Реферат: Теория вероятностей и математическая статистика
Реферат: Теория вероятностей и математическая статистика
Задача 1.
Генерация
случайных чисел
с заданным
законом распределения
с помощью случайных
чисел, равномерно
распределенных
на интервале
(0,1):
используя
центральную
предельную
теорему, с помощью
сумм 6 независимых
равномерно
распределенных
на интервале
(0,1) случайных
чисел получить
25 случайных
числа со стандартным
нормальным
законом распределения;
найти выборочное
среднее и выборочную
дисперсию;
получить 11
случайных
чисел с законом
распределения
Стьюдента с
10 степенями
свободы; найти
выборочное
среднее и выборочную
дисперсию.
Решение:
С помощью сумм
6 независимых
равномерно
распределенных
на интервале
(0,1) случайных
чисел получим
24 случайных
числа со стандартным
нормальным
законом распределения
по формуле
,
где zi -
равномерно
распределенные
на интервале
(0,1) случайные
числа.
Получены следующие
числа:
-1.235
-0.904
-1.674
1.918
-0.335
1.082
-0.584
-0.565
0.149
0.528
1.076
1.011
0.671
-1.011
-1.502
0.627
-0.489
-0.486
1.022
-0.472
-0.844
0.92
-0.583
0.645
-0.495
Найдем выборочное
среднее по
формуле
Найдем выборочную
дисперсию по
формуле
Получим 11 случайных
чисел с законом
распределения
Стьюдента с
10 степенями
свободы:
С лучайные
числа, распределенные
по закону «хи
квадрат» с 10
степенями
свободы:
, где xi
– нормальные
независимые
случайные
величины.
Случайные
числа, распределенные
по закону Стьюдента
с 10 степенями
свободы:
,
где x – нормальная
случайная
величина, а 2
– независимая
от x величина,
которая распределена
по закону «хи
квадрат» с 10
степенями
свободы.
Получены следующие
числа:
-0.58
-2.496
-0.06
-0.932
1.547
0.418
1.658
1.51
-0.171
-0.821
-1.728
Найдем выборочное
среднее по
формуле
Найдем выборочную
дисперсию по
формуле
Задача 2.
Проверка
статистической
гипотезы:
получить 100
случайных
чисел {x1,…,x100},
распределенных
по показательному
закону с параметром
= 1/6, найти
такое наименьшее
целое число
N, что N
xk для всех k =
1,…,100;
разделить
отрезок [0, N] на
10 равных отрезков;
получить
группированную
выборку {n1,…,n10},
где ni – число
чисел, попавших
в i-ый интервал;
построить
гистограмму
относительных
частот; по
группированной
выборке найти
оценку В
параметра ;
проверить с
помощью критерия
«хи квадрат»
гипотезу о
соответствии
группированной
выборки показательному
распределению
с параметром
В при
уровне значимости
0.05.
Решение:
Получим 100 случайных
чисел {x1,…,x100},
распределенных
по показательному
закону с параметром
= 1/6:
4,9713
3,2905
2,7849
4,1093
2,1764
9,9659
10,343
4,6924
13,966
14,161
0,4258
0,6683
8,8884
5,3392
2,7906
4,7696
3,0867
0,9414
2,8222
3,4177
10,148
3,5312
8,4915
3,0179
3,2209
4,2259
1,8006
2,8645
1,3051
3,3094
0,5557
1,9075
2,4227
6,9307
7,1085
13,322
0,9665
11,19
15,203
2,6685
3,6408
5,3646
4,5871
11,277
1,823
1,142
0,8126
7,2223
12,371
1,4527
2,9692
15,762
2,5493
13,533
8,8944
0,5005
2,4678
4,2491
4,1972
4,0488
2,2424
3,0025
30,785
13,778
0,8824
1,7475
5,8036
3,5565
0,2718
10,404
12,166
0,297
21,487
17,302
12,166
0,875
1,9573
25,326
2,0727
9,1516
10,669
6,4555
6,005
1,3209
3,8486
1,3525
11,593
5,4617
11,946
16,293
3,3376
3,6084
7,0011
1,279
7,5471
0,6641
1,776
6,1109
8,857
8,8327
Находим такое
наименьшее
целое число
N, что N
xk для всех k =
1,…,100:
N = 31
Разделяем
отрезок [0, 31]
на 10 равных отрезков
и получим
группированную
выборку {n1,…,n10},
где ni – число
чисел, попавших
в i-ый интервал:
xi
Xi+1
ni
ni/n
0
3,1
39
0,39
3,1
6,2
25
0,25
6,2
9,3
12
0,12
9,3
12,4
12
0,12
12,4
15,5
6
0,06
15,5
18,6
3
0,03
18,6
21,7
1
0,01
21,7
24,8
0
0
24,8
27,9
1
0,01
27,9
31
1
0,01
Гистограмма
относительных
частот:
Находим выборочное
среднее по
формуле
По группированной
выборке находим
оценку В
параметра
по формуле
Проверяем с
помощью критерия
«хи квадрат»
гипотезу о
соответствии
группированной
выборки показательному
распределению
с параметром
В при
уровне значимости
0.05:
Находим вероятности
попадания X в
частичные
интервалы (xi,
xi+1) по формуле
Вычисляем
теоретические
частоты по
формуле
xi
Xi+1
ni
Pi
fi
(ni
- fi)2
/ fi
0
3,1
39
0,3955
39,55
0,0076
3,1
6,2
25
0,2391
23,91
0,0499
6,2
9,3
12
0,1445
14,45
0,4162
9,3
12,4
12
0,0874
8,74
1,2188
12,4
15,5
6
0,0528
5,28
0,0977
15,5
18,6
3
0,0319
3,19
0,0116
18,6
21,7
1
0,0193
1,93
0,4482
21,7
24,8
0
0,0117
1,17
1,1668
24,8
27,9
1
0,0071
0,71
0,1231
27,9
31
1
0,0043
0,43
0,7717
Находим наблюдаемое
значение критерия
по формуле
По таблице
критических
точек распределения
«хи квадрат»,
по заданному
уровню значимости
0.05 и числу
степеней свободы
8 находим критическую
точку
Гипотезу о
соответствии
группированной
выборки показательному
распределению
с параметром
В не
отвергаем.
Задача 3.
Проверка гипотезы
о равенстве
дисперсий:
получить 2 случайных
числа, распределенных
по стандартному
нормальному
закону с помощью
сумм 5 независимых
равномерно
распределенных
на интервале
(0, 1) случайных
чисел: аналогично,
получить 9 случайных
чисел, распределенных
по стандартному
нормальному
закону с помощью
сумм 9 независимых
равномерно
распределенных
на интервале
(0, 1) случайных
чисел;
проверить
гипотезу о
равенстве
генеральных
дисперсий
полученных
совокупностей
при уровне
значимости
0.1.
Решение:
Получим 2 случайных
числа, распределенных
по стандартному
нормальному
закону с помощью
сумм 5 независимых
равномерно
распределенных
на интервале
(0, 1) случайных
чисел по формуле
,
где zi
- равномерно
распределенные
на интервале
(0, 1) случайные
числа.
Получены следующие
числа:
-0,848
-1,662
Получим 9 случайных
числа, распределенных
по стандартному
нормальному
закону с помощью
сумм 9 независимых
равномерно
распределенных
на интервале
(0, 1) случайных
чисел по формуле
,
где zi
- равномерно
распределенные
на интервале
(0, 1) случайные
числа.
Получены следующие
числа:
0.885
1.25
-0.365
-1.139
0.891
-1.176
0.237
1.807
-0.96
Проверим гипотезу
о равенстве
генеральных
дисперсий
полученных
совокупностей
при уровне
значимости
0.1:
Найдем выборочное
среднее первой
совокупности
по формуле
Найдем выборочное
среднее второй
совокупности
по формуле
Найдем исправленную
дисперсию
первой совокупности
по формуле
Найдем исправленную
дисперсию
второй совокупности
по формуле
Вычислим наблюдаемое
значение критерия
(отношение
большей исправленной
дисперсии к
меньшей) по
формуле
По таблице
критических
точек распределения
Фишера-Снедекора,
по заданному
уровню значимости
0.1 и числам степеней
свободы 1 и 9 найдем
критическую
точку
Гипотезу о
равенстве
генеральных
дисперсий
полученных
совокупностей
при уровне
значимости
0.1 не отвергается.
Задача 4.
Уравнение линии
регрессии:
получить 50
случайных
независимых
значений {x1,…,x50}
случайной
величины X,
равномерно
распределенной
на интервале
(0, 9); получить 50
случайных
независимых
значений {y1,…,y50}
случайной
величины Y следующим
образом: yi –
случайное
число, распределенное
по показательному
закону с параметром
найти уравнение
прямой линии
регрессии Y на
X по этим данным;
проверить с
помощью критерия
«хи квадрат»
гипотезу о
нормальном
распределении
с нулевым
математическим
ожиданием
отклонений
имеющихся
данных от прямой
регрессии при
уровне значимости
0.05; при этом рассмотреть
группированную
выборку, разделив
отрезок [-max,
max] на
5 равных частей,
где max
– наибольшее
по абсолютной
величине отклонение
yi от линии
регрессии.
Получим 50 случайных
независимых
значений {y1,…,y50}
случайной
величины Y следующим
образом: yi –
случайное
число, распределенное
по показательному
закону с параметром
:
24.9323592452182
15.7441606069719
15.5028112434691
2.87790855039727
4.16156795216443
0.190460347139702
0.252207251176988
5.55884492608762
11.5417165759534
11.8189116910915
9.57191092954621
6.48268208064067
10.6729845988228
11.9201379351172
0.0563900402236241
6.07239051882238
10.8341890845962
2.77373256888689
1.4735808529829
0.683544240471081
1.536352690789
0.100495382422226
6.48630115206778
1.01940005703768
6.79791391486788
2.34472037157293
2.06912254815368
3.42524848981833
9.45107565557296
3.18848770214796
1.69800713475763
2.42887690987151
6.18175839336735
4.85432860734921
3.12088295311468
0.14473630724364
0.312712437424258
1.16492882917332
2.95306149294792
6.38190212865322
0.293019110223049
0.664514453422601
3.47608211592645
20.3599120342622
1.45318365215952
9.23209976014301
0.965294785502523
6.29747102157127
6.46689933291391
3.14474865192493
Найдем уравнение
прямой линии
регрессии Y на
X по этим данным
по формулам
Уравнение
прямой линии
регрессии Y на
X:
Получены следующие
значения отклонений
имеющихся
данных от прямой
регрессии:
15.1803992483777
7.69319511536507
5.65184678474214
0.929060620003659
-2.74697588437076
-5.56971364166513
-1.34664251825399
-3.40558552590376
3.84450875080244
6.024535447371
6.68021544884769
2.87566537149934
4.45916201865442
5.13571824955786
-1.67346851299683
0.55225091890577
4.83230056456327
-0.240106987952807
-5.79711892247662
-1.65960963866345
-5.81832115202078
-3.05879142493402
4.17543322148284
-3.29134973659658
-1.32767811582337
-1.99520044159931
-6.98919595084991
-0.844166923187427
-0.287216028830924
-1.43395768887411
-0.421461708068378
-6.98192485416478
2.73422581111747
0.763034293093572
-6.48599757504491
-3.22292770452086
-3.0571021088348
-1.63949073262982
-0.309995654309725
1.41312147312541
-9.58711575629829
-3.27818755099385
1.8307602174006
12.8888821627727
-1.69557328905632
3.70454314781532
-2.93739249325208
0.163674237751803
-1.9244299300759
-2.50583465100064
Проверим с
помощью критерия
«хи квадрат»
гипотезу о
нормальном
распределении
с нулевым
математическим
ожиданием
отклонений
имеющихся
данных от прямой
регрессии при
уровне значимости
0.05:
Найдем наибольшее
по абсолютной
величине отклонение
yi от линии
регрессии:
Вычислим выборочное
среднее квадратическое
отклонение
по формуле
Вычислим
теоретические
вероятности
попадания в
интервалы (zi,
zi+1)
по формуле
Вычислим
теоретические
частоты по
формуле
zi
zi+1
ni
Pi
fi
(ni
- fi)2
/ fi
-15.1803992
-9.10823954
1
0.02546995
0.02546995
0.02546995
-9.10823954
-3.03607984
12
0.23264461
0.23264461
0.23264461
-3.03607984
3.036079849
25
0.48256076
0.48256076
0.48256076
3.036079849
9.108239549
10
0.23264461
0.23264461
0.23264461
9.108239549
15.18039924
2
0.02546995
0.02546995
0.02546995
По таблице
критических
точек распределения
«хи квадрат»,
по заданному
уровню значимости
0.05 и числу степеней
свободы 3 находим
критическую
точку:
Гипотезу о
нормальном
распределении
с нулевым
математическим
ожиданием
отклонений
имеющихся
данных от прямой
регрессии при
уровне значимости
0.05 не отвергаем.
НОВОСТИ
ВХОД
ТЕГИ
Рефераты бесплатно, реферат бесплатно, курсовые работы, реферат, доклады, рефераты, рефераты скачать, рефераты на тему, сочинения, курсовые, дипломы, научные работы и многое другое.