Доклад: Общий аналитический метод решения алгебраических уравнений четвертой степени
Доклад: Общий аналитический метод решения алгебраических уравнений четвертой степени
Валентин Подвысоцкий
Уравнение:
|
X4 + TX2 + PX + Q = 0
|
(1) |
имеет
четыре корня X1, X2, X3, X4.
Известно,
что:
|
X1
+ X2 + X3 + X4 = 0,
|
(2) |
|
X1X2 + X1X3 + X1X4
+ X2X3 + X2X4 + X3X4
= T,
|
(3) |
|
X1X2X3 + X1X2X4
+ X1X3X4 + X2X3X4
= –P,
|
(4) |
Путем
простых алгебраических преобразований из соотношений (2), (3), (4) получаем:
|
X1X2 + X3X4 = T + (X1
+ X2)2,
|
(6) |
|
(X1 + X2)(X1X2 – X3X4)
= P.
|
(7) |
Составляем
квадратное уравнение:
|
Y2 – (X1X2+X3X4)Y
+ X1X2X3X4 = 0,
|
(8) |
где
Y1 = X1X2, Y2 = X3X4.
Используя
ф-лы (5), (6), (7) и обозначая A = (X1 + X2)2
перепишем уравнение (8) в виде:
Y2 – (T + A)Y + Q = 0.
Решая
уравнение (8) получаем:
|
X1X2 = 1/2(T + A2
+ ([T + А]2 – 4Q)1/2),
|
(9) |
|
X3X4 = 1/2(T + A2
– ([T + A]2 – 4Q)1/2).
|
(10) |
Таким
образом, используя ф-лы (9), (10) получаем:
|
X1X2 – X3X4 = ([T +
A]2 – 4Q)1/2.
|
(11) |
Учитывая,
что A1/2 = X1 + X2 перепишем формулу (7) в
виде:
|
X1X2
– X3X4 = Р/А1/2.
|
(12) |
Подставляя
в ф-лу (12) ф-лу (11) получаем
|
P/A1/2 = ([T + A]2 – 4Q)1/2.
|
(13) |
Путем
простых алгебраических преобразований из ф-лы (13) получаем кубическое уравнение
относительно переменной А:
|
A3 + 2TA2 + (T2 – 4Q)A – P2
= 0.
|
(14) |
Таким
образом решение уравнение четвертой степени (1) сводится к решению кубического
уравнения (13), где A=(X1+X2)2 и двух
квадратных уравнений:
|
X2
– (X1 + X2)X + X1X2 = 0,
|
(15) |
|
X2
– (X3 + X4)X + X3X4 = 0.
|
(16) |
Используя
ф-лы (9), (10) и учитывая, что X1 + X2 = – (X3+X4)
перепишем ф-лы (15), (16) в виде:
|
X2 – A1/2X + 1/2(T+A
+ ([T + A]2 – 4Q)1/2) = 0,
|
(17) |
|
X2 + A1/2X + 1/2(T+A
– ([T + A]2 – 4Q)1/2) = 0.
|
(18) |
Полное
уравнение четвертой степени X4 + KX3 + TX2 +
PX + Q = 0 сводится уравнению (1) путем замены переменной X на переменную Y = X + K/4.
Список литературы
Для
подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://www.n-t.org/
|
