Реферат: Расширения полей

При этом для многочлена 0 делается исключение: ему присваи­вается степень 0. Очевидно, что таким способом получается неко­торое упорядочение, в смысле которого P[x] вполне упорядочено. Показывается это так: в каждом непустом множестве многочле­нов есть непустое подмножество многочленов наименьшей степени; пусть таковая равна п. В этом подмножестве есть непустое под­множество многочленов, коэффициент а0 которых является первым в смысле имеющегося порядка среди свободных членов рассматривае­мых многочленов; в указанном подмножестве есть в свою очередь подмножество многочленов с первым а1 и т. д. Подмножество с первым аn которое в конце концов получится, может состоять лишь из одного-единственного многочлена (так как а0, ..., аn определяются однозначно благодаря последовательно выполняе­мому условию минимальности в выборе); этот многочлен является первым элементом в заданном множестве.

   Лемма 3. Если поле P вполне упорядочено и заданы многочлен f(x) степени n и n символов a1 ..., an  то  поле P (a1 ,..., an), в котором f(x) полностью разлагается на линейные множители

 n

Õ(x-ai),   строится  единственным   образом   и   является   вполне

 1

упорядоченным. Поле P в смысле этого порядка является отрезком.

 Доказательство. Мы будем присоединять корни a1 ..., an  последовательно, вследствие чего из P = Р0 последовательно будут возникать поля Р1, ..., Рn. Предположим, что Рi-1 = P(a1 ..., ai-1) — уже построенное поле и что P — отрезок в Рi-1; тогда Рi будет строиться так.

   Прежде всего в силу леммы 2 кольцо многочленов Рi-1 [x] вполне упорядочивается. Многочлен f разлагается в этом кольце на неразложимые множители, среди которых на первом месте будут стоять  x - a1,..., x - ai-1;  среди остальных множителей пусть fi(x) будет первым в смысле имеющегося порядка. Вместе с символом ai  обозначающим корень многочлена fi(x), мы опре­деляем  поле Рi = Pi-1 как совокупность всех сумм

                                                          h-1

                                                          å clali

                                                                                           0

где h —степень многочлена fi(x). Если fi(x) линеен, то, конечно, мы полагаем Рi = Pi-1; символ ai в этом случае не нужен. По­строенное поле вполне упорядочивается с помощью следующего условия: каждому элементу поля 

                                                                                           h-1

                                                          å clali

                                                                                            0

   сопоставим   многочлен

                                                                                           h-1

                                                          å clxli

                                                                                            0

 и элементы поля упорядочим точно так же, как упорядочены соответствующие им  многочлены.

   Очевидно, тогда Рi-1 является отрезком в Рi, а потому и P — отрезок в Рi.

   Тем самым поля Р1 ,..., Рn построены н вполне упорядочены. Поле Рn является искомым однозначно определенным полем P(a1 ,..., an).

   Лемма 4. Если в упорядоченном множестве полей каждое предшествующее поле является подполем последующего, то объеди­нение этих полей является полем.

Доказательство. Для любых двух элементов a, b объединения существуют два поля Sa, Sb, которые содержат a, и b и из которых одно предшествует другому. В объемлющем поле опре­делены элементы a + b и a×b и именно так определяются эти элементы в каждом из полей, содержащих a и b, потому что из любых двух таких полей одно предшествует другому и явля­ется его подполем. Например, чтобы доказать закон ассоциатив­ности

ab • g = a • bg,

найдем среди полей Sa, Sb, Sg то, которое содержит два дру­гих поля (наибольшее); в этом поле содержатся a, b и g и в нем закон ассоциативности выполнен. Тем же способом проверяются все остальные правила вычислений с элементами объединения.

   Доказательство основной теоремы распадается на две части: построение поля W и доказательство единственности.

   Построение поля W.. Лемма 1 свидетельствует о том, что для построения алгебраически замкнутого расширения W поля P достаточно построить такое алгебраическое расширение поля Р, чтобы каждый многочлен из Р[x] разлагался над этим расшире­нием на линейные множители.

   Будем считать, что поле Р, а потому и кольцо многочленов P[x], вполне упорядочены. Каждому многочлену f(x) сопоставим столько новых символов a1 ,..., an какова его степень.

   Далее, каждому многочлену f(x) сопоставим два вполне упо­рядоченных поля Рf, Sf, которые определяются следующим рекур­рентным способом.

   1.  Поле   Рf   является объединением поля Р и всех  полей  Sg  для g<f.

   2.  Поле Рf вполне упорядочивается так, чтобы Р и все  поля Sg при g<f  были отрезками в Рf

   3.  Поле   Sf  получается   из   Рf  присоединением всех корней многочлена f с помощью символов a1 ,..., an в соответствии с лем­мой 3.

   Нужно доказать, что таким способом действительно одно­значно определяются вполне упорядоченные поля Рf , Sf, если только уже определены все предыдущие Рg, Sg перечисленным выше  требованиям.

   Если выполнено требование 3, то прежде всего Рf— отрезок в Sf. Из этого и из требования 2 следует, что поле Р и каждое поле Sg (g<f) являются отрезками в Sf. Предположим, что рассматриваемые требования выполнены для всех предыдущих индексов f, так что

                              Р — отрезок в Sh                         при  h<f,

Sg — отрезок в Sh                         при  g<h<f.

   Отсюда следует, что поле Р и поля Sh (h<f) составляют множество того типа, о котором говорит лемма 4. Следовательно, объединение этих полей снова является полем, которое в соот­ветствии с требованием 1 мы должны обозначить через Рf. Струк­тура вполне упорядоченного поля на Рf  однозначно определяется требованием 2, потому что любые два элемента а, b из Рf, при­надлежат одному из полей Р или Sg  и поэтому связаны отноше­нием a<b или а>b, которое должно сохраняться в Рf. Эго отношение порядка является одним и тем же во всех полях Р или Sg, которые содержат как а, так и b, потому что все эти поля являются отрезками друг друга. Итак, отношение порядка определено. То, что оно определяет вполне упорядоченное мно­жество, очевидно, так как каждое непустое множество x в Рf  содержит по меньшей мере один элемент из Р или из некоторого поля Sg, а потому и первый элемент из x Ç Р или из x Ç Sg. Этот элемент одновременно является и первым элементом в x.

   Таким образом, поле Рf  вполне упорядочивается с помощью требовании 1 и 2. Так как поле Sf, однозначно определяется требованием 3, поля Рf  и Sf  построены.

   В силу условия 3 многочлен f(x) полностью разлагается на линейные множители в поле Sf. Далее, с помощью трансфинитной индукции показывается, что Sf  является алгебраическим над Р. Действительно, предположим, что все поля Sg (g<f) уже алгебраические. Тогда и их объединение с полем Р, т.е. поле Рf, алгебраическое. Далее, поле Sf  в силу условия 3 алгебраично над Рf, а потому алгебраично и над Р.

   Составим теперь объединение W всех полей Sf ; согласно лемме 4 оно является полем. Это поле алгебраично над Р и над ним раз­лагаются все многочлены f (так как каждый многочлен f разла­гается уже над Sf). Следовательно, поле W алгебраически замкну­то (лемма 1).

Единственность поля W. Пусть W и W'— два поля, являющиеся алгебраическими и алгебраически замкнутыми рас­ширениями поля Р. Докажем эквивалентность этих полей. Для этого будем считать, что оба поля вполне упорядочены. Построим для каждого отрезка  из W (само поле W также считается од­ним из таких отрезков) подмножество ¢ в W' и некоторый изо­морфизм

P(Â) @ Р(¢).

Последний должен удовлетворять следующим рекуррентным соот­ношениям.

   1.   Изоморфизм P(Â) @ Р(¢) должен   оставлять   каждый   эле­мент поля Р на месте.

   2.   Изоморфизм   P(Â) @ Р(¢) при   ÁÌ Â   должен   быть   про­должением изоморфизма Р(Á) @Р(Á').

   3.  Если Â обладает последним элементом a, так что Â = ÁÈ{a}, и  если  а — корень  неразложимого  в   Р (Á)   многочлена  f(x),   то элемент а' должен быть первым корнем соответствующего в силу Р(Á) @Р(Á'), многочлена f¢(x) во вполне упорядоченном поле W'.

   Нужно показать, что этими тремя требованиями действительно определяется изоморфизм P(Â) @ Р(¢), если только он уже оп­ределен для всех предыдущих отрезков ÁÌ Â. Здесь необходимо различать два случая.

   Первый случай. Множество  не имеет последнего элемента. Тогда каждый элемент а принадлежит некоторому предыдущему отрезку Á; поэтому  является объединением отрезков Á, а по­тому Р(Â) — объединением полей Р(Á) для ÁÌ Â. Так как каж­дый из изоморфизмов Р(Á) @Р(Á') является продолжением всех предыдущих, то каждому элементу a при всех этих изоморфизмах сопоставляется лишь один элемент a'. Поэтому существует одно и только одно отображение P(Â) → Р(¢), продолжающее все предыдущие изоморфизмы Р(Á)→ Р(Á'), а именно —отображение a®a'. Очевидно, оно является изоморфизмом и удовлетворяет требованиям 1 и 2.

   Второй случай. Множество  имеет последний элемент а; сле­довательно,  =ÁÈ{а}. Вследствие требования 3 элемент а', со­поставляемый элементу а, однозначно определен. Так как а' над полем Р(Á') (в смысле рассматриваемого изоморфизма) удовлетво­ряет «тому же» неразложимому уравнению, что и а над Р(Á), то изоморфизм Р(Á)→Р(Á') (и в том случае, когда Á пусто, т. е. тождественный изоморфизм Р®Р) продолжается до изоморфизма Р(Á, a) ®Р(Á', a¢), при котором а переходит в а'. Каждым из приведенных выше требований этот изоморфизм определен однозначно, потому что каждая рациональная функция j(а) с коэффициентами из  обязательно переходит в функцию j'(а') с соответствующими коэффициентами из Á'. То, что так определенный изоморфизм P(Â) ® Р(¢) удовлетворяет требованиям 1 и 2, очевидно.

   Тем самым построение изоморфизма P(Â)→Р(¢) завершено. Обозначим через W" объединение всех полей Р(¢); тогда существует изоморфизм Р(W)®W" или W®W", оставляющий на месте каждый элемент поля Р. Так как поле W алгебраически замкнуто, таким же должно быть и W", а потому W" совпадает со всем полем W¢. Отсюда следует эквивалентность полей W и W¢.

   Значение алгебраически замкнутого расширения данного поля состоит в том, что с точностью до эквивалентности оно содержит все возможные алгебраические расширения этого поля. Точнее:

    Если W  — алгебраически замкнутое алгебраическое расширение поля Р и S — произвольное алгебраическое расширение поля Р, то внутри W существует расширение S0, эквивалентное расширению S.

    Доказательство. Продолжим S до некоторого алгебраи­чески замкнутого алгебраического расширения W'. Оно будет алгебраическим и над Р, а потому эквивалентным расширению W. При каком-то изоморфизме, переводящем W' в W и сохраняющем неподвижным каждый элемент из Р, поле S переходит в некоторое эквивалентное ему подполе S0  в W.

4.2. Простые трансцендентные расширения.

   Каждое простое трансцендентное расширение поля D, как мы знаем, эквивалентно полю частных D(x) кольца многочленов D[x]. Поэтому мы изучим это поле частных

W = D(x).

Элементами поля W служат рациональные функции

h = f(x)/g(x).

Это представление можно считать несократимым (f и g взаимно просты). Наибольшая из степеней многочленов f(x) и g(х) назы­вается степенью функции h.

   Теорема. Каждый отличный от константы элемент h сте­пени п трансцендентен над D и поле D(x) — алгебраическое рас­ширение поля D(h) степени п.

   Доказательство. Представление h = f(х)/g(х) будем считать несократимым. Тогда элемент х удовлетворяет уравнению

g(x)×h - f(x)=0

с коэффициентами из D(h). Эти коэффициенты не могут быть все равны нулю. Действительно, если бы все они равнялись нулю и ak был бы при той же степени х любым ненулевым коэффициентом многочлена g(x), а bk — ненулевым коэффициентом многочлена f(x), то должно было бы иметь место равенство

akh - bk = 0

откуда h = bk/ak = const, что противоречит предположению. Сле­довательно, элемент х алгебраичен над D(h).

   Если бы элемент h был алгебраическим над D, то и х был бы алгебраическим над D, что, однако, не так. Следовательно, элемент h трансцендентен над D.

   Элемент х является корнем многочлена степени n

g(z)h - f(z)

в кольце D(h)(z). Этот многочлен неразложим в D(h)[z], потому что иначе он был бы разложим п в кольце D[h, z], и, так как он линеен по h, один из множителей должен был бы зависеть не от h, а лишь от z. Но такого множителя не может быть, потому что g(z) и f(z) взаимно просты.

   Следовательно, элемент х является алгебраическим степени п над полем D(h). Отсюда следует утверждение о том, что (D(x) : D(h)) = n

   Для дальнейшего отметим, что многочлен

g(z)h - f(z)

не имеет множителей, зависящих только от z (т. е. лежащих в D[z]). Это утверждение остается верным, когда h заменяется своим значением f(х)/g(х) и умножается на знаменатель g(х) тем самым многочлен

g(z)f(x) - f(z)g(x)

кольца   D[x,  z]   не  имеет  множителей,   зависящих  только  от z.

   Из доказанной теоремы вытекают три следствия.

   1.  Степень функции h — f(х)/g(х) зависит лишь от полей D(h) и D(x), а не от того или иного выбора порождающего элемента х.

   2.   Равенство  Д (h) = D(х)   имеет  место  тогда  и только тогда, когда h имеет  степень 1, т. е.  является дробно-линейной функ­цией.   Это  означает:   порождающим  элементом  поля,  кроме эле­мента  х,   может служить любая дробно-линейная функция от x и только такая функция.

   3.   Любой    автоморфизм  поля   D(х), оставляющий  на месте каждый  элемент  поля  D, должен переводить элемент x в какой-либо  порождающий   элемент  поля.   Обратно, если х переводится в какой-либо  порождающий   элемент  х = (ax+b)/(cx+d)   и   каждая функция   j(х) — в   функцию  j(х),   то  получается   автоморфизм,   при котором все элементы из D остаются на месте. Следовательно,

   Все автоморфизмы поля D(x) над полем D являются дробно-линейными подстановками

x = (ax+b)/(cx+d),   ad – bc ¹ 0.

   Важной для некоторых геометрических исследований является

   Теорема Люрота.  Каждое промежуточное поле S,  для которого DÌSÍD(x), является простым трансцендентным расширением: S = D(q).

   Доказательство. Элемент х должен быть алгебраическим над S, потому что если h — любой элемент из S не принадлежащий полю D, то, как было показано, элемент х является алгебраическим над D(h) и тем более алгебраическим над S. Пусть неразложимый в кольце многочленов S[z] многочлен со старшим коэффициентом 1 и корнем x имеет вид

f0(z) = zn+a1zn-1+…+an.                (1)

Выясним строение этого многочлена.

   Элементы ai  являются рациональными функциями от x. С помощью умножения на общий знаменатель их можно сделать целыми рациональными функциями и, кроме того, получить многочлен относительно x с содержанием 1:

f( x, z) =b0(x)zn+b1 (x)zn-1+…+bn(x).

Степень  этого   многочлена  по х обозначим  через  т,   а   по z — через п.

   Коэффициенты ai = bi / b0  из (1) не могут все быть независимыми от х, так как иначе х оказался бы алгебраическим элементом над D; поэтому один из них, скажем,

q = ai = bi(x)/ b0(x),

должен  фактически  зависеть  от  х; запишем его в несократимом виде:

                                                     q = g(x)/h(x)

Степени многочленов g(х) и h(х) не превосходят т. Многочлен

g(z) - qh(z) = g(z) – (g(x)/h(x))h(z)

(не являющийся тождественным нулем) имеет корень z = x, а потому он делится на f 0(z) в кольце S[z]. Если перейти от этих рациональных по х многочленов к целым по х многочленам с содержанием 1, то отношение делимости сохра­нится, и мы получим

h(x)g(z)-g(x)h(z) = q(x, z)f(x, z).

Левая часть в этом равенстве имеет степень по х, не превосхо­дящую т. Но справа уже многочлен f имеет степень т; следо­вательно, степень левой части в точности равна т и q(х, z) не зависит от х. Однако зависящий лишь от z множитель не может делить левую часть (см. выше); поэтому q(х, z) является кон­стантой:

h(x)g(z)-g(x)h(z) = qf(x, z).

Так как присутствие константы q роли не играет, строение мно­гочлена f(х, z) описано полностью. Степень многочлена f(х, z)  по х равна т следовательно (по соображениям симметрии), и степень по z равна т, так что m = п. По меньшей мере одна из степеней многочленов g(x) и h(х) должна фактически достигать значения m, следовательно, и функция q должна иметь степень т по х.

   Тем самым, так как с одной стороны установлено равенство

(D(х):D(q)) = т,

 а с другой — равенство

(D(x):S) = m;

 то, поскольку S содержит D(q),

(S: D(q)) =1,

S = D(q).

Заключение.

   В данной курсовой работе рассмотрены основные алгебраические расширения полей, во-первых, ввиду той фундаментальной роли, которую поля играют в современной математике, во-вторых, ввиду относительной простоты этого понятия.  

   В курсовой работе были рассмотрены следующие виды расширений числового поля P:

Ø Простое алгебраическое расширение поля.

Ø Составное алгебраическое расширение поля.

Ø Сепарабельные и несепарабельные расширения.

Ø Бесконечные расширения полей.

   Анализируя работу можно сделать некоторые выводы.

 Из рассмотренных в первых двух частях расширений, таких как:

1)   простые алгебраические расширения;

2)   конечные расширения;

3)   составные алгебраические расширения.

Следует, что все эти виды расширений совпадают и, в частности, исчерпываются простыми алгебраическими расширениями поля P.

Литература

1. Л.Я. Куликов. Алгебра и теория чисел.— М.: Высш. Школа,1979.—528-538с.

2. Б.Л. Ван-дер-Варден. Алгебра.— М.,1976 — 138-151с.,158-167с.,244-253с.

3. Э.Ф. Шмигирев, С.В. Игнатович. Теория многочленов.— Мозырь 2002.