «функция» без упоминания о

её аналитическом изображении. Такое определение функции стало возможным

благодаря развитию теории множеств.

Понятие «множество» можно представить себе [10] как совокупность

некоторых объектов, объединенных между собой по какому-либо признаку.

Важным вопросом, возникшим в применении к множествам, был вопрос об их

количественном сравнении между собой. Возможность сравнительной оценки

множеств опирается на понятие взаимно однозначного соответствия между двумя

множествами [11]. Если каждому элементу множества Х поставлен в

соответствие в силу какого-либо правила или закона некоторый определенный

элемент множества Y и при этом каждый элемент множества Y оказывается

поставленным в соответствие одному и только одному элементу множества Х, то

говорят, что между множествами Х и Y установлено взаимно однозначное

соответствие.

Общее определение однозначной функции можно сформулировать следующим

образом: пусть А и В – два множества, составленные из элементов любой

природы, и М – множество упорядоченных пар[pic], такое, что каждый элемент

х, принадлежащий А [pic], входит в одну и только одну пару из М; тогда М

задает на А функцию [pic] [11]. Множество А называют областью определения

функции [pic], а множество В – областью значения этой функции.

Понятие функции играет в физике исключительно важную роль. По существу

любой физический закон лишь тогда считается четко сформулирован, когда ему

придана математическая форма, точнее – если он записан в виде некоторой

функциональной зависимости между физическими величинами.

Важно учитывать и другой факт. Не всякая формула, связывающая

физические величины, выражает причинно-следственную зависимость между ними.

В ряде случаев аналитическая запись отражает лишь определенное соответствие

между физическими величинами. Примерами могут служить формулы для расчета

плотности твердых тел ([pic]), удельной теплоты плавления ([pic]). На

основании, например, первой формулы можно, казалось бы, сказать, что [pic]

при [pic], но такое (математически правильное) высказывание неверно с

физической точки зрения.

Функциональное соответствие, связывающее давление Р и объем V

идеального газа при постоянной температуре (закон Бойля - Мариотта),

записывается так: [pic].

При изотермическом процессе причиной изменения давления идеального газа

служит изменение его объема, и наоборот. Причинно-следственную связь между

физическими величинами для этих и аналогичных случаев назовем взаимной.

§3.2. Формирование физико-математических понятий: производная,

первообразная и интеграл в школе.

Как могут быть реализованы межпредметные связи физики и математики при

формировании таких понятий, как функция, величина, производная,

первообразная и интеграл. Причины, побудившие обратится к этому вопросу

следующие. Во-первых, позднее изучение в курсе математики названных понятий

затрудняет преподавание, например, механики в курсе физики. Во-вторых,

изучению всего курса физики препятствует недостаточное использование

математического аппарата, которое происходит либо из-за позднего его

формирования у учащихся, либо из-за отсутствия согласованности действий

преподавателей физики и математики в использовании общих физико-

математических понятий.

Выход из создавшейся ситуации состоит в совместном формировании у

учащихся понятий математического анализа в курсе физики и математики.

Именно при параллельном изучении основ механики и основ математического

анализа открываются наибольшие возможности для формирования как физических

понятий – мгновенная скорость, мгновенная ускорение, перемещение, работа и

т. д., так и математических – производная, первообразная и интеграл.

Согласно такой методике реализация межпредметных связей предпочтение

следует отдать скорей наглядности физики, чем строгости математических

доказательств. Поэтому на уроках математики, например, производную сумму

вводить при помощи закона сложения скоростей; при выводе формулы

производной функции, основанном на использовании на индукции,

математические выкладки подтверждаются примерами из физики. Рассмотрение

физического примера – движение тела, брошенного вертикально вверх –

облегчает задачу формирования понятий возрастающей и убывающей функций,

позволяет мотивированно ввести понятие второй производной и на этой основе

получить правило определения выпуклости графика. Что касается понятий

«первообразная» (неопределенный интеграл) и «интеграл» (определенный

интеграл), то их формирование целесообразно проводить с широким

использованием физических примеров, начиная с их определения, получения

основного свойства первообразной и интеграла и кончая правилами

интегрирования многочлена [14].

Для курса физики знание производной и интеграла открывает перспективы в

плане возможности более строгого определения рода физических величин:

точной записи второго закона Ньютона и закона электромагнитной индукции;

получения формулы работы силы тяготения в сферически симметричном поле с

последующим выводом второй космической скорости; ЭДС индукции, возникающей

в рамке при вращении в магнитном поле; доказательства инвариантности

действия сил относительно инерциальных систем отсчета; упрощения работы с

графиками; и наконец, рассмотрения видов равновесия тел не только с позиций

действия сил, но и с энергетической точки зрения. Знание учащимися

производной и интеграла позволяет выработать у них общий подход к

определению физических величин и решению графических задач физического

содержания.

С этой целью можно, например, использовать алгоритмические схемы,

являющиеся общими для определения математических и функциональных

физических зависимостей. Так схема общего подхода к определению физических

понятий с помощью производной может быть следующей [12]:

1. Убедившись в возможности применения понятия производной, записать

функциональную зависимость в виде [pic].

2. Найти отношение приращения функции к приращению аргумента, то есть

среднюю скорость изменения функции [pic].

3. Осуществить предельный переход над функцией [pic] при условии

[pic], записав выражение:

[pic].

4. Сформулировать определение физической величины по схеме: название

физического понятия, определяемого как производная от данной

функции; название аргумента.

Для определения физического понятия с помощью интеграла можно избрать

следующую схему действия [14]:

1. Убедиться в возможности применения понятия «интеграл» в данной

ситуации: приблизительное значение искомой физической величины

может быть представлена как сумма выражений [pic], где [pic] -

некоторое среднее значение функции на промежутке [pic]; графически

эта сумма должна соответствовать значению площади ступенчатой

фигуры, а при [pic] площадь должна сводится к площади

криволинейной трапеции.

2. Записать искомую физическую величину как [pic].

3. Сформулировать: определение найденной физической величины,

определяемой как интеграл от данной функции; название функции;

название аргумента.

В большинстве случаев схема записи интеграла может быть иной. Поскольку

интегрирование – это действие, обратное дифференцированию, применим

следующий порядок действий:

1. Записать производную искомой функции по соответствующему

аргументу, например - [pic].

2. Определить функцию, от которой была найдена производная, то есть

первообразную [pic].

3. Найти изменение искомой функции при соответствующих значениях

аргумента:[pic] и [pic], то есть интеграл [pic], после чего

сформулировать определение физической величины (см. выше пункт

3).

Преимущества, которые дает знание производной и интеграла для изучения

курса физики в 9 – 11 классах, могут быть получены только в результате

совместной работы над формированием понятий математического анализа на

уроках физики и математики. На рисунке 3.1 приводится схема формирования

понятий производная, первообразная и интеграл на уроках физики и математики

[13].

Рис 3.1

При решении предлагаемых задач используются определения производной и

первообразной, то есть понятий которые вводятся в разделе высшей

математики, называемом математическим анализом и изучаемом в школе [15]:

Задача 1.Определите, при каком соотношении между внутренним и внешним

сопротивлением электрической цепи полезная мощность имеет максимальное

значение.

Решение: полезная мощность, выделяющаяся на резисторе R, по закону Джоуля –

ленца равна:

[pic]

где [pic] - сила тока, определяемая по закону Ома для полной цепи.

Очевидно, что [pic] при [pic] (короткое замыкание) и при [pic] (цепь

разомкнута). Исследуем, при каком соотношении между сопротивлениями r и R

полезная мощность максимальна. Итак задача свелась с исследованию функции

[pic] на экстремум. Вспомним условия экстремума. Построить график

зависимости полезной мощности от R:

1. Необходимое условие экстремума: если [pic] - точка

экстремума дифференцируемой функции [pic] на интервале

[pic], то [pic] (теорема Ферма).

2. Достаточное условие экстремума: если функция [pic]

непрерывна в точке [pic], в левой полуокружности этой точки

имеет положительную производную, а в правой – отрицательную,

то [pic] - точка максимума функции [pic]. Аналогично, если

при переходе через точку [pic] производная меняет свой знак

с «-» на «+», то [pic] - точка минимума функции. Вычислим

производную:

[pic].

Следовательно, мощность [pic] достигает максимума при [pic], так как

производная здесь обращается в ноль и при этом меняет знак. Максимум в этой

точке является наибольшим значением функции на интересующем нас интервале,

так как это единственный экстремум. Возьмем вторую производную:

[pic].

Очевидно, что при [pic] имеется точка перегиба. Построим график

функции, используя всю полученную информацию:

Рис 3.2

Задача 2: покажем, что действующее (эффективное) значение силы тока в цепи

равно [pic].

Решение: действующее значение силы переменного тока - это значение силы

такого постоянного тока, при протекании которого в резисторе в течении

одного периода выделяется такое же количество теплоты, что и при протекании

данного переменного тока. Пусть переменный ток изменяется по

синусоидальному закону:

[pic], где [pic] - круговая частота, тогда [pic].

Используя тождество: [pic]

Итак :[pic].

Очевидно, что последнее слагаемое равно нулю. По определению это же

количество теплоты [pic], таким образом [pic], откуда [pic].

Заключение:

Анализ научно-методических публикаций по методике преподавания физики в

средней школе показал, что в большинстве случаев предлагаемые подходы в

обучении физики являются традиционными, направленными на усвоение

физических понятий и закономерностей, определённых программой. А так как

объем и содержание учебного материала, составляющие основу современного

образования велики, то они могут быть усвоены учащимися только в системном

единстве.

В общеобразовательной школе изучение математики и естественных

дисциплин происходит параллельно, и таким образом, математика часто

используется в физике и в определённой мере даже определяет ход физического

образования. Преподавание физики и математики необходимо строить на

взаимном использовании элементов математики в курсе физики и физических

представлений при изучении алгебры и начала анализа. Это способствует

решению трех главных дидактических задач:

1. Повышение научности последовательности учебной

информации;

2. Стимулированию познавательных интересов и активного

отношения школьников к усвоению знаний и вследствие

этого ускорение их умственного развития;

3. Формирование у учащихся научного мировоззрения.

Математический аппарат, используемый на уроках физики необходимо

предварительно определить в соответствии с фундаментальными фактами,

понятиями и теориями, содержащимися в учебной информации курса физики.

Литература:

1. Методика обучения физике в школе в школах СССР и ГДР, под

ред. Зубова В. Г., Разумовского В. Г., Вюншмана М., Либерса

К. – М., Просвещение, 1978.

2. Морозова О. А., Активное использование понятий и методов

математического анализа в процессе преподавания темы

«Электромагнитные колебания», Дипл. работа, Кемерово, КемГУ,

Кафедра общей физики, 1995.

3. Иванов А. И., О взаимосвязи школьных курсов физики и

математики при изучении величин, - «Физика в школе», 1997,

№7, стр. 48.

4. Кожекина Т. В., Взаимосвязь обучения физике и математике в

одиннадцатилетней школе, - «Физика в школе», 1987, №5, стр.

65.

5. Тамашев Б.И., Некоторые вопросы связи между школьными

курсами физики и математики, - «Физика в школе», 1982, №2,

стр. 54.

6. Кожекина Т. В., Никифоров Г. Г., Пути реализации связи с

математикой в преподавании физики, - «Физики в школе», 1982,

№3, стр. 38.

7. Лернер Я. Ф., Векторные величины в курсе механике средней

школы, - «Физика в школе», 1971, №2, стр. 36.

8. Фурсов В. К., Окрестина И. А.. Конкретизация сведений о

векторах в VIII классе, - «Физика в школе», 1977, №4, стр.

54.

9. Урвачев Л. П., Эвинчик Э. Е., Введение понятия вектора и

действий с векторами при изучении механики и математики в

средней школе, - «Физика в школе», 1977, №5, стр. 40.

10. Кожекина Т. В., Понятие функции в школьном курсе физики, -

«Физика в школе», 1981, №1, стр. 39.

11. Пинский А. А., К формированию понятия «функция» в школе, -

«Физика в школе»,1977, №2,стр. 42.

12. Синяков А. З., Об использовании понятия производной в курсе

физики средней школе, - «Физика в школе», 1976, №4, стр. 37.

13. Коробов В. А., Опыт применения математики в преподавании

физики, - «Физика в школе», 1991, №4, стр. 23.

14. Пинский А. А., Самойлова Т. С., Фирсов В. В., Формирование у

учащихся общих физико-математических понятий, - «Физика в

школе», 1986, №2, стр. 50.

15. Парфентьева Н. А., Липкин Г. И., Использование элементов

математического анализа, - «Физика», 2000, №3, стр. 9.

Страницы: 1, 2