на тему рефераты
 
Главная | Карта сайта
на тему рефераты
РАЗДЕЛЫ

на тему рефераты
ПАРТНЕРЫ

на тему рефераты
АЛФАВИТ
... А Б В Г Д Е Ж З И К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

на тему рефераты
ПОИСК
Введите фамилию автора:


Шпаргалка: Ряды


Шпаргалка: Ряды

Фун 2 числовых аргументов.

Пусть имеется Е (х1;у1) – элементы принадлеж точке Е

Сущ закон или правило по которому каж точке (xi;yi) ставится в соот-е число Wi или любой точке (xi;yi) или паре чисел ставится в соот-е zi след-но zi=F(х;у), где Е-обл опред-я F(х;у).

Если рассмот-ть точку (хi;уi) и нашли соот-е значения zi=F(хi;уi).

Пусть точка (х0;у0)ÎЕ дельта окрест-ю точки (х0;у0) наз множество точек (х;у) удовлетвор-х нерав-у

Ö[(х-х0)+(y-y0)] <d.

Точка (х0;у0) наз внутренней точкой множества Е, если сущ-ет некоторая окрест этой точки, которая вместе с точкой Î этому множеству.

Точка (х0;у0) наз граничной точкой множ-ва Е, если в любой ее окрест-и сущ точка кроме самой этой точки, которая Î множ Е.

Совокупность всех граничных точек множ-а Е наз границей множ-а Е.

Множ-во, все точки которого внутренние, наз открытыми, т.е. безграничным.

Точка (х0;у0)Î множ-ву Е наз изолированной точкой, если сущ-ет окрест этой точки в которой кроме этой точки нет ни одной точки из множества Е.

Фун 2 переменных.

Опр: Если каж паре (х;у) значений 2, не завис др от друга, переменных величин х и у, из некоторой обл их знач-я D, соот-ет опр-е знач-е величины z, то мы говорим, что z есть фун 2 независимых пременных х и у, определ-ся в обл D.

Геом. Смысл: Геометрическое место точек Р, коор-ты которых удовлет-т ур-ю z=f(х;у), где коор-ы точки Р х и у, z=f(х;у), наз графиком фун 2 переменных. Графиком фун 2 переменных яв-ся поверхность, проектирующая на плоскость Оху в обл опред-я фун. Каж перпендик-р к плоскости Оху пересекает поверхность z=f(х;у) не более чем в одной точке. Фун z=f(х;у) опред-ся в обл G.

Ряды

y
P
 

x
 

Обл опред-я фун 2 переменных – это совокупность пар (х;у) значений х и у при котором определяется фун-я z=f(х;у).

Совокупность точек на плоскости также наз-ся обл определения.

Предел фун 2 переменных.

Опр: Число А наз пределом фун z=f(х;у)при х®х0, у®у0, М(х;у)®М0. limх®х0 (у®у0)f(х;у)=A

Если для любого e>0 сущ-ет d окрест-ть точки (х0;у0) такая, что при всех (х;у)Îd окрест-ти будет выполн нерав-во Ö[(х-х0)2+(y-y0)2] <d. êА-f(х;у)ê<e,                             A-e<f(х;у)<A+e.

Основные теоремы о пределах:

1)lim Xn=a, lim Yn=b => lim (Xn±Yn)=a±b (n®¥)

Док-во: lim Xn=a => Xn=a+an; lim Yn=b => Yn=b+bn;

Xn ± Yn = (a + an) ± (b + bn) = (a ± b) + (a n± bn) => lim(Xn±Yn)=a±b (n®¥).

2)limXnYn = lim Xn * lim Yn (n®¥).

3)lim Xn=a, lim Yn=b (n®¥) =>   lim Xn/Yn =   

(lim Xn)/(lim Yn) = a/b.

Док-во: Xn/Yn – a/b = (a+an)/(b+bn) – a/b = (ab+anb–ab–abn)/b(b+bn) =(ban-abn)/b(b+bn)=gn => Xn/Yn=a/b+gn => $ lim Xn/Yn = a/b = (lim Xn)/(lim Yn) (n®¥).

Все св-ва и правила вычисл-я такие же как для 1 переменной.

Непрерывность фун в точке.

Опр: Пусть точка М0(х0;у0) Î обл опр-я фун-и f(х;у). Фун-я z=f(х;у) наз непрерывной в точке М0(х0;у0), если имеет место равенство limх®х0(у®у0)f(х;у)=f(х0;у0) или limDх®0(Dу®0)f(х0+Dх;у0+Dу)= f(х0;у0), где х=х0+Dх и у=у0+Dу, причем точка М(х;у) стремиться к точке М0(х0;у0) произвольным образом, оставаясь в области определения фун-и.

Условия:1)f(х;у) – опред ф-ия; 2) Сущ-ют конечные пределы со всех сторон; 3)Эти пределы равны между собой; 4)Конечные пределы со всех сторон =f(x0;у0).

Если (х0;у0) точка разрыва и выполняется условие 2, то (х0;у0)–1 род.

Если (х0;у0)–1 род и выполняется условие 3, то разрыв устранимый.

Если (х0;у0) точка разрыва и не выполняется условие 2, то (х0;у0) – 2 рода.

Св-ва непрерывности в точке: 1)Если фун f1(х;у) и f2(х;у) непрерывны в точке (х0;у0), то сумма (разность)  f(х;у)=f1(х;у)±f2(х;у), произведение f(х;у)=f1(х;у)*f2(х;у), а также отношение этих функций f(х;у)=f1(х;у)/f2(х;у), есть непрер-я фун в точке х0;у0.

Док-во (суммы): По определению получаем, что limх®х0(у®у0)f1(х;у)=f1(х0;у0), limх®х0(у®у0)f2(х;у)=f2(х0;у0)  на основании св-ва: limXn=a, limYn=b => lim(Xn±Yn)=a±b (n®¥), можем написать: limх®х0(у®у0)f(х;у)=limх®х0(у®у0)[f1(х;у)+f2(х;у)]=

=limх®х0(у®у0)f1(х;у)+limх®х0(у®у0)f2(х;у)=

=f1(х0;у0)+f2(х0;у0)=f(х0;у0). Итак сумма есть непрерывная функция.· 2)Всякая непрерывная фун непрерывна в каждой точке, в которой она определена. 3) Если фун z=j(m) непрерывна в точке m=х0;у0, а фун y=f(z) непрерывна в соот-й точке z0=j(х0;у0), то фун y=f(j(х;у)) непрер-а в точке (х0;у0).

Если фун непрерывна в каждой точке некоторого интервала (а,в), где а<в, то говорят, что фун непреывна на этом интервале.

Если фун непрерывна в каждой точке некоторого интервала (а,в) и непрерывна на концах интервала, то говорят, что f(x;у) непрерывна на замкнутом интервале или отрезке (а,в).

Точки разрыва.

Если в некоторой точке N(х0;у0) не выполняется условие limх®х0(у®у0)f(х;у)= f(х0;у0), то точка N(х0;у0) наз точкой разрыва фун z=f(х;у).

Условие limDх®0(Dу®0)f(х0+Dх;у0+Dу)=f(х0;у0) может не выпол-ся в след-х случаях: 1)z=f(х;у) определена во всех точках некоторой окрестности точки N(х0;у0), за исключением самой точки N(х0;у0); 2)фун z=f(х;у) определена во всех точках некоторой окрестности точки N(х0;у0), но не сущ-ет предела limх®х0(у®у0)f(х;у); 3)фун z=f(х;у) определена во всех точках некоторой окрестности точки N(х0;у0) и сущ-ет предел limх®х0(у®у0)f(х;у), но limх®х0(у®у0)f(х;у)¹f(х0;у0).

Классификация точек разрыва:

Если (х0;у0) точка разрыва и сущ-ют конечные пределы со всех сторон, то (х0;у0) – 1 род.

Если (х0;у0) – 1 род, сущ-ют конечные пределы со всех сторон и эти пределы равны между собой, то разрыв устранимый.

Если (х0;у0) точка разрыва и не сущ-ют конечные пределы со всех сторон, то (х0;у0) – 2 рода.

Непрерывность фун нескольких (или 2) переменных в замкнутой области.

Опр: Фун-я, непрерывная в каж точке некоторой замкнутой области, наз непрерывной в этой замкнутой области.

Св-ва: 1)Если фун f(x;y…) определена и непрерывна в замкнутой и ограниченной области D, то в обл D найдется по крайней мере одна точка N(х0;у0…) такая, что для всех др точек обл будет выплн-ся соот-е f(х0;у0…)³f(х;у) и по крайней мере одна точка `N(`х0;`у0…) такая, что для всех др точек обл будет выпол соот-е f(`х0;`у0…)£f(х;у…). Фориулируется так: Непрерывная фун в замкнутой огранич обл D достигает по крайней мере один раз наиболь значения М и наимень значения m. 2)Если фун f(x;y…) непрерывна в замкнутой и ограниченной обл D и если M и m – наиб и наим значения фун f(x;y…) в обл, то для любого числа m, удовл усл m<m<М, найдется в обл такая точка N*(x*;y*…), что будет выполн рав-во f(x*0;y*0…)=m. Следствие из св2: Если фун f(x;y…) непрерывна в замкнутой огран обл и принимает как положит, так и отрицательные значения, то внутри области найдутся точки, в которых функция f(x;y…) обращается в нуль.

Частное приращ-е, произв-ные, диф-лы фун-и.

Пусть имеем функцию z=f(х;у). Дадим независимой переменной х приращение ∆х, тогда z получит приращение, кот. наз. частным приращением  z по x. ∆xz=f(x+∆x,y)-f(x,y) Аналогично частное приращение по y ∆yz=f(x,y+∆y)-f(x,y).

Частные производные. Опр: Частной производной по x от функции z=f(x,y) наз. предел отношения частного приращения ∆xz к приращ-ю ∆x при ∆x®0.

∂z/∂x=lim(∆x®0)∆xz/∆x=lim(∆x®0)(f(x+∆x,y)-f(x,y))/∆x. Аналогично частная производная по y.

∂z/∂y=lim(∆y®0) ∆yz/∆y=lim(∆y®0)(f(x,y+∆y)-f(x,y))/∆y.

Част диф-л фун: dxz(x;y)=[(¶z/¶x)*Dx] и dуz(x;y)=[(¶z/¶у)*Dу].

Полное приращ-е, полный диф-л. Диф-ть фун.

Пусть имеем функцию z=f(х;у). Сообщив аргументу x приращение ∆x, а аргументу y приращение ∆y, получим для z новое приращение ∆z , кот наз. полным приращением. ∆z=f(x+∆x,y+∆y)-f(x,y).

Полный дифференциал: Если фун z=f(x;y) имеет непрерывные частные производные в данной точке, то она диф-ма в этой точке и имеет полный диф-л dz=(∂f/∂x)*∆x+(∂f/∂y)*∆y.

Дифференцируемость ф-и: Ф-я z=f(x,y) наз. дифференцируемой в т. (x0,y0), если её полное приращение ∆z можно представить в виде суммы 2 слагаемых ∆z=(A*∆x+B*∆y)+0(r), где r=Ö(∆x2+∆y2), т.е. lim(Dх®0,Dу®0,r®0)0(r)/r=0 бесконечная величина более высокого порядка малости, чем r. (A*∆x+B*∆y) линейное относительно ∆x ,∆y.

Полный диф-л в приближенных вычислениях: f(x+∆x0,y+∆y)»f(x,y)+[¶f(x,y)/¶x]*Dx+[¶f(x,y)/¶y]*Dy.

Необходимое усл диф-ти: Если z=f(x,y) диффер-ема в т.(x0,y0), то сущ. конечные частные производные (∂z/∂х;∂z/∂y) при x=x0, y=y0. A=∂z(х0;у0)/∂x; B=∂z(х0;у0)/∂y.

Достаточное усл диф-ти: Если функция z=f(x,y) в т.(x0,y0) и в нек. окресности непрерывна и имеет непрерывные частные производные (∂z/∂х;∂z/∂y), то ф-ия диф-ма.

Производные высших порядков.

∂z/∂x=φ(x,y); ∂z/∂y=φ(x,y); Вторая производная: ∂φ/∂x=∂2z/∂x2;z``xx здесь фун диф-я посл-но 2раза по х;

∂φ/∂y=∂z/∂x∂y;z``xy;∂φ/∂x=∂z/∂y∂x;z``yx; ∂φ/∂y=∂2z/∂y2;z``yy;

Третья производная: ∂3z/∂x3; ∂3z/∂x2∂y; ∂3z/∂x∂y¶х; ∂3z/∂y∂x2; ∂3z/∂y∂x∂y; ∂3z/∂y2∂x; ∂3z/∂y3.

Производная сложной ф-ии.

z=f(u,v)=F(x;y), u=j(х;у) и v=y(х;у). Если ф-ия f диф-ма по u и v, а  u и v диф-ы по x и y, то выполняется след равенство ¶z/¶x=(∂z/∂u)(¶u/¶x)+(∂z/∂v)(¶v/¶x); ¶z/¶y=(∂z/∂u)(¶u/¶y)+(∂z/∂v)(¶v/¶y).

z=f(x;u;v)=F(x)

Полная производная по х:

dz/dx=¶z/¶x+(∂z/∂u)(du/dx)+(∂z/∂v)(dv/dx);

Полная производная по у:

dz/dу=¶z/¶у+(∂z/∂u)(du/dу)+(∂z/∂v)(dv/dу);

Экстремумы фун 2 переменных.

Ф-ия z=f(x,y) имеет максимум (минимум) в точке M0(x0,y0), если f(x0,y0)> f(x,y) {f(x0,y0)<f(x,y)}   для всех точек (x,y) достаточно близких к точке (x0,y0) и отличных от неё.

Определение max и min при предположении, что х=х0+Dх и у=у0+Dу, тогда

f(x;y)-f(x0;y0)=f(х0+Dх;у0+Dу)-f(x0;y0)=Df. 1)Если Df<0 при всех достаточно малых приращениях независимых переменных, то фун f(x;y) достигает max в точке М0(х0;у0); 2)Если Df>0 при всех достаточно малых приращениях независимых переменных, то фун f(x;y) достигает min в точке М0(х0;у0);

Необходимое усл экстремум: Если функция z=f(x,y) достигает экстремума при x=x0, y=y0, то каждая частная производная первого порядка от z или обращается в нуль при этих значениях аргументов, или не сущ.

Док-во: Действительно, дадим переменному y определённое значение, а именно y=y0. Тогда ф-ия f(x,y0) будет функцией одного переменного x. Т.к. при x=x0 она имеет экстремум, то следовательно (∂z/∂x) при x=x0,y=y0  или равно нулю или не сущ. Аналогично доказ, что (∂z/∂у) при x=x0, y=y0  или равно нулю или не сущ.

Достаточное усл экстемум: Пусть в нек. Области, содержащей т.M(x0,y0), функция f(x,y) имеет непрерывные частные производные до третьего порядка включительно, пусть, кроме того т.M(x0,y0) является критической точкой функции f(x,y) т.е. ∂f(x0,y0)/∂x=0, ∂f(x0,y0)/∂y=0.

Тогда при x=x0, y=y0:

1)f(x,y) имеет максимум, если

∂2f(x0,y0)/¶x2*∂2f(x0,y0)/¶y2-(∂2f(x0,y0)/∂x∂y)2>0   и  ∂2f(x0,y0)/¶x2<0

2)f(x,y) имеет максимум, если

∂2f(x0,y0)/¶x2*∂2f(x0,y0)/¶y2-(∂2f(x0,y0)/∂x∂y)2>0   и  ∂2f(x0,y0)/¶x2>0

3)f(x,y) не имеет ни макс. ни мин.

∂2f(x0,y0)/¶x2*∂2 f(x0,y0)/¶y2-(∂2f(x0,y0)/∂x∂y)2<0   

4)Если ∂2f(x0,y0)/¶x2*∂2f(x0,y0)/¶y2-(∂2f(x0,y0)/∂x∂y)2=0, то экстремум может быть, а может и не быть.

Неявнозаданная функция и нахождение ее производной.

Задана фун F(x,y,z)=0 наз заданная неявно, если существует z=j (x,y) в некоторой области D что при подстановке получаем тождественно нуль. F(x,y,z)º0. Продифф. по x: F(x,y,z)º0, F¢x=0, ¶F/¶x+(¶F/¶z)*(¶z/¶x) ¶z/¶x=--[(¶F/¶x)/(¶F/¶z)];

Продифф. аналогично по у  ¶z/¶y=--[(¶F/¶y)/(¶F/¶z)]

Двойной интеграл.

Рассмотрим в плоскости ОХУ замкнутую область D ограниченную линией L. Пусть в области D задана непрерывная функция z=f(x,y). Разобьем D на n частей(DS1,DS2,DS3…DSn). На каждой площадке возьмем по точке Pi (P1,P2,P3…Pn). f(Pi) – значение функции в заданной точке. Возмем сумму произведений вида: f(Pi)DSi. Vn=nåi=1f(Pi)DSi – это интегральная сумма для функции f(x,y) по обл D.

РядыРядыОпр: Предел limmax di®0nåi=1f(Pi)DSi интегральной суммы nåi=1f(Pi)DSi, если он сущ-ет независимо от способа разбиения обл D на DDi и от выбора точек PiÎDi наз двойным интегралом зад фун z=f(x;y) по обл D.

Теорема: Если сущ-ет фун z=f(x;y) непрерывна в заданной обл `D, то сущ-ет предел limmax di®0nåi=1f(Pi)DSi

т.е. сущ-ет двойной интеграл для данной фун по данной области. limmax di®0nåi=1f(Pi)DSi=óóD f(x;y)dxdy=(или)= =óóD f(x;y)dS/¶

Св-ва:

1)óóD(f1(x,y)+f2(x,y))dxdy=óóDf1(x,y)dxdy+óóDf2(x,y)dxdy

2) ó óDa f(x,y)dxdy=aó óD f(x,y)dxdy.

3) Если область D=D1ÈD2, то

ó óDf(x,y)=ó óD1f(x,y))+ó óD2f(x,y).

Док-во: Инегральную сумму по обл D можно представить в виде D1 и D2.

ó óDf(Pi)DSi=ó óD1f(Pi)DSi +ó óD2f(Pi)DSi , где превая сумма содержит слагаемые, соот-е площади обл D1, вторая – соот-е площадкам обл D2. В самом деле, т.к. двойной интеграл не зависит от способа разбиения, то мы производим разбиение области D так, что общая граница областей D1 и D2 яв-ся границей площадок DSi. Переходя в равенство

ó óDf(Pi)DSi=ó óD1f(Pi)DSi +ó óD2f(Pi)DSi к пределу при DSi®0, получаем равенство

ó óDf(x,y)=ó óD1f(x,y))+ó óD2f(x,y).·

4) Если фун f(x,y)=1, то ó óD1dxdy=SD

5) Если фун в данной области f(x,y)³(£)0, то интегр от этой фун отриц (полож) не может быть      

ó óD f(x,y)dxdy³(£)0

6) Если f1(x,y)³f2(x,y), то

óóDf1(x,y)dxdy³óóDf2(x,y)dxdy

7)Теорема о среднем: Двукратный интеграл ID от f(x,y) по области D с площадью S равен произведению площади S на значение функции в некоторой точке P области D.

вó а ( j2(x)ó  j1(x)f(x,y)dy)dx=f(P)*S.

Док-во: Из соот-я

mS£вóа(j2(x)ój1(x)f(x,y)dy)dx=f(P)*S£MS получаем mS£1/S*ID£MS. Число 1/S*ID заключено между наиболь и наимень знач f(x,y) в области D. В силу непрерывности фун f(x,y) принимает в некоторой точке P обл D принимает значение равное 1/S*ID .

Двукратный интеграл

Пусть дана область D такая, что любая прямая параллельная одной из осей пересекает эту область в двух точках. Пусть область D ограничена линиями y=f1(x), y=f2(x), y=a, y=b (a<b, f1(x)<f2(x)).  Пусть  f(x,y) непрерывна в области D.

Рассмотрим ID=вóаf2(x)óf1(x)f(x,y)dydx=вóаФ(х)dx

-это двукратный интеграл.

Вычисление двойного интеграла есть вычисление двукратного интеграла.

Вычисление двойного интеграла в полярных координатах:

óóDf(x,y)dxdy=½x=pcosj, y=psinj , I=p½=

=óóDf(pcosj;psinj)pdpdj=

=j2ój1 dj p2(j)óp1(j)(pcosj ;psinj)pdp.

Геометрическое приложение двойного интеграла.

Площадь плоской поверхности.

óóD f(x,y)dxdy=SD

2) Объем цилиндроидов. z=f(x,y)>0. По определению область D разбивается на элементарные кусочки DDi; выбрать в этих кусочках точку принадлежащую DDi и найти значение функции в этой точке. DVi=f(xi,yi)*DSi. Сумма

DVi=nåi=1f(xi,yi)*DSi – это объем фигуры состоящей из элементарных параллелепипедов. Основания параллелепипедов заполняют область D.     

limmax di®0nåi=1f(xi,yi)*DSi=VТ если этот предел сущ-ет, то это V тела (цилиндройда).óó f(x,y)dxdy=Vцил

Площадь поверхности.

Sпов.= óó[Ö1+(dz/dx)2+(dz/dy)2dxdy].

Диф-е ур-я (осн понятия).

Общий вид диф ур F(x;y;y’;у”…уn)=0. Наивысший порядок производ-й в ур-и F(x;y;y’;у”…уn)=0 наз порядковым ур-ем.

Решением ур F(x;y;y’;у”…уn)=0 наз любая фун вида у=j(х), которая будучи подставленная в F(x;y;y’;у”…уn)=0 вместе со своими произ-ми обращает в тождество. F(x;j(х);j(х)’;j(х)”… j(х)n)=0.

Фун вида у=j(х;С1;С2;…Сn) наз общим решением ур F(x;y;y’;у”…уn)=0, если выполняется: 1) эта фун-я яв-ся решением при любых С1;С2;…Сn; 2) для любых начальных усл х0, у0, у’0, уn0 можно найти конкретную совокупность С1 0;С2 0;С3 0;…Сn 0 при которых фун у=j(х;С1 0;С2 0;С3 0;…Сn 0), что эта фун будет удвл начальному условиям.

Соот-е вида j(х;С1;С2;С3;…Сn)=0 полученная при решении ур F(x;y;y’;у”…уn)=0 наз общим интегралом ур F(x;y;y’;у”…уn)=0 (т.е. решение ур находиться в неявной форме).

Дифф. ур. 1-го порядка

Общий вид F(x;y;y’)=0 Решением данного ур. наз. любая фун.=j(x), кот. обращает ур. в тождество.

Опр-е: Фун. y=j(x;C) наз-ся общим решением, если она удов.:1)данная фун. яв-ся реш-м при любых C; 2)при любых x0;y0 можно найти такое C0, что фун. y= j(x,C0) удов. начальным усл-ям.

Рав-во вида Ф(x;y;C)=0, неявно задающее общее реш-е, наз-ся общим интегралом дифф. ур-я.

Опр: Частным реш-м наз-ся любая фун. y=j(x;C0), кот. получается из общего реш. y=j(x;C), если в последнем произ. постоянному С придать опред. значение С=С0. Соотн. Ф(x;y;C0)=0 наз-ся в этом случае частным интегралом ур.

Методы интегрирования диф-я уравнений 1 порядка:

1). Ур-е с разделенными переменными       f1(x)y’=f2(y)  f1(x)dy=f2(y)dx, dy/f2(y)=dx/f1(x), ∫dy/f2(y)=∫dx/f1(x) 2).Ур-е с разделяющимися переменными f(x;y)y’+j(x;y)=0, f1(x)f2(y)dy+j1(x)j2(y)dx=0 все разделим на  j2(y)*f1(x)

{f2(y)/j2(y)}dy+{j1(x)/f1(x)}dx=0

∫{f2(y)/j2(y)}dy+∫{j1(x)/f1(x)}dx=C – общий интеграл 3).Линейные диффер. ур. y’+p(x;y)=Q(x) – общий вид, Если Q(x)º0, то линейное уравнение y’+p(x;y)=0.

Методы решений: 1) Метод вариации постоянной;

2)Решение этого ур будем искать как y=U(x)V(x) (диффер-ем) dy/dx=UdV/dx+VdU/dx  (подставим) UdV/dx+VdU/dx+PUV=Q

U(dV/dx+PV)+VdU/dx=Q, dV/dx+PV=0, dV/V=-Pdx lnC1+lnV=-∫Pdx

V= C1e–∫Pdx и подставляем в UdV/dx+VdU/dx+PUV=Q

V(x)= e–∫Pdx, где ∫Pdx - какая-нибудь первообразная

V(x)dU/dx=Q(x), dU/dx=Q(x)/V(x), U=∫Q(x)/V(x)dx+C, y=V(x) ∫ Q(x)/V(x)dx+CV(x)

Уравнения приводящиеся к линейным(Бернулли)

y’+P(x)y=Q(x)yn, P(x) и Q(x) – непрерывные фун. от x (или пост.)  n¹0,1. Это ур-е наз ур Бернулли, приводится к линейному следующим преобразованием.

Разделим на yn с наибольшим значением n, получим

(y–n)y’+P(y–n+1)=Q, Сделаем далее замену z=(y–n+1), тогда dz/dx=(-n+1)(y-n)y’. Подставляя эти значения в ур-е

(y–n)y’+P(y–n+1)=Q, будем иметь линейное ур-е

 dz/dx=(1-n)Pz=(1-n)Q

Найдя его общий интеграл и подставив вместо z выражение (y–n+1), получим общий инт. ур.Бернулли

Однородные ур-я

Ур-е вида y’=f(x;y) наз-ся однор.ур-ем, если фун. f(x;y)

–однородная нулевого измерения или порядок однородности равен 0, т.е. f(tx;ty)=(t0)f(x;y).

Фун. f(x;y) наз-ся однор.ур-ем k-го порядка однородности, если вып. усл. f(tx;ty)=(tk)f(x;y); f(tx;ty)=(t0)f(x;y), где k=0; f(tx;ty)=f(x;y), где t=1/x; f[(1/x)*x;(1/y)*x)]=f(1;y/x), обозначим  y/x=U(x) след-но y=U(x)x, y’=U’x+U подставим в исходное ур-е U’x+U=f(1;U), U’x+U=j(U) (dU/dx)*x=j(U)-U, dx/x=dU/(j(U)-U), ln|x|=[∫dU/(j(U)-U)] + C Þ вместо U подст. y/x и получим общий инт.

Замеч. Однор.ур. может выгл. так M(x;y)dx+N(x;y)dy=0 если обе фун. M(x;y) и N(x;y) однородные k-го порядка.

Дифф. ур. 2-го порядка

Общий вид дифф. ур.2-го порядка F(x;y;y’;y’’)=0. Решением урав. наз. любая фун.y=j(x), кот. обращает это ур. в тождество F(x;j(x);j’(x);j’’(x))=0

РядыОбщим решением наз. ур. вида y=(x;C1;C2), кот. яв-ся 1)реш. при любых знач. C1,C2,Cn; 2)для любых x0,y0,y0’,y0’’ можно найти С10,С20, при кот. заданная фун. y=j(x1; С10;С20) будет удов. заданному нач. ур-ю, т.е.      

j(x0;С10;С20)=y0 ,

j’(x0; С10;С20)=y0’

Линейные дифф. ур-я 2-го порядка

Общий вид линейн. диф. ур. 2-го порядка y’’+P(x)y’+q(x)y=f(x). (1)

Если f(x)=0 следовательно y’’+P(x)y’+q(x)y=0 (2)

– линейное однородное урав.

Структура реш. лин. одн.ур.2-го пор. 

1)Если 2 реш. ур (2) y1(x) и y2 (x) – линейно-независ, т.е. нельзя одну вырозить через др, т.е.

y1(x)/y2(x)¹const, то общим решением ур (2)  y=C1y1+C2y2

2) Если известно одно реш. y1, то др. найдем по форм. y2= y1∫[(e–∫P(x)dx)]/(y12)dx. Общее реш. y=C1y1+C2y2

3) y1 находим подбором.

Структура общего реш. неоднородного ур.

1)Общее реш.y(x)=y(-)+y*, где y(-)=C1y1+C2y2 общее реш.(2), y*- нек. частное реш. самого ур.

2)Метод вариации произ. постоянной

y*= C1(x)y1+C2(x)y2

3)Для нахождения C1(x) и C2(x) созд.

сист. ур-ий.                                                     0   y2

РядыC1’(x)y1+ C2’(x) y2=0                Þ C1’(x)= f(x) y2’

C1’(x)y1’+ C2’(x) y2’=f(x)                            y1   y2

           y1’ y2’

Þ C1(x)=∫(--)/(--)dx

              y1    0

C2’(x)= y1’   f(x) Þ C2(x)=∫(--)/(--)dx

              y1   y2

              y1’ y2’

Лин. дифф. ур-ия со спец. правой частью.

Рассмотрим случай: y’’+py’+qy=f(x), p,q – числа. y=c1y1+c2y2+y*, где y1, y2 – два лин-но незав. реш.

(1) y’’+ py’+qy=0 – лин. однород дифф. ур-ие 2ого порядка.

y=ekx   k2+pk+q=0 – характерист. ур-ие ур-ия (1).

Рассмотрим 3 случия:

1. D>0, k1,2=(-p±Ö(p2-4q))/2, k1¹k2 y1=ek1x, y2=ek2x.

Т.к. y1/y2¹const, то y=c1 ek1x+c2 ek2x.

2. D=0 k1,2=-p/2

y1=e-px/2, y2=y1∫(e--∫pdx)/y12dx=e-px/2, y=e-px/2(c1+c2x).

3.Когда корни комплексные, т.е. D<0, k1,2=a±bi, y1=eaxCosbx, y2=eaxSinbx, y1/y2¹const, y=eax(c1Cosbx+c2Sinbx)

Неоднородные ур-ия со спец. правой частью.

1. f(x)=Pn(x)eax     1) a - не явл-ся корнем хар. ур-ия

y*=(A0xn+A1xn-1 ++...+An)=Qn(x)eax.

a - однократный корень y*=xQn(x)eax.

3) a - двукрат. корень y*=x2Qn(x)eax.

2. f(x)=p(x)eaxCosbx+q(x)eaxSinbx

1) a+bi – не корень y*=U(x)eaxCosbx+V(x)eaxSinbx.

2) a+bi – корень y*=x[U(x)eaxCosbx+V(x)eaxSinbx]. 

3. f(x)=MCosbx+NSinbx 

1)bi – не корень, y*=ACosbx+BSinbx. 

2)bi – корень, y*=x(ACosbx+BSinbx).

РЯДЫ

Числовые ряды. Основные определения.

Пусть дана бесконечная послед-ть чисел U1, U2...Un,... Выражение U1+U2+...+Un+... наз-ся числовым рядом,

U1, U2...Un – члены ряда.

Сумма конечного числа n первых членов ряда наз-ся

n-ой частичной суммой ряда: Sn= U1+U2+...+Un.

Если сущ-ет конечный предел limn®¥Sn=S, то этот предел наз суммой ряда.

Если предел limn®¥Sn равен ¥ или не сущ-ет, то говорят , что ряд расходится.

Если сущ-ет предел limn®¥Sn, то ряд сходится.

Некоторые очевидные свойства числовых рядов:

1)Теорема 1. На сходимость ряда не влияет отбрасывание конечного числа его членов.

Док-во: Sn – сумма n первых членов ряда, Ck – сумма k отброшенных членов, Dn-k – сумма членов ряда, входящих в сумму Sn и не входящих в Ck. Тогда имеем: Sn=Ck+Dn-k, где Ck – постоянное число, не зависящее от n. Из последнего соотношения следует, что если сущ-ет limDn-k, то сущ-ет и limSn; если сущ-ет lim Sn, то сущ-ет limDn-k, а это доказ-ет справедливость теоремы.

2)Теорема 2. Если ряд a1+a2+...(1) сходится, и его сумма равна S, то ряд ca1+ca2+...(2), где c=const, также сходится и его сумма равна сS.

Док-во: обозначим n-ю частичн сумму ряда (1) через Sn, а ряда (2) – через Dn. Тогда Dn=ca1+...+can=c(a1+...+an)=cSn. Отсюда ясно, что передел n-ой частичной суммы ряда (2) сущ-ет, т.к.

lim Dn=lim(cSn)=climSn=cS. ч.т.д.

3)Теорема 3. Если ряды a1+a2+...(5) и b1+b2+...(6) сходятся, и их суммы, соответственно, равны S1и S2, то ряды (a1+b1)+(a2+b2)+...(7) и (a1–b1)+(a2–b2)+...(8) также сходятся, и их суммы, соответственно, равны S1+S2 и

S1–S2.

Док-во: док-ем сходимость ряда (7). Обозначая его n-ую частичную сумму через Dn, а n-е частичные суммы рядов (5) и (6) соответственно через S1n и S2n, получим: Dn=(a1+b1)+...+(an+bn)=(a1+...+an)+(b1+...+bn)=S1n+S2n. Переходя к в этом равенстве к пределу при n®¥:, получим limDn=lim(S1n+S2n)= limS1n+limS2n=S1n+S2n.

Т.о., ряд (7) сходится и его сумма равна S1n+S2n.

4)Необходимый признак сходимости ряда. Если ряд сходится, то limUn=0 n®¥.

Док-во: пусть ряд U1+U2+...+Un+... сходится, т.е. limSn=S n®¥, тогда имеет место равенство limSn-1=S.

limSn–limSn-1=0, lim(Sn–Sn-1)=0. Но Sn–Sn-1=Un следов-но lim Un=0 ч.т.д.

Достат. призаки сходимости знакоположит. рядов.

1)Признак сравнения. Пусть дан ряд U1+U2+...+Un+...(1), S1n; V1+V2+...+Vn+...(2) S2n; Известно,что Vn³Un при n³N0.

если ряд (2) сходится, то ряд (1) также сходится;

если ряд (1) расходится, то ряд (2) расходится.

 Док-во: Из сходимости ряда (2) следует, что $ lim S2n=S. S1n=U1+U2+...+UN0+UN0+1+...+Un=SN0+VN0+1+...+Vn. limS1n=lim(SN0+Dn-N0)=SN0+D. S1n – возраст. послед-ть, ограниченная числом SN0+D => $ lim S1n=Sn1.

2) Предельный признак сравнения. Если сущ-ет limUn/Vn=L, но L¹0,¥ при n®¥, то ряды ведут себя одинаково.

3) Признак Даламбера. Если $ lim(Un+1/Un)=L(2) при n®¥, то: 1) ряд сходится, если L<1; 2) расходится, если L>1. Док-во: 1) пусть L<1. Рассмотрим число q, удовл. соотнош L<q<1. Из определения предела и соотношения (2) следует, что для всех n, n³ N, будет иметь место нер-во (Un+1/Un)<q (2’). Действительно, т.к. величина Un+1/Un стремится к пределу L, то разность м/у этой величиной и числом L м.б.сделана (начиная с некоторого номера N) по абсолютному значению меньше любого положит числа, в частности, меньше, чем q–L, т.е.

Ряды| Un+1/Un – L|<q–L. из последнего нер-ва и следует нер-во (2’). Записывая нер-во (2’) для различных значений n, начиная с номера N, получим                             UN+1<qUN,

UN+2<qUN+1< q2UN

                            

Рассмотрим теперь два ряда:

U1+U2+...+UN+Un+1+... (1)

UN+qUN+q2UN+...       (1’). Ряд (1’) есть геом прогрессия с положит знаменат q<1. Следоват-но, этот ряд сходится. Члены ряда (1), начиная с UN+1, меньше членов ряда (1’), следоват-но, ряд (1) сходится. Ч.т.д. 2) Пусть L>1. тогда из равенства lim(Un+1/Un)=L следует, что, начиная с некот. N, т.е. для n³N, будет иметь место нер-во (Un+1/Un)>1, или Un+1>Un для всех n³N. Но это озн-ет, что члены ряда возрастают, начиная с номера N+1, и поэтому общий член ряда не стремится к нулю. Значит, ряд расходится.

4)Признак Коши. Если для ряда с положит членами limnÖUn=L, то: 1) ряд сходится, если L<1; 2)расходится, если L>1.

Док-во: 1) пусть L<1. Рассмотр число q, L<q<1. Начиная с некот n=N, будет иметь место соотношение

| nÖUn–L|<q–L; осюда следует, что nÖUn<q или Un<qn для всех n³N. Рассмотрим теперь два ряда: U1+U2+...+UN+UN+1+... (1) и qN+qN+1+qN+2+... (1’). Ряд (1’) сходится, т.к. его члены обр-ют убыв. геом прогр. Члены ряда (1), начиная с UN, меньше членов ряда (1’). Значит, ряд (1) сходится. 2) Пусть L>1. Тогда, начиная с некот номера n=N, будем иметь: nÖUn>1 или Un>1. но если все члены рассматр ряда, начиная с UN, больше 1, то ряд расходится, т.к. его общий член не стремится к нулю.

5)Интегральный признак сходимости. Имеем ряд ¥ån=1Un, где члены ряда убывают Un>Un+1>0. Есть фун f(x)>0, хÎ[1;¥] непрерывная и убывающая и такая, что при целых значениях х=n значение фун-и f(n)=Un.

Если не собственный интеграл ¥ò1f(x)dx – сходиться, то ряд сходится. Если не собственный интеграл ¥ò1f(x)dx – расходиться, то ряд расходится.

Знакочередующиеся ряды.

Под знакочередующимся рядом понимается ряд, в котором члены попеременно то положительны, то отрицательны.

Т.Лейбница: Если члены знакочередующегося  ряда убывают по абсолютной величине U1>U2>U3… и предел его общего члена при n®¥ равен 0

(Lim n®¥ Un=0), то ряд сходится, а его сумма не превосходит первого члена: U1³S.

  Д: Рассмотрим последовательность частичных сумм четного числа членов при n=2m:

S2m=(U1-U2)+(U3-U4)+…+(U2m-1-U2m). Эта последовательность возрастающая и ограниченная. На основании признака существования придела последовательность S2m имеет предел   Limm®¥S2m=S. Переходя к пределу в неравенстве S2m<U1 при  m®¥, получим, что U1³S.  Рассмотрим последовательность частичных сумм нечетного числа членов при n= 2m+1. Очевидно, что S2m+1=S2m+A2m+1; Поэтому учитывая необходимый признак сходимости ряда, Lim m®¥ S2m+1=

=Limm®¥ S2m+ Lim m®¥ А2m+1=S+0=S. Итак, при любом n (четном и нечетном) Lim n®¥ Sn=S, т.е. ряд сходится.

Знакопеременные ряды.

Пусть U1+U2+U3….+Un+ знакопеременный ряд (*), в котором любой его член Un может быть как положительным, так и отрицательным.

Т.(Достаточный признак сходимости знакопеременного ряда): Если ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда (*) и если ряд ¥ån=1½Un½; |U1|+|U2|+…+|Un|+…(1), сходится и наз абс. сходящимся. Обратное утверж не справедливо.

Д: Обозначим Sn+ и Sn-  суммы абсолютных величин членов данного ряда (*), входящих со знаком плюс и минус.  Тогда частичная сумма данного ряда Sn1=Sn+-Sn- , а ряда составленного из абсолютных величин его членов Sn2= Sn++Sn- .  По условию ряд (1) сходится, значит сущ-т конечный предел   Limn®¥Sn2=S.       Последовательности Sn+ и Sn-  являются возрастающими и ограниченными (Sn+ ≤ S  Sn- ≤ S ), значит существуют пределы

Limn®¥Sn+ и Limn®¥Sn-, и соответственно предел частичной суммы данного ряда

Limn®¥Sn1=Lim n®¥Sn+ -Lim n®¥ Sn- , т.е. ряд (*) сходится.·

Если ряд |U1|+|U2|+…+|Un|+…сходиться, то ряд U1+U2+U3….+Un+ наз абс. сходящимся.

 Если ряд U1+U2+U3….+Un+  сходиться, а ряд |U1|+|U2|+…+|Un|+…расходиться, то ряд U1+U2+U3….+Un+   наз усл. сходящимся.

Св-ва абс сход рядов: Если ряд U1+U2+U3….+Un+ абс сходиться, то на сходимость не влияет перестановка членов ряда и группировка.

Степенные ряды.

C0+C1X+C2X2+…+CnXn..-степенной ряд  (*)

Св-ва:  1)Т. Абеля: 1)Если степенной ряд сходится при значении X=X0≠0, то он сходится и, притом абсолютно, при всех значениях Х таких что |Х|<|X0|, 2)Если степенной ряд расходится при Х=Х1, то он расходится при всех значениях Х таких что |Х|>|Х1|.

Д: 1)По условию ряд (*) сходится при Х=Х0≠0, следовательно, выполняется необходимый признак сходимости  Limn®¥Un=Limn®¥CnX0n=0. Значит последовательность |CnX0n| Оганичена, т.е. сущ. Такое число М>0, что для всех n выполняется неравенство            |CnX0n|<M.  Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величинчленов ряда(*)

|С0|+ |C1X0||Х/X0|+…+ |CnX0n||X/X0|n+…(1). Члены ряда (1) меньше соответствующих членов ряда М+М|Х/X0|+…+М|X/X0|n+… представляющего геометрический ряд, к-й сходится, когда его знаменатель q=|X/X0|<1, т.е. при|X|<|X0|, на основании признака сравнения ряд (*) сходится.  2)Предположим противное, т.е. при|X|>|X1| ряд (*) сходится. Тогда по доказанному выше он должен сходится и в точке Х1 (т.к. |X|>|X1|), что противоречит условию.·

Из теоремы Абеля следует, что сущ. Такое число R≥0, что при │Х│<R ряд сходится, а при │Х│>R – расходится. Число R получило название радиуса сходимости, а интервал (-R;R)-интервала сходимости степенного ряда.

2) и 3) на любом отрезке [a,b], целиком принадлежащем интервалу сходимости(-R;R), ф-я F(x) является непрерывной, а следовательно степенной ряд можно почленно интегрировать и дифференцировать на этом отрезке.    

4) Степенные ряды вида а0+а1х+а2х2+…+аnх2+…+аn+1хn+1+… и

а0+а1(х-х0)+а2(х-х0)2+…+аn(х-х0)2+… сходяться равномерно.

5) Степенные ряды сход к фун S(x), которая непрерывна в обл сходимости.

Функциональные ряды

Ряд U1+U2+..+Un+.. называется функциональным, если его члены являются функциями от Х.  Рассмотрим функциональный ряд  U1(Х)+U2(Х)+..+Un(Х)+...(1)  Совокупность тех значений Х, при которых  функциональный ряд сходится, называют областью сходимости этого ряда.

Обозначим через Sn(Х) сумму первых n членов ряда (1). Если этот ряд сходится и сумма его равна S(x), то S(x)=Sn(x)+rn(x), где rn(x) есть сумма ряда Un+1(x)+Un+2(x) +…, т.е.    rn(x)= Un+1(x)+Un+2(x) +…    В этом случае величина rn(x)  называется остатком ряда (1). Для всех значений Х в области сходимости ряда имеет место соотношение                Limn→∞ rn(x)= Limn→∞[S(x)-Sn(x)]=0, т.е. остаток  rn(x) сходящегося ряда стремится к нулю при n→∞.

Функциональный ряд  U1(Х)+U2(Х)+..+Un(Х)+..      (1)  называется мажорируемым в нек-й области изменения Х, если существует такой сходящийся числовой ряд а1+а2+а3+…+аn..(2) с положительными членами, что для всех значений Х из данной области выполняются соотношения │U1(x)│≤a1,…,│Un(x)│≤an ,…  Иначе, ряд называется мажорируемым, если каждый его член по абсолютной величине не больше соответствующего члена нек-го сход. ряда с полож. членами.

Ряд Тейлор.

Для ф-и F(x) имеющей все производные до (n-1) порядка включительно, в окрестности точки х=а справедлива формула Тейлора:                                                                       f(x)=f(a)+f¢(a)(x-a)+f¢¢(a)[(x-a)2/2!]+…

…+fn(a)[(x-a)n/n!]+Rn(x), (1) где остаточный член Rn(х)={[(x-a)n+1]/[(n+1)!]}f(n+1)[a+q(x-a)], где 0<q<1. Для того, чтобы ряд сходился к ф-и, необходимо и достаточно, чтобы при n®¥ остаток ряда стремился к 0, т.е. Rn(x)®o. Переходя в формуле (1) к пределу при n®¥, получим справа бесконечный ряд, котороый наз рядом Тейлора:

f(x)=f(a)+f¢(a)(x-a)+…+fn(a)[(x-a)n/n!]+…

Если в ряде Тейлора предположим а=0, то получим ряд Маклорена: f(x)=f(0)+f¢(0)x+f¢¢(0)[x2/2!]+…

…+fn(0)[xn/n!]+….

Разложение нек-х ф-й в ряд Маклорена:

ex=1+x+x2/2!+…+xn/n!+… (-¥;¥)

sinX=x-x3/3!+x5/5!+…+(-1)n-1[X2n-1]/(2n-1)!+…  (-¥;¥)

cosX=1-x2/2!+x4/4!-…+[(-1)nX2n]/(2n)!+…  (-¥;¥)

(1+x)m=1+mx+[m(m-1)x2]/2!+[m(m-1)*

*(m-2)x3]/3!+[m(m-1)(m-n+1)xn]/n!+…   (-1;1)

ln(1+x)=x-x2/2+x3/3-..+[(-1)nxn+1]/(n+1)+..       (-1;1]

1/(1-x)=1+x+x2+…+xn+..

1/(1+X2)=1-x2+x4-x6+…

arctgX=x-x3/3+x5/5-x7/7+…+[(-1)n+1x2n-1]/2n-1+…



на тему рефераты
НОВОСТИ на тему рефераты
на тему рефераты
ВХОД на тему рефераты
Логин:
Пароль:
регистрация
забыли пароль?

на тему рефераты    
на тему рефераты
ТЕГИ на тему рефераты

Рефераты бесплатно, реферат бесплатно, курсовые работы, реферат, доклады, рефераты, рефераты скачать, рефераты на тему, сочинения, курсовые, дипломы, научные работы и многое другое.


Copyright © 2012 г.
При использовании материалов - ссылка на сайт обязательна.