Реферат: Программа государственного экзамена по математике для студентов математического факультета Московского городского педагогического университета

Реферат: Программа государственного экзамена по математике для студентов математического факультета Московского городского педагогического университета

Программа государственного экзамена по математике

 для студентов математического факультета

Московского городского педагогического университета

Алгебра и теория чисел

1. Группы; примеры и простейшие свойства элементов группы.

2.  Кольца и поля; примеры и простейшие свойства элементов.

3. Арифметические функции: t(n), s(n), j(n).

4. Алгоритм Евклида и его применения.

5. Сравнения и их свойства. Теоремы Эйлера и Ферма.

6. Базис и размерность векторного пространства.

7. Основные теоремы о  системах линейных уравнений.

8. Корни многочлена, теорема Безу, схема Горнера.

9. Разложение многочлена над полем в произведение

неприводимых множителей и его единственность.

10. Теорема о строении простого алгебраического расширения.

1. Группы; примеры и простейшие свойства элементов группы

10. Определение группы.

Всюду в дальнейшем запись (G, *) означает, что на непустом множестве G задана операция “*”.

Определение. Множество (G, *) называется группой, если выполнены следующие условия:

(1) операция “*” ассоциативна, т.е. ("x, y, zÎG) (x*y)*z = x*(y*z);

(2) множество G обладает нейтральным элементом относительно операции *:

 ($eÎG)("xÎG) x*e = e*x = x;

(3) каждый элемент множества G обладает симметричным элементом:

("xÎG) ($yÎG) x*y = y*x = e.

20. Примеры групп: числовые группы, группы симметрий геометрических фигур, группы подстановок, матричные группы.

Примеры групп весьма разнообразны. Перечислим некоторые из них.

1. Числовые группы (группы, элементы которых являются комплексными числами).

а) Аддитивные группы целых чисел Z, рациональных чисел Q, действительных чисел R, комплексных чисел C.

б) Мультипликативные группы ненулевых рациональных чисел Q*, ненулевых действительных чисел R*, ненулевых комплексных чисел C*, положительных рациональных чисел Q+, положительных действительных чисел R+.

2. Группы подстановок S(X) и Sn, действующих на множестве X, в частности, на множестве {1, 2, . . . , n}.

3.  Группы движений геометрических фигур. Пусть Ф - какая-нибудь геометрическая фигура на плоскости, O(Ф) - множество движений плоскости, переводящих фигуру Ф на себя. Множество O(Ф) относительно операции композиции (последовательного выполнения) движений является группой. Элементы множества O(Ф) часто называются симметриями фигуры Ф.

Рассмотрим, например, группу симметрий правильного треугольника.

Группа симметрий правильного треугольника состоит из шести элементов: трех отражений a, b, g относительно высот треугольника a - отражение относительно AO, b - BO, g - CO; и трех вращений с центром с точке O на углы 0, ; их удобно обозначить e, r, s. Для описания умножения элементов группы (G, *) можно использовать так называемую таблицу Кэли (таблицу умножения группы).

Для группы симметрий правильного треугольника таблица Кэли имеет вид:

Заметим, что вращения перемножаются по правилу  r2 = s, r3 = e. Далее, квадрат любого отражения равен e.

Легко проверить, чтоab  = s, ba  = r. Кроме того, ar  = g.

Остальные произведения в таблице легко восстановить, используя, например, групповую структуру операции. В частности, имеем:

ag  =a(ar)  = a2r  = er = r;

bg  =b(ar)  = (ba)r  = r2 = s.

4.  Группы геометрических преобразований. Группы вращений, подобий, гомотетий с заданным общим центром, параллельных переносов.

5.  Матричные группы. Укажем на две важнейшие матричные группы:

GLn(R) - полная линейная группа (группа обратимых матриц),

SLn(R) - специальная линейная группа

(группа матриц с единичным определителем),

30. Арифметика группы: обратные элементы, степени с целым показателем.

При описании таблицы Кэли группы симметрий правильного треугольника мы использовали так называемые арифметические свойства элементов группы. Отметим важнейшие из них в следующей теореме.

Теорема. Пусть (G,×) - группа. Тогда для ее элементов справедливы равенства:

(а) (xy)(zt) = x(y(zt) = ((xy)z)t;

(б) (xy)-1 = y-1x-1;

(в) (xp)q = xpq; xpxq = xp+q для любых целых p, q.

Доказательство. Проверим только пункт (б). Имеем:

(xy)(y-1x-1) = x(yy-1)x-1 = x(1)x-1 = 1,

(y-1x-1)(xy) = y-1(x-1x)y = y-1(1)y = 1;

откуда и получаем требуемое утверждение. ÿ

40. Решение в группах линейных уравнений. В качестве применения простейших свойств приведем следующий простой результат.

Теорема. В произвольной мультипликативной группе G однозначно разрешимо каждое из уравнений:

ax = b, ya = b, где a, b - фиксированные элементы группы.

Доказательство. Допустим, что элемент g удовлетворяет равенству ag = b. Тогда умножая обе части равенства слева на элемент обратный к g, получим

a-1(ag) = a-1b, откуда находим g = a-1b. Легко проверить, что элемент a-1b является решением уравнения ax = b, т.е. справедливо равенство a(a-1b) = b.

Аналогично доказывается разрешимость второго уравнения. ÿ

Примеры. 1. Решить уравнение (12)x = (13)  в группе подстановок S3.

Имеем: x = (12)(13) = (123).

2. Решить уравнение rx = a  в группе симметрий правильного треугольника.

Имеем: x = r -1a = g, поскольку sa  является отражением и

C(sa) = (Cs)a = Ba = C.

3. Решить уравнение X = в группе GL2(R).

Имеем:

X = ==.

2.  Кольца и поля; примеры и простейшие свойства элементов

10. Определение кольца и поля.

Определение. Непустое множество A, на котором заданы операции сложения и умножения, называется кольцом, если выполнены следующие два условия:

а) (A, +) - абелева группа;

б) умножение дистрибутивно относительно сложения, т.е.  для любых элементов x, y, z из A выполнены равенства: (x + y)z = xz + yz; x(y + z) = xy + xz.

Определение. Кольцо называется коммутативным, если операция умножения в нем коммутативна; кольцо называется ассоциативным, если операция умножения в нем ассоциативна. Кольцо называется кольцом с единицей, если оно обладает нейтральным элементом относительно умножения.

Определение. Пусть A - ассоциативное кольцо с единицей 1. Элемент aÎA называется обратимым, если существует элемент bÎA такой, что ab = ba = 1.

Легко проверить, что элемент b, о котором идет речь находится однозначно, поэтому он обозначается a-1 и называется элементом обратным к a.

Важнейшим типом колец являются поля.

Определение. Ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей называется полем, если в нем всякий ненулевой элемент обратим.

20. Примеры колец: числовые кольца, кольца многочленов, кольца последовательностей и функций, кольца матриц, кольца вычетов.

Если группы появляются, прежде всего, как группы обратимых отображений, то возникновение понятия кольца связано с изучением важнейших числовых систем и многочленов.

1. Числовые кольца (кольца, элементы которых являются комплексными числами):

а) (классические числовые кольца) кольцо целых чисел Z, кольцо рациональных чисел Q, кольцо действительных чисел R, кольцо комплексных чисел C.

б) кольцо Z[i] целых гауссовых чисел вида a + bi, где a, b - целые числа;

г) кольцо Z[]  действительных чисел вида a + b с целыми a, b.

2. Кольца многочленов R[x], Q[x], Z[x], C[x]  от одной переменной x с действительными, рациональными, целыми и комплексными коэффициентами.

3. Кольца последовательностей и функций. Среди этих колец выделим особо:

а) кольцо последовательностей действительных чисел с обычными операциями сложения и умножения последовательностей;

б) кольцо ограниченных последовательностей действительных чисел;

в) кольцо фундаментальных последовательностей;

г) кольцо непрерывных действительно-значных функций на отрезке [0 , 1].

4. Кольца матриц. Среди разнообразных матричных колец выделим следующие:

а) полное матричное кольцо Mn(A) над кольцом A или кольцо квадратных матриц порядка n с элементами из кольца A, в качестве кольца коэффициентов A можно рассматривать, в частности, любое числовое кольцо;

б) кольцо Dn(A) диагональных матриц, т.е. матриц, у которых вне главной диагонали находятся только нулевые элементы;

в) кольцо TNn(A) нильтреугольных матриц, т.е. треугольных матриц с нулями на главной диагонали.

Кольца Mn и TNn являются некоммутативными,  в кольце TNn нет единицы.

30. Примеры полей.

1. Числовые поля. Q, R, C, Q[i], Q[] .

2. Поля дробно-рациональных функций: Q(x), R(x), C(x). Так, элементами множества R(x) являются всевозможные функции вида , где f(x), g(x) - многочлены с действительными коэффициентами, причем многочлен g(x) ненулевой. Операции сложения и умножения дробей обычные.

3. Поле вычетов Zp по простому модулю p. Например, для p=7 утверждение получается из следующих равенств в кольце Z7: 2Ä4 = 3Ä5 = 6Ä6 = 1.

40. Арифметика колец и полей. Важнейшие арифметические свойства элементов колец и полей приведены в теоремах.

Теорема. Для любых элементов кольца справедливы равенства:

(а) 0×x = x×0 = 0;

(б) правило знаков: x(- y) = (-x)y = -(xy);

(в) (дистрибутивность умножения относительно разности)

(x - y)z = xz - yz, x(y - z) = xy - xz;

где разность определяется обычным образом x - y := x + (- y).

Доказательство. (а) Имеем: 0×x = (0 + 0)×x = 0×x +0×x, откуда 0×x = 0. Аналогично проверяется и второе равенство x×0 = 0.

(б) Имеем: 0 = x×0 = x×(y + (-y)) = x×y +x×(-y), откуда x×(-y) = -(x×y).

(в) Имеем: (x - y)z =(x + (- y))z = x×z + (-y)×z = x×z - y×z. ÿ

Обозначение.  := a×b-1, если a, b - элементы поля, причем b ¹ 0.

Теорема. В поле справедливы обычные правила работы с дробями:

 (а) основное свойство дроби: ("c¹0) ;

(б) правила сложения дробей: ,  ;

(в) правило умножения дробей: ;

(г), если ab ¹ 0;

в частности, справедливо известное правило деления дробей.

Доказательство. (а) Действительно, = (ac)×(bc)-1 = acc-1b = a×b-1 = .

(б) Имеем:  = (a + c)×b-1 = a×b-1 + c×b-1 = . И далее на основании уже доказанных свойств получаем .

Аналогично проверяются и два оставшихся пункта. ÿ

3. Арифметические функции: t(n), s(n), j(n).

10. Полная мультипликативность.

Определение. Числовой (арифметической) функцией называется функция, определенная на множестве Z+ целых положительных чисел и принимающая комплексные значения.

Числовая функция q называется вполне мультипликативной, если выполнены условия:

(1) ($x) q(x)¹0,

(2) для любых взаимно простых чисел x и y

q(xy)= q(x) q(y).

Заметим, что непосредственно из определения вытекает равенство

q(1)=1.

В самом деле, q(1)¹0, так как иначе данная функция q была бы нулевой;  q(1)= q(1×1)= q(1) q(1), следовательно, q(1)=1.

Легко проверить, что каждая из следующих функций

q(x)=1, q(x)= x, q(x)= x-1,

вполне мультипликативна.

Следующая теорема позволяет существенно расширить запас вполне мультипликативных функций.

Теорема. Произведение вполне мультипликативных функций является вполне мультипликативной функцией.

Доказательство. Пусть числа x и y взаимно просты, а функции f и g вполне мультипликативны. Тогда, обозначив через h произведение функций f и g, имеем:

h(xy)=f(xy)g(xy)=f(x)f(y)g(x)g(y)=[f(x)g(x)][f(y)g(y)]=

=h(x)h(y).

Следствие. Для любого целого k функция q(x)= xk  вполне мультипликативна.

20. Сумма значений функции по всем делителям аргумента.

Введем в рассмотрение, наряду с функцией  q(x), функцию

,

равную сумме всех значений функции q(d) при условии, что переменная d пробегает все делители числа x.

Теорема (основное тождество). Если x=, то

×.

В частности, если функция q вполне мультипликативна, то и функция  также вполне мультипликативна.

Доказательство. Рассмотрим произведение сумм, находящееся в правой части требуемого равенства:

=

==.

Осталось заметить, что для каждого набора (g1, g2,..., gk ) целых неотрицательных чисел gi, не превосходящих ai, в сумме

каждое слагаемое встречается ровно один раз. Учитывая теперь, что каждый делитель числа имеет вид , получаем

=.

Свойство полной мультипликативности рассматриваемой функции немедленно вытекает из того, что взаимно простые числа содержат различные простые сомножители. ÿ

30. Число делителей t(x) и сумма делителей s(x).

Рассмотрим следующие вполне мультипликативные функции:

t(x)= , где q(x)=1, - число делителей числа x,

s(x)= , где q(x) = x, - сумма делителей числа x.

Теорема. Справедливы тождества:

t()=(a1 + 1)( a2 + 1)...( ak + 1),

s()=.

Доказательство. а) Из определения функции t(x) немедленно следует указанное тождество, поскольку в силу основного тождества легко подсчитать число слагаемых, каждое из которых равно 1, в каждой из скобок соответствующего произведения.

б) Это тождество получается из основного тождества и формулы суммы членов геометрической прогрессии:

.ÿ

40. Функция Эйлера. Одной из важнейших числовых функций является следующая функция, впервые введенная в рассмотрение Эйлером.

Определение. Через j(x) обозначается количество чисел ряда

1, 2, ..., x,                                   (*)

взаимно простых с числом x.

Справедлива следующая теорема, которую приведем без доказательства.

Теорема. Если x=, то

j(x)= x× .

Следствие. Функция Эйлера вполне мультипликативна и

.

Теорема (тождество Гаусса). .

Доказательство. Применяя основное тождество и последнее следствие, получаем, считая  ,

. ÿ

4. Алгоритм Евклида и его применения

10. Алгоритм Евклида. Наибольший общий делитель чисел a, b можно найти с помощью алгоритма Евклида, который состоит в следующем.

Пусть b>0. Разделим a на b, тогда по теореме о делении с остатком:

 a = bq1 + r1.

Если r1 = 0, то НОД(a, b) = b.

Если r1 ¹ 0, то разделим b с остатком на r1:

Страницы: 1, 2