Реферат: Шпора 2 по мат анализу

1.Метрические, линейные, нормированные пространства.

2.Понятие функции m переменных. Предел функции m переменных.

Понятие:

Пусть даны множества DRn и IR.

Определение 1. Если каждой точке  множества D ставится в соответствие единственное число у из I, то говорят, что задана функция n переменных у=f(x1, …, xn). Множество D называется областью определения функции D(у)=D, множество I называется множеством значений функции I (у)= I.

Если зафиксировать любые n-1 переменные, то функция многих переменных превращается в функцию одной переменной. x2=с2, x3=с3, …, хn=cn; y=f(x1, c2, …, cn) - функция одной переменной х1.

Пример.  - функция двух переменных,

- функция трех переменных.

Пусть имеется n+1 переменная x1, x2, ..., xn, y, которые связаны между собой так, что каждому набору числовых значений переменных x1, x2, ..., xn соответствует единственное значение переменной y. Тогда говорят, что задана функция f от n переменных. Число y, поставленное в соответствие набору x1, x2, ..., xn называется значением функции f в точке (x1, x2, ..., xn), что записывается в виде формулы y = f(x1,x2,..., xn) или y =y(x1,x2,..., xn).

Переменные x1, x2, ..., xn являются аргументами этой функции, а переменная y ‑ функцией от n  переменных.

3.Непрерывность функции m переменных. Непрерывность функции m переменных по одной из переменных.

4.Непрерывность сложной функции.

Пусть функция j(t) непрерывна в точке t0 и функция f(x) непрерывна в точке х0=j(t0). Тогда функция f(j(t)) непрерывна в точке t0.

Доказательство.

Для доказательства этой теоремы воспользуемся формальным преобразованием двух строчек кванторов. Имеем

Выписывая подчеркнутые кванторы, получим, что

,

что и говорит о том, что f(j(t)) непрерывна в точке t0. <

Обратите внимание на следующие детали:

а) т.к. x=j(t), то |j(t)-j(t0)|<d  может быть записано как |x-x0|<d , и f(x) превращается в F(j(t));

б) при определении непрерывности j(t) в точке t0 в первом кванторе стоит буква d . Это необходимо для согласования с квантором в предыдущей строке и взаимного уничтожения . Любая другая буква на этом месте не дала бы верного результата.

5.Частные производные функции m переменных.

6.Дифференцируемость функции m переменных.

7.Дифференциал функции m переменных.

8.Дифференцирование сложной функции.

9.Производная по направлению. Градиент.

Производная по направлению. Если в n-мерном пространстве задан единичный вектор , то изменение дифференцируемой функции в направлении этого вектора характеризуется производной по направлению: . В частности, для функции трех переменных  ,  - направляющие косинусы вектора  .

Градиент. Производная по направлению представляет собой скалярное произведение вектора  и вектора с координатами  , который называется градиентом функции   и обозначается   . Поскольку  , где  - угол между  и  , то вектор указывает направление скорейшего возрастания функции  , а его модуль равен производной по этому направлению.

10.Квадратичные формы. Критерии Сильвестра знакоопределенности квадратичной формы.

Скалярная функция векторного аргумента, которая представляет собой однородный многочлен второго порядка, называется квадратичной формой.

R.

(критерий Сильвестра). Квадратичная форма является положительно определенной тогда и только тогда, когда все левые верхние угловые миноры матрицы А являются положительными, т.е.

,

,

,

11.Локальный экстремум функции m переменных. Необходимое условие локального экстремума.

12.Достаточные условия локального экстремума.

1. предположим, что в некоторой окрестности точки х0 существует f'(х) ( в самой точке х0 производной может не существовать). Допустим, что с приближением к точке х0 слева функция f(х) возрастает (т.е. f'(х)>0), а после точки х0 убывает (т.е. f'(х)<0). Очевидно, что в точке х0 имеется максимум. Вывод: Если в достаточно малой окрестности точки х0  f'(х)>0 при х< х0 и  f'(х)<0 при х > х0 , то в точке х0 имеется максимум.

Если в достаточно малой окрестности точки х0  f'(х)<0 при х< х0 и  f'(х)>0 при х > х0 , то в точке х0 имеется минимум.

2. Перейдем к формулировке достаточного условия экстремума с помощью второй производной. Предполагается, что в некоторой окрестности точки  х0 , в том числе и в самой точке  х0 , существует первая производная f'(х). Кроме того, в точке х0 существует вторая производная f''(х0). Исходя из выполнения необходимых условий экстремума, полагаем, что f''(х0)=0. Посмотрим теперь на f''(х)как на первую производную от функции

Допустим, что f''(х0)>0. Это означает, что f'(х) возрастает при переходе значений х < х0 к значениям х > х0 . Но f'(х0)=0, поэтому возрастание f'(х0)<0, при х < х0 и f'(х0)>0, при х > х0 . (для значений х из достаточно малой окрестности х0 ). В соответствии с п.1 получается минимум в точке х0 . Аналогичное рассуждение при f''(х0)<0 приводит к существованию максимума в точке х0 . Вывод: если f'(х0)=0, а f''(х0)<0, то функция y=f(x) имеет локальный максимум в точке х0 . Если f'(х0)=0, а f''(х0)>0, то функция y=f(x) имеет локальный минимум в точке х0.

13.Неявные функции. Производные неявных функций.

Неявная функция одной переменной. Пусть в некоторой области  плоскости задана функция , и пусть линия уровня этой функции , определяемая уравнением  , является графиком некоторой функции  , определяемой уравнением  . В этом случае говорят, что функция   задана неявно уравнением  . Для существования неявной функции требуется выполнение следующих условий: функция  и ее частная производная по  непрерывны в   , . Тогда в некоторой окрестности точки  существует единственная непрерывная функция   , задаваемая уравнением  , так, что в этой окрестности  .

Неявная функция многих переменных. Аналогично рассматривают функции многих переменных, заданные неявно. Например, при выполнении соответствующих условий, уравнение   задает неявно функцию  . Это же уравнение может задавать неявно функцию или    .

 Производная неявной функции. При вычислении производной неявной функции воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции. Продифференцируем уравнение : . Отсюда получим формулу для производной функции   , заданной неявно:  . Таким же способом нетрудно получить формулы для частных производных функции нескольких переменных, заданной неявно, например, уравнением  : , .

14.Условный экстремум функции m переменных.

Пусть функция  определена в некоторой области  и в этой области задана кривая уравнением . Условным экстремумом функции двух переменных называют ее экстремум при условии, что точки берутся на заданной кривой. Если из уравнения кривой можно, например, выразить , то задача о нахождении условного экстремума сводится к исследованию на экстремум функции одной переменной .

15.Метод множителей Лагранжа.

Если уравнение не разрешимо ни относительно  , ни относительно , то рассматривают функцию Лагранжа. Необходимым условием существования условного экстремума функции при условии является равенство нулю всех частных производных функции Лагранжа:  .

16.Первообразная. Лемма. Теорема о первообразной.

17.Понятие неопределенного интеграла. Основные свойства.

Если F(x) –первообразная и f(x) сущю на промежутке X, то множество ф-ий f(x)+c, где С-const называется непоределенным интегралом от ф-ии f(x) на этом промежутке и обозначается òf(x)dx=F(x)+c

Свойства:

1) ( òf(x) dx )¢=f(x);

2) òf¢ (x) dx= f(x)+C ;

3) d òf(x) dx= f(x)dx;

4) òd f(x)=f(x)+C ;

5) òkf(x)dx=kòf(x) dx;

6) ò(f(x)+g(x))dx=ò f(x) dx+òg(x) dx ;

7)Если òf(x) dx = F(x) + C, то òf(ax+b) dx =(a ¹ 0).

Все эти свойства непосредственно следуют из определения.

18.Метод замены переменных.

В некоторых случаях нахождение интеграла упрощается при переходе к другой переменной интегрирования. При этом если исходная и новая переменные  и  связаны соотношением , где  - обратимая дифференцируемая функция, то для интегралов справедливо равенство

,

в правой части которого после вычисления интеграла следует сделать обратную замену .

В частности, используя замену  (или ), получаем формулу

,

позволяющую обобщить табличные интегралы. Например:

 (),

,

,

где  и  - произвольные постоянные, .

19. Интегрирование по частям.

Интегрирую выражение любого дифференциала произведения, получим:

Пример:

Рекомендации:

В интегралах с подынтегральным выражением вида:

    (Pn –многочлен степени n )

Pn принимается за u

В интегралах с подынтегральным выражением вида:

 за u ®

Интегрирование с подстановкой выражений вида  после  двукратного интегрирования по частям приводится к линейному уравнению относительно вычисляемого интеграла.

20.Основные типы интегралов, берущихся по частям.+++21.Интегрирование рациональный алгебраических функций.

(см. дополн шпору)

22.Метод неопределенных коэффициентов.

1. Разложим знаменатель на множители:

2. Правильная дробь разлагается в сумму простейших и каждому множителю вида соотв. сумма из n простейших дробей вида:

 с неопределенным коэф. A1 …n 

Каждому множителю вида соот. сумма из m простейших дробей вида:

с неопределенным коэф.B1 C1…

3. Неизвестный коэф. находится методом неопределенных коэф., основанном на: определении, что 2 многочлена тождественно совпадают, если у них равные коэффициенты при одинаковых степенях.

4. Приравнивая коэф. при одинаковых степенях в левой и правой частях, получим систему линейных уравнений относительно неизвестного уравнения.

23.Понятие интегральной суммы. Геометрический смысл.

Определение. Пусть непрерывная функция от одной переменной задана на отрезке [a, b].

1) Тогда разбиением отрезка [a, b] называется конечное множество точек х0 , х1 ... хn , где

а = х0 < х1< х2 < .... < хn-1 < хn = b

2) обозначим через D хi = хi – хi-1, i=1, 2, …, n

Диаметром разбиения называется

 D =  - длина максимального из отрезков разбиения.

На каждом отрезке , i = 1, 2, …, n, произвольно выберем   и составим сумму

 (13)

которая называется интегральной суммой Римана функции f(х), соответствующей

данному разбиению отрезка [а, b]  и выбору точек .

Теперь выясним геометрический смысл интегральных сумм Римана.

Пусть f (х) непрерывная на отрезке [а, b] функция, причем f (х)0, .

Произведение f()Dхi равно заштрихованной площади прямоугольника с основанием D х= хi - хi-1  и высотой f ().

Тогда сумма

представляет собой сумму площадей n прямоугольников, с основаниями D хi и высотами f (), i = 1, 2…, n. Здесь х0=а, хn = b.

Если при стремлении к нулю диаметра разбиения отрезка [а, b] существует предел (14), то определенный интеграл представляет собой площадь криволинейный трапеции.

24.Свойства определенного интеграла.

Df. Промежуток с гранич. т. A и B ориентированным, если указано направление перехода от т. A к т. B.

1. Пусть сущ. определенный интеграл  сущ. определенный интеграл и справедливо равенство

2.

Док-во:

3. Свойство линейности определенного интеграла:

                                              1. Пустьф-ииинтегрируемы на ***

                                              2. Пусть , то для любой произвольной постоянной   - справедлива формула

4. Аддитивность определенного интеграла:

Пусть ф-ия  интегрируема на большем их трех помежутков , тогда она интегрируема на обоих меньших промежутках и справедлива формула:

Свойство монотонности.

1. Пусть ф-ия  неотрицательна на  и интегрируема на нем,

Страницы: 1, 2