Реферат: Уравнения с параметрами

3)    При  а ≠ 1, b = 1  решение  уравнения  (*)  находится  как  решение  уравнения      f(х) = 0  на  области  D.

4)    При  а = b  (а > 0, а ≠ 1, b >0, b ≠ 1)  уравнение  (*)  равносильно  уравнению        f(х) = φ(х)  на  области  D.

5)    При  а ≠ b  (а > 0, а ≠ 1, b >0, b ≠ 1)  уравнение  (*)  тождественно  уравнению

log c a f(x) =  log c b φ(x)  (c > 0, c ≠ 1)  на  области  D.

Пример. Решите  уравнение:  а х + 1 = b 3 – х

Решение. ОДЗ  уравнения:  х  R,  а > 0,  b >0.

       1)  При   а ≤ 0, b ≤ 0  уравнение  не  имеет  смысла.

       2)  При   а = b = 1,   х  R.

       3)  При  а = 1, b ≠ 1  имеем:  b 3 – х = 1  или  3 – х = 0  х = 3.

       4)  При  а ≠ 1, b = 1  получим:  а х + 1 = 1  или х + 1 = 0  х = -1.

       5)  При  а = b   (а > 0, а ≠ 1, b >0, b ≠ 1)  имеем: х + 1 =3 – х  х = 1.

       6)  При  а ≠ b  (а > 0, а ≠ 1, b >0, b ≠ 1)   прологарифмируем  исходное  уравнение

            по  основанию  а, получим:

           ,    х + 1 = ( 3 – х ) log a b ,

Ответ:  при   а ≤ 0, b ≤ 0  уравнение  не  имеет  смысла;

             при   а = b = 1,   х  R;

             при  а = 1, b ≠ 1  х = 3.

             при  а ≠ 1, b = 1  х = -1

             при  а = b   (а > 0, а ≠ 1, b >0, b ≠ 1)  х = 1

             при  а ≠ b  (а > 0, а ≠ 1, b >0, b ≠ 1)  

Логарифмические  уравнения  с  параметром.

            Решение  логарифмических  уравнений  с  параметрами  сводится  к  нахождению  корней  элементарного  логарифмического  уравнения. Важным  моментом  решения  уравнений  такого  типа  является   проверка  принадлежности  найденных  корней  ОДЗ  исходного  уравнения.

Пример. Решите  уравнение  2 – log (1 + х) = 3 log а  - log ( х 2 – 1 )2

Решение. ОДЗ: х > 1,  а > 0, а ≠ 1.

        Осуществим  на  ОДЗ  цепочку  равносильных  преобразований  исходного  уравнения:

log а а2 + log ( х2 - 1) =  log а ()3 + log a,

log а ( а2 (х2 - 1)) = log а (()3 ),

а2 (х2 - 1) = (х - 1) ,

а2 (х - 1) (х + 1) = (х - 1)

            Так  как  х ≠ -1  и  х ≠ 1, сократим  обе  части  уравнения  на  (х - 1)

а2 =

            Возведем  обе  части  полученного  уравнения  в  квадрат:

а4 (х + 1) =  х – 1  а4 х + а4 =  х – 1 х( 1 -  а4 ) =   а4 + 1

            Так  как  а ≠ -1  и  а ≠ 1, то 

            Для  того  чтобы  значения  х  являлось  решением  уравнения, должно  выполняться  условие  х > 1, то  есть 

            Выясним,  при  каких  значениях  параметра  а  это  неравенство  истинно:

,

            Так  как  а > 0, то  полученная  дробь  положительна, если  1 – а4 > 0, то  есть  при

а < 1.

            Итак, при  0 < a < 1,  x > 1, значит  при  0 < a < 1  х  является    корнем  исходного  уравнения.

Ответ:  при  а ≤ 0, а = 1  уравнение  не  имеет  смысла;

             при   а > 1  решений  нет;

             при  0 < a < 1 

ГЛАВА 2

§1. Разработка  факультативных  занятий  по  теме.

            В  общеобразовательных  классах  данная  тема  не    берется  в  явном  виде. Она  рассматривается  в  заданиях  более  сложного  характера. Например, при  изучении  темы  "Квадратные  уравнения", можно  встретить  следующие  задания:

1)    При  каком  р уравнение  х2 – 2х + 1 = р  имеет  один  корень ?

2)    При  каких  значениях  параметра  р сумма  корней  квадратного  уравнения

х2 + ( р 2 + 4р – 5 ) х – р = 0  равна  нулю ?

            В  классах  с  углубленным  изучением  математики уравнения  с  параметрами  целенаправленно  начинают  изучать  с  8  класса. Именно  в  этот  период  вводится  понятие  "параметр". Основная  задача – научить  учащихся  решать  уравнения  с  одним  параметром.

            Ученики  должны  уяснить, что  уравнения  с  параметром – это  семейство  уравнений, определяемых  параметром. Отсюда  и  вытекает  способ  решения:  в  зависимости  от  структуры  уравнения  выделяются  подмножества  множества  допустимых  значений  параметра  и для  каждого  такого  подмножества  находится  соответствующее  множество  корней  уравнения. Нужно  обратить  внимание  на  запись  ответа. В  нем  должно  быть  указано  для  каждого  значения  параметра (или  множества  его  значений), сколько  корней  имеет  это  уравнение  и  какого  вида.

            На  факультативных  занятиях  следует  разобрать  следующие  виды  задач:

1)    на  разрешимость: определить  параметры, при  которых  задача  имеет  хотя  бы  одно  решение  или  не  имеет  решений  вовсе.

2)    на  разрешимость  на  множестве: определить  все  параметры, при  которых  задача  имеет  m  решений  на  множестве  М  или  не  имеет  решений  на  множестве М.

3)    на  исследование: для  каждого  параметра  найти  все  решения  заданной  задачи.

Разработка  факультативных  занятий  приведена  в  приложении. Структура  следующая:

       Занятие№1. Решение  линейных  и  квадратных  уравнений 

                             с  параметрами.

       Занятие№2. Решение  линейных  и  квадратных  уравнений 

                             с  параметрами.

       Занятие№3. Решение  дробно-рациональных  и иррациональных

                             уравнений  с  параметрами.

       Занятие№4.  Тест

        Занятие№5. Решение  тригонометрических  уравнений 

                             с  параметрами.

        Занятие№6. Решение  тригонометрических  уравнений 

                             с  параметрами.

        Занятие№7. Решение  показательных  и  логарифмических

                             уравнений   с  параметрами.

        Занятие№8. Тест

Занятие№1

Занятие№2

Занятие №3

Занятие  № 4.

Вариант I.

1. Решите  уравнение  k(x - 4) + 2 ( х + 1) = 1  относительно  х.

а) при  k=-2  корней  нет;  при  k=-2   ;

б) при  k-2  корней  нет;  при  k=-2   ;

в) при  k=-2  корней  нет;  при  k=-2  и k=0,25 .

1. Решите  уравнение  2а( а - 2)х = а2 – 5а+6  относительно  х

а) при  а=2  х R  ; при  а=0 корней  нет; при  а0  и а2  ;

б) при  а=2  х R  ; при  а=0 корней  нет; при  а0  и а2  ;

в) при  а=2  х R  ; при  а=0 корней  нет; при  а0  и а2  .

1. При  каких  значениях  b  уравнение  1+2х – bx = 4+х  имеет  отрицательное  решение.

а) b<1  ;              б)  b>1  ;            в)  b=1 

1. При  каких  значениях  а  парабола  у = ах2 – 2х +25  касается  оси х?

а) а=25   ;   б) а=0  и  а= 0,04  ;    в)  а=0,04.

1. При  каких  значениях  k  уравнение  (k - 2)x2 = (4 – 2k)x+3 = 0  имеет  единственное  решение?

а) k=-5, k= -2  ;  б) k=5        ; в) k=5, k= 2  .

1. Решите  относительно  х  уравнение

а)при b+1, b    ; при  b=   реш.нет; при b=±1 нет смысла;

б)при  b    ; при  b=   реш.нет; при b=±1 нет смысла;

в)при  b=    ;  при b=±1 нет смысла.

1. При  каких  значениях  параметра  а  уравнение  имеет  решение 

а) а≥ 3   ;   б)  а=4  ;  в)  а≥ 0

1. При  каких  значениях  а  уравнение    имеет  2  корня?

   а) –0,25≤а≤ 0   ;   б)  –0,25<а≤ 0   ;  в)  –0,25<а< 0  

1. При  каких  значениях  параметра  с  уравнение  имеет  2  корня?

а) с( - ∞ ; -1,5√3)U(1.5√3; + ∞);  б) при  с = ±1,5√3;  в) с( - ∞ ; -1,5√3)

Вариант II.

1. Решите  уравнение  2х( а+1)= 3а(х+1)+7  относительно  х.

а) при  а=-2  корней  нет;  при  а-2   ;

б) при  а-2  корней  нет;  при  а=-2   ;

в) при  а-2  и а-   корней  нет;  при  а=-2   .

1. Решите  уравнение  (а 2 - 81)х = а2 + 7а - 18  относительно  х

а) при  а=-9  х R  ; при  а=9 корней  нет; при  а-9  и а9  ;

б) при  а=9  х R  ; при  а=-9 корней  нет; при  а-9  и а9  ;

в) при  а= -9  х R  ; при  а=9 корней  нет; при  а-9    ;

1. При  каких  значениях  b  уравнение  2+4х-bx=3+х  имеет  отрицательное  решение?

а) b<3  ;              б)  b<2  ;            в)  b>3 

1. При  каких  значениях  k  уравнение  kx2 – (k - 7)x + 9 =0 имеет  два  равных  положительных  корня?

а) k=49, k= 1  ;  б) k=1        ; в) k=49 .

1. При  каких  значениях  а  уравнение  ax2 - 6x+а = 0  имеет  два  различных  корня?

 а) а( - 3 ; 0)U(0; 3 );  б) при  а( - 3 ; 3)  ;    в) с( - ∞ ; - 3)U ( 3 ; +∞)

1. Решите  относительно  х  уравнение

а)при а1,а2,25, а-0,4, ; а=2,25, а=-0,4,реш.нет; при а=1 нет смысла;

б) при а2,25, а-0,4, ; а=2,25, а=-0,4,реш.нет; при а=1 нет смысла;

в) при а1, а-0,4, ; а=-0,4,реш.нет; при а=1 нет смысла.

1. При  каких  значениях  параметра  а  уравнение  имеет  решение  ?

а) а≥ 2/3   ;   б)  а≥ 2/3 √6  ;  в)  а≤ 2/3 √6 

1. При  каких  значениях  а  уравнение    имеет  2  корня?

   а) а≥ 0   ;   б)  ни  при  каких   ;  в)  а≥ 1  

1. При  каких  значениях  параметра  с  уравнение  имеет  2  корня?

а) с( - ∞ ; -1,5√3)U(1.5√3; + ∞);  б) при  с = ±1,5√3;  в) с( - ∞ ; -1,5√3)

Занятие  №5-6

Занятие  №7

Занятие №8.

Вариант I.

1. Решите  уравнение  3 cos x = 4b + 1  для  всех  значений  параметра.

а) при b ( -1; 0,5 )  х = ± arcos ; при b(-∞;-1]U[0,5;+∞) реш.нет;

б) при b [ -1; 0,5 ]  х = ± arcos ; при b(-∞;-1)U(0,5;+∞) реш.нет;

в) b(-∞;-1]U[0,5;+∞) х = ± arcos ; b ( -1; 0,5 )  при реш.нет;

1. Найдите  все  действительные  значения  параметра  а, при  которых  уравнение   sin2 x – 3sin x + a  =0.

а) a  [ -4; 2 ]     ;    б) а  ( -4 ; 2)   ;         в) а [ - 4; 2 ).

1. При  каких  значениях  а  уравнение  cos4 x + sin4 x = a  имеет  корни?

а) a  [ 0,5; 1 ]     ;    б) а  [ -1 ; 0,5 ]   ;         в) а [ - 0,5; 1 ).

1. Решите уравнение 

      а) при  а ≤ 0  х R  ; при  а > 0, а1  х = 2; при  а = 1  не  имеет  смысла.

      б) при  а > 0  х R  ; при  а = 1  х = 2; при  а ≤ 0  не  имеет  смысла.

      в) при  а = 1  х R  ; при  а > 0, а1  х = 2; при  а ≤ 0  не  имеет  смысла.

1. При  каких  значениях  параметра  уравнение  4х – а2 х+1 – 3а2 + 4а = 0  имеет  единственное  решение?

а)      2;                          б) 1   ;                       в) -1.

1. Решите  уравнение  log a x 2 + 2 log a ( x + 2) = 1.

      а)  при а ≤ 1   х = 0,5( 2+ ) ; при  а =100  х = 1.

      б)  при а > 100  реш. нет;  при 1<a<100   х = 0,5( 2+ ); при  а =100  х = 1;

            при а ≤ 1   не  имеет  смысла .

      в)  при а > 100  реш.нет ;  при 1<a<100  х = 0,5( 2+ ) ;   

           при а ≤ 1   не  имеет  смысла .

7.    Найдите  все  значения  параметра, для  которых  данное  уравнение  имеет  только  один  корень  1+ log 2 (ax) = 2 log 2 (1 - x)

а) а > 0, а = 2  ;   б) а > 0, а = - 2  ;   в) а < 0, а = - 2  .

1. Решите  уравнение   а > 0, а1

      а)  а ;   ;           б)   а2 ; -    ;  в )  а2 ;   

Вариант II.

1. Решите  уравнение  cos (3x +1 ) = b   для  всех  значений  параметра.

а) при |b| ≤  1   х = ; при |b| >  1   реш.нет;

б) при |b| ≤  1 и b=0  х = ; при |b| >  1   реш.нет;

в) при |b| >  1   х = ; при |b| <  1   реш.нет;

1. Найдите  все  действительные  значения  параметра  а, при  которых  уравнение   cos2 x + asin x =2 a  -7.

а) a  ( 2 ; 6 )     ;    б) а  ( 2 ; 4 ]   ;         в) а [ 2  ; 6 ].

1. При  каких  значениях  а  уравнение  cos6 x + sin6 x = a  имеет  корни?

а) a  [ 0,25; 0,5 ]     ;    б) а  [ 0,25 ; 1 ]   ;         в) а [ - 0,25; 1 ].

1. Решите уравнение 

      а) при  а ≤ 0  х R  ; при  а > 0,   х = 1; при  а = 1  не  имеет  смысла.

      б) при  а = 1  х R  ; при  а > 0, а1   х = 1; при  а ≤ 0  не  имеет  смысла.

      в) при  а > 0х R  ; при а = 1   ,   х = 1; при  а ≤ 0  не  имеет  смысла.

1. При  каких  значениях  параметра  уравнение  а( 2 х + 2-х ) = 5  имеет  единственное  решение?

а)      -2,5; 2,5       ;                б) 2;  2,5       ;                       в) –2,5.

1. Решите  уравнение 3 lg  (x – а) - 10 lg  ( x - а)+1 = 0.

      а)  х = а + 1000, х = а + 3√10  ;

      б)  х = а - 3√10  , х = а –1000  ;

      в)  х = а - 3√10 ,  х = а + 1000 .

7.    Найдите  все  значения  параметра, для  которых  данное  уравнение  имеет  только  один  корень 

а) 4  ;                 б) -4  ;                  в) - 2  .

1. Решите  уравнение   а > 0, а1

      а)  -1  ;  а ;           б)   1  ;  - а;  в )  1  ;  а

Заключение.

            При  решении  приведенных  выше  задач  с  параметрами  происходит  повторение  и, как  следствие, более  глубокое  прочное  усвоение  программных  вопросов. Ученики  расширяют  свой  математический  кругозор, тренируют  мышцы  интеллекта, при  этом  происходит  развитие  математического, логического  мышления, умения  анализировать, сравнивать  и  обобщать. Решение  задач  с  параметрами  на  факультативных  занятиях  это  помощь  при  подготовке  к  экзаменам. Происходит  формирование  таких  качеств  личности, как  трудолюбие, целеустремленность, усидчивость, сила  воли  и  точность.

Литература.

1. С.И. Новоселов. Специальный  курс  элементарной  алгебры. Москва-1962.
2. Е.Ю. Никонов. Параметр. Самара – 1998.
3. Еженедельная  учебно-методическая  газета  "Математика" №36/2001; №4/2002;      №22/2002;      №23/2002;      №33/2002.